2010~2014年高考真题备选题库 合理推理与演绎推理

2016届文科人教版数学

合理推理与演绎推理

姓 名： 沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学

2015年11月1日

2010~2014年高考真题备选题库 第6章 不等式、推理与证明 第5节 合理推理与演绎推理

1．(2014安徽，5分)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝22.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.

解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×

261

＝. 24

法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1

π2122

＝a2＝2，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.

42224

1

答案：

4

2．(2014北京，5分)顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：

工序 原料 时间 原料A 原料B 则最短交货期为________个工作日． 解析：为使交货期最短，应先由徒弟粗加工原料B,6天后，师傅开始精加工原料B，徒弟同时开始粗加工原料A，再9天后(15天后)，徒弟粗加工原料A完成，此时师傅还在精加工原料B,27天后，师傅精加工原料B完成，然后接着精加工原料A，再15天后，师傅精加工原料A完成，整个工作完成，一共需要6＋21＋15＝42个工作日．

答案：42

3．(2014陕西，5分)已知f(x)＝ f2 014(x)的表达式为________．

x

，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则1＋x

9 6 15 21 粗加工 精加工 xx1＋x1＋2xxxx

解析：由f1(x)＝⇒f2(x)＝f1＋x＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝

xx1＋x1＋2x1＋1＋1＋x1＋2x＝

xx

，故可猜想f2 014(x)＝. 1＋3x1＋2 014xx答案：f2 014(x)＝ 1＋2 014x

4．（2013陕西，5分）观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……

照此规律，第n个等式可为________．

解析：本题考查考生的观察、归纳、推理能力．观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n

＋

＋1

nn＋1

. 2

＋

＋1答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n

nn＋1

2

5．（2013湖北，5分）在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．

解析：本题属自定义型信息题，考查考生的创新意识．(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S四边形DEFG



＝3.(2)由待定系数法可得，1＝a·0＋b·4＋c，

3＝a·1＋b·6＋c，

1

＝1×71＋×18－1＝79.

2

答案：3,1,6 79

1

＝a·0＋b·3＋c，2

a＝1，1⇒b＝2，c＝－1，

当N＝71，L＝18时，S

6．（2012江西，5分）观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5

＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )

A．28 C．123

B．76 D．199

解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.

答案：C

7．（2012湖南，5分）对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k1＋…＋a1×21＋a0×20，

－

当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.

(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；

(2)设cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________．

解析：(1)2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21

＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1；

故b2＋b4＋b6＋b8＝3.

(2)设bn中第m个为0的项为bi，即bi＝0，构造二进制数，(i)10＝(akak－1…a1a0)，则akak

－1

…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0＝000时，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；当a2a1a0

＝001时，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；当a2a1a0＝010时，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；当a2a1a0＝011时，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；当a2a1a0＝100时，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；当a2a1a0＝101时，bi＋1＝0，cm＝0；当a2a1a0＝110时，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；当a2a1a0＝111时，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1.故cm的最大值为2.

答案：3 2

8．（2012湖北，5分）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则

(1)4位回文数有________个；

(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．

解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．

答案：90 9×10n

9．（2011陕西，5分）观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为________．

解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.

答案：5＋6＋7＋…＋13＝81

10．（2010山东，5分）观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )

A．f(x) C．g(x)

B．－f(x) D．－g(x)

解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)． 答案：D

11．（2010福建，4分）观察下列等式： ①cos2α＝2cos2α－1； ②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；

③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.

解析：观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1.代入等式⑤，得

1＝m－1 280＋1 120＋n＋p－1，即n＋p＝－350 (1)；

π111111取α＝，则cosα＝，cos10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1 280×()8＋1 120×()6

322222211

＋n×()4＋p×()2－1，即n＋4p＝－200 (2)，

22

联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50.∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962. 答案：962

11

12．（2010浙江，4分）设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

231111

将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝3－3，T4＝0，T5＝5－5，…，Tn，…其中

2323Tn＝________.

0 当n为偶数时

解析：根据已知条件，总结规律，进而可得11.

－ 当n为奇数时nn230 当n为偶数时

答案：11

－ 当n为奇数时nn23

13．（2010陕西，5分）观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．

解析：观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.

答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212