初中升高中数学衔接预习教材(15课时)

第1课 乘法公式

知识回顾

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (ab)(ab)ab； （2）完全平方公式 (ab)a2abb．

进入高中之后，我们将面临更多更复杂的运算。我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：

（3）立方和公式 (ab)(aabb)ab； （4）立方差公式 (ab)(aabb)ab；

（5）三数和平方公式 (abc)abc2(abbcac)； （6）两数和立方公式 (ab)a3ab3abb； （7）两数差立方公式 (ab)a3ab3abb． 我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：

证明：(ab)(aabb)aababababbab 【例1】计算：

（1）(4m)(164mm)

4222232222333332233322322222233223322222 （2）(m2151111n)(m2mnn2) 2251042222（3）(a2)(a2)(a4a16) （4）(x2xyy)(xxyy) 解：（1）原式=4m64m

（2）原式=(m)(n)2423331531231313mn 125822336（3）原式=(a4)(a4a4)(a)4a64 （4）原式=(xy)(xxyy)[(xy)(xxyy)]

2222222(x3y3)2x62x3y3y6

说明：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【例2】计算：（1）(x1) （2）(2x3) （3）(2xy1)

解：（1）(x1)x3x3x1 （2）(2x3)8x36x54x27

1

332332332（3）(2xy1)[(2xy)1](2xy)2(2xy)14x4xyy4x2y1 【例3】 已知xy7,xy12，求xy的值

解：∵xy7,xy12，∴xy(xy)2xy721225 说明：常用配方法：a2b2ab2ab，a2b2ab2ab． 【例4】已知x2222222222222

11123（1）x2；（2）x3． 3，求：

xxx111222解：x3，所以（1）x2(x)2327．

xxx112111232（2）x3(x)(x12)(x)[(x)3]3(33)18．

xxxxx1说明：（1）本题若先从方程x3中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．

x（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．

【例5】已知x3x10，求：（1）x113；（2）． x23xx122解：x3x10，x0，x13x，x3．

x11222（1）x2(x)2(3)211；

xx11213（2）x3(x)(x12)3(111)36．

xxx22

说明：本题若先从方程x23x10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．

222【例6】 已知abc4，abbcac4，求abc的值．

解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8．

1．不论a，b为何实数，ab2a4b8的值 （ ）

A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数 2．已知xy169， xy7，那么xy的值为（ ）

A．120 B．60 C．30 D．15

3．如果多项式xmx9是一个完全平方式，则m的值是 4．如果多项式x8xk是一个完全平方式，则k的值是 5．abab_________ abab__________

222222222226．已知xy17，xy60，则xy 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：

2

22（1）(x3)(（3）(x2)(（5）(x2)(（7）

32)x327 （2）(2x3)()x68 （4）(3a2)()； （6）(2x3y)3()8x327 )27a38

)

121211ab(ab)() （8）(a2bc)2a24b2c2( ) 9432112238．若x2x10，则x2____________；x3____________．

xx1239．已知x3x10，求x33的值．

x10．观察下列各式：(x1)(x1)x1；(x1)(xx1)x1；(x1)(xxx1)x1…..

根据上述规律可得：(x1)(xx

1．乘法公式答案

1．A 2．B 3．6 4．16 5．4ab； 2ab 6．169

2227．（1）x3x9 （2）4x6x9 （3）x2x4 （4）9a6a4 32（5）x6x12x8 （6）8x36xy54xy27y （7）a322342nn1223324...x1)_________________

131b （8）4ab2ac4bc 27． (1) x9y16z6xy8xz24yz

(3) 3ab3ab

22222

(2) 3a5ab3b4a2b1 (4)

2213a16b3 41228．解：x2x10，x0，x12x，x2．

x1121121223（1）x2(x)2(2)26；（2）x3(x)(x12)2(61)14．

xxxxx129．解：x3x10 x0 x3

x1211122原式=(x)(x12)3(x)[(x)3]33(33)321

xxxx

10．x

3

n11

第2课 因式分解

知识回顾

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等． 2.1公式法

在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(ab)(a2abb2)a3b3 (立方和公式)；(ab)(a2abb2)a3b3 (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

a3b3(ab)(a2abb2)；a3b3(ab)(a2abb2)

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 8x

解：(1) 8x2x(2x)(42xx)

(2) 0.12527b0.5(3b)(0.53b)[0.50.53b(3b)](0.53b)(0.251.5b9b) 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8ab(2ab)，这里逆用了法则(ab)ab；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 3ab81b (2) aab

分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现ab，可看着是

663476nnn33333322233323

(2) 0.12527b

3(a3)2(b3)2或(a2)3(b2)3．

解：(1) 3ab81b3b(a27b)3b(a3b)(a3ab9b)．

(2) aaba(ab)a(ab)(ab)

76663333343322

a(ab)(a2abb2)(ab)(a2abb2)a(ab)(ab)(aabb)(aabb)2222

2.2提取公因式法与分组分解法

【例3】把xyaxay分解因式．

4

22 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是

xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.

解：xyaxay(xy)(xy)a(xy)(xy)(xya) 【例4】分解因式：（1）a2b5a5b； （2）x93x3x．

3222解：（1）a2b5a5ba(b5)(a1)；

32（2）x93x3x(x3x)(3x9)x(x3)3(x3)(x3)(x3)．

322232【例5】分解因式： （1）x93x3x；（2）2xxyy4x5y6．

22解：（1）x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x3)(x23)．

或x393x23x＝(x33x23x1)8＝(x1)38＝(x1)323 ＝[(x1)2][(x1)2(x1)222]＝(x3)(x23)．

（2）2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y6=2x2(y4)x(y2)(y3)

=(2xy2)(xy3)．

或 2x2xyy24x5y6=(2x2xyy2)(4x5y)6 =(2xy)(xy)(4x5y)6=(2xy2)(xy3)．

【例6】把2x4xy2y8z分解因式．

分析：先将系数2提出后，得到x2xyy4z，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：2x4xy2y8z2(x2xyy4z)2[(xy)(2z)]2(xy2z)(xy2z) 练习：

1．多项式6xy2xy4xyz中各项的公因式是__________． 2．mxynyxxy•_____． 3．mxynyxxy•____．

22222222222222222224．mxyznyzxxyz•_________． 5．mxyzxyzxyz•______． 6．2ax10ay5bybx_________________ 7．ab(cd)(ab)cd

【答案】1．2xy；2．(mn)；3．(mn)；4．(mn)；5．(m1)．

6．2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab) 7．ab(cd)(ab)cdabcabdacdbcd

5

222222222222

(abc2a2cd)(b2cdabd2)ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

2.3 十字相乘法

2.3.1 形如x(pq)xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

2x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)

因此，x(pq)xpq(xp)(xq)，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x(ab)xyaby； （4）xy1xy．

解：（1）如图1.1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

x x

图1

－1 －2

1 1

图2

－1 －2

1 1

图3

－2 6

x x

图4

－ay －by

x y

图5

－1 1

222x x

p q

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如图2所示）．

（2）由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

（3）由图4，得 x(ab)xyaby＝(xay)(xby) （4）xy1xy＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解

(1) x7x6 (2) x13x36 (3) x5x24 (4) x2x15 解：(1)

(2) (3) (4)

222222 6(1)(6),(1)(6)7，∴ x27x6[x(1)][x(6)](x1)(x6)． 3649,4913，∴x213x36(x4)(x9)．

24(3)8,(3)85，∴ x25x24[x(3)](x8)(x3)(x8)． 15(5)3,(5)32，∴x22x15[x(5)](x3)(x5)(x3)．

6

【例8】把下列各式因式分解：

(1) xxy6y

2222

(2) (xx)8(xx)12

22222分析：(1) 把xxy6y看成x的二次三项式，这时常数项是6y，一次项系数是y，把6y分解成3y

2与2y的积，而3y(2y)y，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a8a12．

解：(1) xxy6yxyx6(x3y)(x2y)．

(2) (xx)8(xx)12(xx6)(xx2)(x3)(x2)(x2)(x1)．

222222222222.3.2 形如一般二次三项式axbxc型的因式分解

2我们知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2． 2反过来，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)

我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成

a1a21，这里按斜线交叉cc222相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于axbxc的一次项系数b，那么axbxc就可以分

解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法． 【例9】把下列各式因式分解：

(1) 12x5x2

2

(2) 5x6xy8y

22解：(1) 12x5x2(3x2)(4x1)

2

342 1

22(2) 5x6xy8y(x2y)(5x4y)

1 2y54y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法

【例10】把下列关于x的二次多项式分解因式：

2（1）x2x1； （2）x4xy4y．

22解： （1）令x2x1=0，则解得x112，x212，

7

22 ∴x2x1=x(12)x(12)=(x12)(x12)．

（2）令x4xy4y=0，则解得x1(222)y，x1(222)y，

22 ∴x4xy4y=[x2(12)y][x2(12)y]．

22【练习】分解因式x6x16

解：x6x16x2x33316(x3)5

(x35)(x35)(x8)(x2)

2222222说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法

【例11】分解因式x3x4

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解

32成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．

解： x3x4(x1)(3x3)

3232(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)[(x2x1)3(x1)] (x1)(x24x4)(x1)(x2)2

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及

2222提取公因式的条件．本题还可以将3x拆成x4x，将多项式分成两组(xx)和4x4．

32

1．把下列各式分解因式：

(1) a27 (4) 3

(2) 8m (5) 8xy333

(3) 27x8 (6)

3

1313pq 8641 12513313xyc 216272．把下列各式分解因式：

(1) xyx

2334

23

(2) xn3xny3

232(3) a(mn)ab (4) y(x2x)y

23．把下列各式分解因式：

8

(1) x23x2 (2) x237x36

(3)x211x26

(4) x26x27

(5) m24mn5n2

(6) (ab)211(ab)28

4．把下列各式分解因式： (1) ax510ax416ax3 (2) an2an1b6anb2 (3) (x22x)29

(4) x47x218

(5) 6x27x3

(6) 8x226xy15y2

(7) 7(ab)25(ab)2

(8) (6x27x)225

5．把下列各式分解因式： (1) 3ax3ayxyy2

(2) 8x34x22x1 (3) 5x215x2xy6y

(4) 4a220ab25b236 (5) 4xy14x2y2 (6) a4ba3b2a2b2ab4

(7) x6y62x31 (8) x2(x1)y(xyx)

参考答案

1．(a3)(a23a9),(2m)(42mm2),(23x)(46x9x2),

1(2pq)(4p22pqq2),(2xy1)(4x2y22xy1),1(xy2c)(x2y22xyc4c2645525216)x(xy)(y2xyx2),xn(xy)(x2xyy2),

a2(mnb)[(mn)2b(mn)b2],y2(x1)2(x44x33x22x1)

3．(x2)(x1),(x36)(x1),(x13)(x2),(x9)(x3)

(x9)(x3),(m5n)(mn),(ab4)(ab7)

4．ax3(x2)(x8),an(a3b)(a2b),(x3)(x1)(x22x3),(x3)(x3)(x22)

(2x3)(3x1),(2xy)(4x15y),(7a7b2)(ab1),(2x1)(3x5)(6x27x5)

5．(xy)(3ay),(2x1)2(2x1),(x3)(5x2y),(2a5b6)(2a5b6)

(12xy)(12xy),ab(ab)2(ab),(x31y3)(x31y3),x(xy)(xy1)．

9

2．

第3课 根式与根式的运算

知识回顾

一般地，形如a(a0)的代数式叫做二次根式．其性质如下：

2 (1) (a)a(a0) (2)

a2|a|

bb(a0,b0) aa(3)

abab(a0,b0)

(4)

a,a0,2二次根式a2的意义aa

a,a0.3.1 根式的简化

【例1】将下列式子化为最简二次根式：

6（1）12b； （2）a2b(a0)； （3）4xy(x0)．

解： （1）12b23b； （2）aba62bab(a0)；

3 （3）4xy2x【例2】化简下列各式：

(1)

y2x3y(x0)．

(1x)2(2x)2 (x1)

(32)2(31)2 (2)

解：(1) 原式=|32||31|23311

(x1)(x2)2x3 (x2)*(2) 原式=|x1||x2|

(x1)(x2)1 (1x2) 说明：请注意性质a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

练习1．若(5x)(x3)(x3)5x，则x的取值范围是_ _ ___；

22．4246543962150__ ___； 3．等式xx成立的条件是（ ） x2x2（A）x2 （B）x0 （C）x2 （D）0x2

a211a24．若b，求ab的值．

a1答案：1．3x5 2．86 3．C 4．1

3.2 有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如a与a；axby与axby互为有理化因式。

10

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。 【例3】计算：3333333(31)3(33)331

解法一：＝＝＝＝．

936233(33)(33)解法二：．

333＝133131

＝ ＝＝．

2313(31)(31)(31)20162016(32)2017． 【例4】化简：(32)2016(32)2016(32)＝(32)(32)解：原式＝(32)(32)

＝12016(32)＝32．

【例 5】化简：（1）945； （2）x2212(0x1)． 2x2 解：（1）原式5454(5)2252 （2）原式=(x)2x【例 6】已知x(25)22552．

1x111，∵0x1，∴1x，所以，原式＝x． xxx32,y3232 解： ∵xy32xy3333222，求3x5xy3y的值 ． 22(32)2(32)210， 232321，

32322222 ∴3x5xy3y3(xy)11xy31011289．

练习1．（1）13＝__ ___；

13x1x1x1x15（2）若x，则______ __．

2x1x1x1x1答案：1．（1）32 （2）5．

1．二次根式a2a成立的条件是( A．a0 B．a0

)

C．a0 ) C．－9 (2) a(4)

D．9

D．a是任意实数

2．若x3，则96xx2|x6|的值是( A．－3 B．3 3．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：

(1) (3)

8a3 4ababba

1 a1211

132231

4．化简：

(1)

mm19m10m2m2 325m (2)

2x2yxy (xy0) x2x2yx2xyy2,y5．设x，求代数式的值．

xy3232116．设x5142，求xx2x1的值． 27．化简或计算：

(1) (184113 )2323

(2) 221 2(25)2352 (3)

xxxyxxyy xyy2xxyy答案：

1． C 2． A 3． 2a2a a 2(ab)2 1

ab24． mm 2xy 5． 

1343xy 3 6．35 7．3,,63y12

第4课 分式的运算

知识回顾

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAAMAAM； ． BBMBBM2．繁分式

amnp像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mcdnp5x4AB【例1】若，求常数A,B的值．

x(x2)xx2ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4解： ∵，

xx2x(x2)x(x2)x(x2)AB5, ∴

2A4, 解得 A2,B3．

111【例2】（1）试证：（其中n是正整数）；

n(n1)nn1111（2）计算：； 12239101111． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有

2334n(n1)211(n1)n1（1）证明：∵，

nn1n(n1)n(n1)111 ∴（其中n是正整数）成立．

n(n1)nn1（2）解：由（1）可知

9111111111(1)()()1＝．

1010122391022391011111111111)＝（3）证明：∵＝()()(， 2334n(n1)2n12334nn111111

 又n≥2，且n是正整数， ∴ 一定为正数，∴＜ ．

n＋12334n(n1)2

c【例3】设e，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

a

解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝ ＜1，舍去；或e＝2．

2

13

∴e＝2．

3．多项式除以多项式

做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式

【例4】计算(x3x)(3x)

42x2324解：x3x003x0

x403x23x23x3x293x9(x43x)(3x2)(x23)93x

练习1．(3x10x13x27)(x2x3)

2．(2xx2)(x1)

答案：1．(3x10x13x27)(x2x3)3x42．(2xx2)(x1)x2

23232223232214x15 2x2x3x x21111 ()；

n(n2)nn22xy2x，则＝（ ） 2．若

yxy3546 （A）１ （B） （C） （D）

455xy223．正数x,y满足xy2xy，求的值．

xy1111...4．计算． 122334991001．对任意的正整数n，

225．已知A9x21x2x11x2,B3x5x4x1，求：AB

432326．填空：

3a2ab11____ ____； （1）a，b，则223a5ab2b23 14

x23xyy2（2）若xxy2y0，则__ __； 22xy11117．计算：． 13243591111118．试证：对任意的正整数n，有＜4 ．

123234n(n1)(n2)

答案

221

1．2 2．B 3．

21 4．

99 5．A2B2(3x2)2 6．（1）37

（2）512，或－5

10015

第5课 绝对值和绝对值不等式的解法

知识回顾

5.1 绝对值的概念

定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．

例如，2到原点的距离等于2，所以22．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易a,a0得到绝对值的求法：a0,a0．

a,a05.1.1 绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A．±2 B．2 C．-2 D．4

解：A

【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ）

A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3

解：C

【例3】已知：abc≠0，且M=abc，当a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能． abc当a、b、c都是正数时，M= ______；

当a、b、c中有一个负数时，则M= ________； 当a、b、c中有2个负数时，则M= ________； 当a、b、c都是负数时，M=__________ ． 解：3；1，1，3．

练习1：已知a，，bc是非零整数，且abc0，求

abcabc的值 abcabc解：由于abc0，且a，，bc是非零整数，则a，，bc一正二负或一负二正， （1）当a，，bc一正二负时，不妨设a0，b0，c0，原式11110； （2）当a，，bc一负二正时，不妨设a0，b0，c0，原式11110． 原式0． 【例4】若

a4b2，则ab_______．

16

解：a4b2a4b20a4,b2，所以ab2． 结论：绝对值具有非负性，即若abc0，则必有a0，b0，c0．

2练习1：a1b20， a________；b__________

解：a1,b2． 练习2：若m3n722p10，则p＋2n3m_______． 27113 解：由题意，m3,n,p，所以p＋2n3mm79．

22225.1.2 零点分段法去绝对值

对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例5】阅读下列材料并解决相关问题：

xx0我们知道x0x0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式x1x2xx0时，可令x10和x20，分别求得x1，，在有理数范围内，x2（称1，2分别为x1与x2的零点值）零点值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：

⑴当x1时，原式x1x22x1 ⑵当1x2时，原式x1x23 ⑶当x≥2时，原式x1x22x1 2x1x1综上讨论，原式31x2

2x1x2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

（1）别求出x2和x4的零点值

解：令x20，解得x2，所以x2是x2的零点；令x40，解得x4，所以x4是x4的零点．

（2）化简代数式x2x4

解：⑴当x2时，原式x2x42x2；

⑵当2x4时，原式x2x46； ⑶当x≥4时，原式x2x42x2． 2x2x2综上讨论，原式62x4．

2x2x4

17

（3）化简代数式yx12x2

解：当x1时，y53x；

当1x2时，y3x； 当x2时，y3x5． 53xx1综上讨论，原式3x1x2．

3x5x25.1.3 绝对值函数

x,x0常见的绝对值函数是：yx，其图象是

x,x0

绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是x0．思考如何画yxa的图象？

我们知道，x表示x轴上的点x到原点的距离；xa的几何意义是表示x轴上的点x到点a的距离． 【例6】 画出yx1的图像

解：（1）关键点是x1，此点又称为界点；

（2）接着是要去绝对值

当x1时，y1x；当x1时，yx1． （3）图像如右图

说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到

练习1.（1）画出yx2的图像； （2）画出y2x的图像

【例7】画出yx12x2的图象

解：（1）关键点是x1和x2 （2）去绝对值

18

当x1时，y53x； 当1x2时，y3x； 当x2时，y3x5． （3）图象如右图所示．

【例8】 画出函数yx22x3的图像

解：（1）关键点是x0 （2）去绝对值：

当x0时，yx22x3； 当x0时，yx22x3 （3）可作出图像如右图

【例9】 画出函数yx23x2的图像

解：（1）关键点是x1和x2 （2）去绝对值：

当x1或x2时，yx23x2； 当1x2时，yx23x2 （3）可作出图像如右图

1．3________；3________；3.1415_____； 52．x22y15，x4，则y__________． 3．若aa0，那么a一定是（ ）

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 4．若xx，那么x是________数．

5．如图，化简abb2ca2c_____________

19

6．已知(x2)22y10，则x2y_______． 7．化简x1x2，并画出yx1x2的图象 8．化简x52x3．

9.画出y2x3的图像

10.画出yx22x3的图像 答案： 1．

3；3；3.1415 2．2或1 3．C 4．负 5．-4 6．3 53x2,x52x3,x237．y1,2x1，图象如下 8．y8x,5x 9．如图所示 10．如图所示

22x3,x133x2,x2

5.2 绝对值不等式

到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．

20

【例1】 解方程：x21．

解：原方程变为x21，∴x3或x1． 【例2】解不等式 x1．

解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：

1和1，自然只有在1和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x的解集是{x|1x1}．

练习1．解不等式：（1）x3； （2）x3 （3）x2

解：（1）{x|3x3} （2）{x|x3或x3} （3）{x|2x2}

结论：（1）xa(a0)的解集是{x|axa}，如图1．

（2）xa(a0)的解集是{x|xa或xa}，如图2．

【例3】解不等式 x21．

解：由题意，1x21，解得1x3，所以原不等式的解集为{x|1x3}． 结论：（1）axbc(c0)caxbc． （2）axbc(c0)axbc或axbc

练习1：解不等式：（1）x103；（2）2x52；（3）32x5；

解：（1）由题意，3x103，解得7x13，所以原不等式的解集为{x|7x13}． （3）由题意，2x52或2x52，解得x7373或x，，所以原不等式的解集为{x|x或x}． 2222（3）由题意，532x5，解得1x4，所以原不等式的解集为{x|1x4}．

2x40练习2：解不等式组．

513x2解：由2x40，得42x4，解得2x6，①

42x，② 334242由①②得，x，所以原不等式的解集为{x|x}．

3333由513x2，得13x3，即313x3，解得

21

练习3：解不等式12x15．

解：方法一：由2x15，解得2x3；由12x1得，x0或x1， 联立得2x0或1x3，所以原不等式的解集为{x|2x0或1x3}．

方法二：12x1512x15或52x11，解得2x0或1x3，所以原不等式的解集为{x|2x0或1x3}． 【例4】解不等式：4x32x1

解：方法一：（零点分段法）

311时，原不等式变为：(4x3)2x1，解得x，所以x； 4333（2）当x时，原不等式变为：4x32x1，解得x2，所以x2；

41综上所述，原不等式的解集为{x|x或x2}．

31方法二：4x32x14x32x1或4x3(2x1)，解得x或x2，所以原不等式的解

31集为{x|x或x2}．

3结论：（1）axbf(x)f(x)axbf(x)．

（1）当x （2）axbf(x)axbf(x)或axbf(x)． 练习4：解不等式：4x3x1．

解：由4x3x1得(x1)4x3x1，解得

【例5】解方程：（1）x2x13 （2）x2x15

（3）x3x14 （4）x3x24

【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：

若a和b是数轴上的两个数，那么当axb时，数x到a和b的距离之和等于a与b的距离；当xa或

2424x，原不等式的解集为{x|x}． 5353xb时，数x到a和b的距离之差的绝对值，等于a与b的距离．

以上所有问题都可以用此方法解决．

解：（1）等式左边式子x2x1的几何意义是，实数x到2和1的距离之和，而2和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x位于2和1之间时，x到2和1的距离之和就刚好为3，所以x的取值范围是

22

2x1．

（2）等式左边式子的几何意义是，实数x到2和1的距离之和，由于2和1的距离是3，所以x一定在2和1的两边，经过计算，可知当x位于3和2时，满足条件．

（3）等式左边式子的几何意义是，实数x到3和1的距离之差，由于3和1的距离刚好是4，所以当x位于3到1的两边时，x到3和1的距离之差刚好为4，x的取值范围是x3或x1．

（4）等式左边式子的几何意义是，实数x到3和2的距离之差，由于3和1的距离刚好是5，所以x一定位于3到2之间，可知当x位于53和时，满足条件． 22【例6】解不等式：x2x15

方法1：利用零点分区间法（推荐） 分析:由

x10，x20，得x1和x2．2和1把实数集合分成三个区间，即x2，

2x1，x1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．

x2解：当x2时，得，解得：3x2；

(x1)(x2)5 当2x1时，得2x1， 解得：2x1；

(x1)(x2)5当x1时，得x1，解得：1x2．

(x1)(x2)5综上，原不等式的解集为

x3x2．

说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；

(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值． 方法2：利用绝对值的几何意义

解：x2x15的几何意义是数轴上的点x到1和2的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35，易知当x3或x2时，x2x15，所以x位于3和2之间（不含端点），所以3x2，所以原不等式的解集为

x3x2．

说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显． 练习1．x2x17

解：{x|4x3}

23

练习2．解不等式：x3x24

解：{x|x}

练习3．2x32x28

解：{x|3297x} 44【例7】解不等式：x1x2x3

解：当x1时，原不等式变为：1x2xx3，解得：x0； 当1x2时，得x12xx3，无解 当x2时，得x1x2x3，解得：x6． 综上，原不等式的解集为{x|x0或x6}． 【例8】解关于x的不等式2x31a

解：原不等式变为2x3a1

（1）当a1时，a10，原不等式无解； （2）当a1时，(a1)2x3a1，解得aa2x1． 22aa2x1}． 22综上所述，当a1时，原不等式无解；当a1时，原不等式的解集为{x|

1.已知a6，化简6a2得( ) A. 6a B. a6

C. a6 D. a6

2.不等式x23的解是 ，不等式13.不等式83x0的解是______________.

1x1的解是______________. 24.根据数轴表示a,b,c三数的点的位置，化简abacbc ___ .

c5.解不等式3x29 6.解不等式x1x24

b0a

24

7.解下列关于x的不等式：12x35 8.解不等式3x412x

9．解不等式：x1x2x2

答案

1.B 2. {x|5x1}；{x|0x4}5. {x|7x1或5x11} 6. {x|32x52} 7. {x|1x1或2x4} 8. {x|x35或x5} 9．{x|13x5}

3. {38} 25

4.0

第6课 一元二次方程根与系数的关系

知识回顾

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1.1一元二次方程的根的判断式

b2b24ac)一元二次方程axbxc0 (a0)，用配方法将其变形为：(x 2a4a22bb24ac(1) 当b4ac0时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x

2a2(2) 当b4ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：x1,2(3) 当b4ac0时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

22b 2a由于可以用b4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b4ac叫做一元二次方程

22ax2bxc0 (a0)的根的判别式，表示为：b24ac

【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1) 2x3x10

2(2) 4y912y

2

(3) 5(x3)6x0

2解：(1)

(3)242110，∴ 原方程有两个不相等的实数根．

2(2) 原方程可化为：4y12y90

(12)24490，∴ 原方程有两个相等的实数根．

2(3) 原方程可化为：5x6x150

(6)245152640，∴ 原方程没有实数根．

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x的一元二次方程3x2xk0，根据下列条件，分别求出k的范围：

26

2

(1) 方程有两个不相等的实数根； (3)方程有实数根；

2

(2) 方程有两个相等的实数根 (4) 方程无实数根．

解：(2)43k412k

1； 31(3) 412k0k；

3(1) 412k0k22

1； 31(4) 412k0k．

3(2) 412k0k【例3】已知实数x、y满足xyxy2xy10，试求x、y的值．

解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x(y2)xyy10 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：

22[(y2)]24(y2y1)3y20y0，

代入原方程得：x2x10x1． 综上知：x1,y0

1.2 一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程axbxc0 (a0)的两个根为：

22bb24acbb24acx,x

2a2a

bb24acbb24acb， 所以：x1x22a2aa

bb24acbb24ac(b)2(b24ac)24accx1x22 22a2aa(2a)4a2

韦达定理：如果一元二次方程axbxc0 (a0)的两个根为x1,x2，那么：

bcx1x2,x1x2

aa

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．

【例4】若x1,x2是方程x2x20070的两个根，试求下列各式的值：

22(1) x1x2；

2(2)

11； x1x2(3) (x15)(x25)； (4) |x1x2|．

27

解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22,x1x22007

2222(1) x1x2(x1x2)2x1x2(2)2(2007)4018

(2)

xx211221 x1x2x1x220072007(3) (x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972 (4) |x1x2|(x1x2)(x1x2)4x1x2(2)4(2007)4502 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222x12x22(x1x2)22x1x2，

xx211221，(x1x2)(x1x2)4x1x2， x1x2x1x2|x1x2|(x1x2)24x1x2，x1x22x12x2x1x2(x1x2)，

x13x23(x1x2)33x1x2(x1x2)等等．韦达定理体现了整体思想．

练习1． 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值； （2）求

11的值；（3）x13＋x23． 22x1x2

53，x1x2． 2225497523（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝()4()＝＋6＝，∴| x1－x2|＝．

424225325()22()3222x1x2(x1x2)2x1x21137224（2）222． 2239x1x2x1x2(x1x2)9()224解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴x1x2（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

＝(－

553215)×[(－)2－3×()]＝－． 2228【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

x12x26xy4解：法一 设这两个数分别是x，y，则或．

xy12y6y212因此，这两个数是－2和6．

法二 由韦达定理知，这两个数是方程x－4x－12＝0的两个根．

2

解方程得：x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．

【例6】关于x的方程x(k1)x212k10，根据下列条件，分别求出k的值． 4(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|x2． 解：(1) ∵方程两实根的积为5

28

122[(k1)]4(k1)034k,k4 ∴ 2xx1k215124所以，当k4时，方程两实根的积为5． (2) 由|x1|x2得知：

①当x10时，x1x2，所以方程有两相等实数根，故0k

3； 2②当x10时，x1x2x1x20k10k1，由于 0k3，故k1不合题意，舍去． 2综上可得，k3时，方程的两实根x1,x2满足|x1|x2． 2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．

【例7】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ①

且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4，

17

由②得 a＜ ．

4

∴a的取值范围是a＜4．

2*【例8】一元二次方程x4xa0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a的取值范围。 0(x3)(x23)0 解得：a3

解一：由12解二：设f(x)x4xa，则如图所示，只须f(3)0， yx=203x解得a3

222x(a9)xa5a60一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围。*【例9】 已知一元二次方程 解：如图，设f(x)x(a9)xa5a6

222y2a3f(0)0881a2a3 ∴ 3 则只须f(2)0，解之得

29

02x1．一元二次方程(1k)x2x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

A．k2

22)

B．k2,且k1 C．k2

D．k2,且k1

2．若x1,x2是方程2x6x30的两个根，则

A．2

B．2

11的值为( ) x1x2 C．

1 2 D．

9 23．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程

x2(2m1)xm230的根，则m等于(

A．3

B．5

2)

D．5或3

2

C．5或3

24．若t是一元二次方程axbxc0 (a0)的根，则判别式b4ac和完全平方式M(2atb)的

关系是( )

A．M

B．M

2

C．M

2 D．大小关系不能确定

5．若实数ab，且a,b满足a8a50,b8b50，则代数式

A．20

2b1a1的值为( ) a1b1B．2

C．2或20

D．2或20

6．如果方程(bc)x(ca)x(ab)0的两根相等，则a,b,c之间的关系是 ______

7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x8x70的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程2x(k1)xk30的两根之差为1，则k的值是 _____ ．

9．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，x11,x21是关于x的方程xqxp0的两实根，则p= _____ ，q= _____ ．

10．已知实数a,b,c满足a6b,cab9，则a= _____ ，b= _____ ，c= _____ ．

11．对于二次三项式x10x36，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．你是否同意他的看法？请你说明理由．

12．已知关于x的一元二次方程x(4m1)x2m10．

2222222(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

30

(2) 若方程的两根为x1,x2，且满足

111，求m的值． x1x2213．已知关于x的方程(k1)x(2k3)xk10有两个不相等的实数根x1,x2．

(1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不

2存在，请你说明理由．

14．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，

求m的值． 答案： 1． B

2． A

3．A

4．A

5．A

6．ac2b,且bc 7． 3

8． 9或3

9．p1,q3 11．正确

10．a3,b3,c0

212．(1)16m50 (2)m13．(1)k1 213且k1 12(2) 不存在

14．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

31

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17．

32

第7课 二次函数的图象和性质

知识回顾

1．二次函数的图象与解析式

二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

【例1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为ya(x2)21(a0)，

∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴1a(32)21，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为y2(x2)21，即y＝－2x2＋8x－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

【例2】 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，

2212a4a4a， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为

4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝所以，二次函数的表达式为y＝

1． 212313xx，或y＝－x2x． 2222分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离

为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．

又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．

33

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2． ∴a＝－

11，或a＝． 2211(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 22所以，所求的二次函数为y＝－

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，

在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

【例3】 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

22abc,由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得8c,

84a2bc, 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．

所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．

思考：通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 1

（2）函数y＝－ (x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）

2 （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

2． 二次函数的最值

34

二次函数yaxbxc (a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经

24acb2bb知道：当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得

4a2a2a4acb2最大值，无最小值．

4a今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题．

【例1】当2x2时，求函数yx2x3的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．

解：方法一：作出函数的图象．当x1时，ymin4，当x2时，ymax5． 方法二：配方法

2yx22x3(x1)24

当x1时，ymin4， 当x2时，ymax5．

【例2】当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

解：方法一：作出函数的图象．当x1时，ymax1，当x2时，ymin5． 方法二：配方法，y(x)21225， 4当x1时，ymax1，当x2时，ymin5．

说明：由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

35

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

解：方法一：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象． 可以看出：当x1时，ymin1，无最大值． 所以，当x0时，函数的取值范围是y1．

方法二：yx(2x)x2x(x1)1，当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1．

【例4】当txt1时，求函数yx2x5的最小值(其中t为常数)．

分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数yx2x5的对称轴为x1．画出其草图．

2(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t1时： 当xt时，ymint2t5；

22222(2) 当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时：

2当x1时，ymin12156；

(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：

22当xt1时，ymin(t1)2(t1)5t6．

综上所述：ymint26,t06,0t1 t22t5,t12【例5】当0x2时，求函数yxtx1的最小值(其中t为常数)．

分析：由于对称轴随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数yxtx1的对称轴为x

2t． 236

(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t0时：当x0时，ymin1；

t2tt(2) 当对称轴在所给范围之间．即02，即0t4时，当x，ymin1；

422 (3) 当对称轴在所给范围右侧．即t4时，当x2时，ymin32t

综上所述：ymin1,t0t21,0t4．

432t,t4

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．求下列二次函数的最值：

(1) y2x4x5；

222

(2) y(1x)(x2)．

4．求二次函数y2x3x5在2x2上的最大值和最小值，并求对应的x的值． 5．对于函数y2x4x3，当x0时，求y的取值范围． 6．求函数y35x3x22的最大值和最小值．

7．已知关于x的函数yx(2t1)xt1，当t取何值时，y的最小值为0？

8．已知关于x的函数yx2ax2在5x5上．

9．函数yx2x3在mx0上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．

37

22222(1) 当a1时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a为实数时，求函数的最大值．

10．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b．

11．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

12．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

答案

222l2231．4 14或2， 2．m

1623．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值4．当x9，无最小值． 4331时，ymin；当x2时，ymax19． 485．y5

6．当x352时，ymin3；当x或1时，ymax3．

663

7．当t

5时，ymin0． 438

8．(1) 当x1时，ymin1；当x5时，ymax37．

(2) 当a0时，ymax2710a；当a0时，ymax2710a． 9．2m1． 10．a2,b2． 11．a1或a1． 412．当t0时，ymax22t，此时x1；当t0时，ymax22t，此时x1．

39

第8课 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法

知识回顾

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法．进入高中之后，我们会学习更多类型的方程的解法．高中新课标必修2中学习直线与圆的方程时，涉及到二元二次方程组的解法，本讲内容主要涉及到二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法．

1．简单的二元一次方程组

二元一次方程组的应用范围很广，然而它的解法一般比较复杂，容易出错．我们要认真研究，细心观察，根据题目特征寻求又快又好的解题方法． 1.1代入消元法解二元一次方程组 3x2y7,【例1 】 解方程组 x2y5.①②

解析：由②，得 x52y. ③ 将③代入①，得 3(52y)2y7， 156y2y7，8y8，y1. 把 y1代入③，得 x3.

x3,所以原方程组的解是

y1.点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y的代

数式表示x. 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.

x3y4,变式1：用代入法解方程组：11xy0.42

①②

2.2加减消元法解二元一次方程组 ①5m2n1,【例2 】解方程组：

7m3n16.②③15m6n3,解析：法一：①×3，②×2，得

14m6n32.④m1,③-④，得29m=-29，m=-1. 将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3. 所以原方程组的解为

n3.③35m14n7,法二：①×7，②×5，得

35m15n80.④ 40

m1,③+④，得29n=87，n=3. 把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1. 所以原方程组的解为

n3.

2．简单的三元一次方程组

三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程．

a1xb1yc1zd1它的一般形式是a2xb2yc2zd2 ，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一

axbyczd3333元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数．

3x4z7【例3】 解方程组 2x3yz95x9y7z8①② ③分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35． （4）

3x4z7与④组成方程组11x10z35①④

x51解这个方程组，得，把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，∴y．

3z2x51所以y

3z23x4zz14【例4】 解方程组x5y2z172x2yz3①② ③分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z． 解：①+③，得 5x+6y=17 ④ ②+③×2，得， 5x+9y=23 ⑤

5x6z17x1④与⑤组成方程组，解这个方程组，得， 把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴ z=3

5x9y23y2 41

x1∴ y2 z3

1. 解下列三元一次方程组

1） 2．已知

2） 3）

xyz，且x+y+z=24，求x、y、z的值． 3453．代数式ax2+bx+c在x为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：

（1）a，b，c的值；（2）当x=-4时，求代数的值． *4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：*5．已知

xyz的值．

2x3y4zxyyzzx且xyz≠0，求x：y：z．． 567*6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？ 答案：

x41.(1) y3 (2)

z8a3b0 (3) c6x8y4 z22. x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-41 4.

1 85. x:y:z3:2:4

6..金笔 5支 铂金笔5支 圆珠笔90支

3．简单的二元二次方程组

42

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 3.1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元

一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 【例5】解方程组2xy0 (1)xy30 (2)22

解：由(1)得：y2x (3)

将(3)代入(2)得：x(2x)30，解得：x11或x21 把x1代入(3)得：y22；把x1代入(3)得：y22．

22

x11x11∴原方程组的解是：． 或y2y211说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：

①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；

(2) 消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，

如x2y10，可以消去x，变形得x2y1，再代入消元．

(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．

x24y240,练习1．解方程组

x2y20.解：第二个方程可变形为 x＝2y＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y2＋8y＝0，

即y(y＋1)＝0， 解得y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． 所以原方程组的解是 x12,

y10，x20, y21.说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 【例6】解方程组xy9 (1)

xy18 (2)43

解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程z9z180的两根，解方程得：

2x13x16z3或z6． ∴ 原方程组的解是：． 或y16y13xya说明：对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要

xyb换成异于x、y的字母，如z． 练习1．解方程组xy7,①

② xy12.解法一：由①，得 x7y. ③

2把③代入②，整理，得 y7y120 解这个方程，得 y13,y24．

把y13代入③，得x14；把y24代入③，得x23．

所以原方程的解是 x14,

y13，x23, y24.解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y．

这个方程组的x,y是一元二次方程 z7z120 的两个根，解这个方程，得 z3，或z4． 所以原方程组的解是 

2．解下列方程组:

（1） 2x14,x23, 

y3;y4.12yx5,22xy625;x2y2y22x,1,（3） 5 （4）2 42xy8.yx3;2．（1） （2）xy3,

xy10;x115,y120,x220,x15, （2）y15;2y12,x22, y5;25x,x12,3 （3） （4）

y12,y4.33.2 由两个二元二次方程组成的方程组

x22, y22.方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．

2xxy12 (1)【例7】解方程组 2xyy4 (2) 44

分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．

解：(1)(2)3得：xxy3(xyy)0，

即 x2xy3y0(x3y)(xy)0， ∴ x3y0或xy0 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：2222

x3y0xy0． ,22xyy4xyy4

x13x23用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：． ,y1y112说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任

一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．

x2y226 (1)【例8】解方程组

xy5 (2)2分析： (1)(2)2得：(xy)36 (3)，(1)(2)2得：(xy)16 (4)，分别分解(3)、(4)可

2得四个二元一次方程组．

解：(1) +(2)2得：xy2xy36(xy)36xy6或xy6， -(2)2得：xy2xy16(xy)16xy4或xy4．

222222 (1)

解此四个方程组，得原方程组的解是：x15x21x31x45,,,．

y11y25y35y41

x2y2ax2y2axym说明：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式，通过构

xynxybxyb造一元二次方程求解．

A 组

1．解下列方程组：

xy26(1) 

yx

x22y28(2) 

xy2x2y0(4) 2

3x2xy1045

xy1(3) 2 22x3xyy5

2．解下列方程组：

(1) xy3xy2

3．解下列方程组：

(1) x(2x3)0yx21

(3) (xy2)(xy)0x2y28

4．解下列方程组： (1) x2y2

3x2y20

1．解下列方程组：

(1) x2y3x22y3x20

2．解下列方程组：

(1) xy3xy2

3．解下列方程组： (1) 3x2y2

8x2xyy24

4．解下列方程组：

(1) x2y252

xy5．解下列方程组:

（1） yx5, x2y2625;x2y2（3） 51, 4yx3;

(2) xy1xy6

(2) (3x4y3)(3x4y3)03x2y5

(4) (xy)(xy1)0(xy)(xy1)0

(2) xyx16xyx8

B 组

(2) 2x3y12x23xyy24x3y30(2) x2y42xy21

(2) x2y24xy21

2(2) xy4x2y210

（2）xy3,xy10;

 （4）y22x,x2y28. 46

答案：

A 组

8x2x1x13x22x10x431．(1),,(2),,(3),(4)y3y13y22 y12y2 y2132． (1)1010x22,2

1010y244x11x22x3x22 ,,(2)1,y12y21 y12y23 3713x2x213x32xxx10x1311223．(1) ,,, ,,(2)3,3,(3)y131y213y32y11y5y1y41224

11xxx42x102232x41,(4),,,． y42y10y1y1y402322x14．(1) y16666xxx2342,2,2,2．(2)

6666yyy2342222B 组

x4． y37x1x5x21x2541．(1)1 ,,(2),y14y21 y3y23 12x17x23x11x222．(1),,(2)3,7

y1y2y12y21 22613613x42x1x2x0x20x323． 1313x32x42(2)1,,,(1),,,y12y22y42y32y213y213y32y42121313x11x23x12x21x31x424．(1)， (2),,,,y3y1 y1y2y2y1121243 47

x115,x220,x15,x22,5．（1） （2） y20,y15;y2,y5;12125x,3 （4）x12, x22,

（3）y2,41y22.y.3

48

第9课 分式方程与无理方程的解法

知识回顾

在初中，我们学过一元一次方程和一元二次方程的解法，本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用“去分母”或“换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用“平方”或“换元法”求根，并会验根．

1.分式方程的解法

1.1 去分母化分式方程为一元二次方程 【例1】解方程

14x221． x2x4x2分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为：

14x21 x2(x2)(x2)x22

2方程两边各项都乘以x4得，(x2)4x2(x2)x4

即3x6x4， 整理得：x3x20，解得：x1或x2． 检验：把x1代入x4，不等于0，所以x1是原方程的解；

把x2代入x4，等于0，所以x2是增根．

2222所以，原方程的解是x1．

说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：

①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．

(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验．

1.2用换元法化分式方程为一元二次方程

x223x2)40 【例2】解方程 (x1x1x2y，分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设

x1即得到一个关于y的一元二次方程．

49

x2y，则原方程可化为：y23y40 解得y4或y1． 解：设

x1

x24，去分母，得x24(x1)x24x40x2； (1)当y4时，

x1x2151x2x1x2x10x(2)当y1时，． x12

检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，x2，x15都是原方程的解． 28(x22x)3(x21)211． 【例3】解方程

x21x2xx22xx21分析：注意观察方程特点，可以看到分式2与2互为倒数．

x1x2xx211x22x y，则2解：设2x2xyx1

原方程可化为：8y33118y211y30y1或y． y8x22x11x22xx21x； (1)当y1时，22x1(2)当y

3x22x31时，28x216x3x235x216x30x3或x． 85x1811，x3，x． 25检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是x说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．

2．可化为一元二次方程的无理方程

根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 2.1．平方法解无理方程 【例4】解方程

x7x1

2解：移项得：x7x1， 两边平方得：x7x2x1

移项，合并同类项得：xx60，解得：x3或x2

50

2

检验：把x3代入原方程，左边右边，所以x3是增根．

把x2代入原方程，左边 = 右边，所以x2是原方程的根．

所以，原方程的解是x2．

说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 【例5】解方程

3x2x33

分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．

解：原方程可化为：3x23

2x3 ，两边平方得：3x296x3x3

整理

2整理得：6x3142x3x37x，两边平方得：9(x3)4914xx，

得：x23x220，解得：x1或x22．

检验：把x1代入原方程，左边=右边，所以x1是原方程的根．

把x22代入原方程，左边右边，所以x22是增根．

所以，原方程的解是x1．

说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．

2.2．换元法解无理方程

【例6】解方程 3x215x2x25x12

分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x15x33(x5x1)．因此，可以设程先转化为关于y的一元二次方程处理．

解：设x25x1y，则x5x1y3x15x3(y1)

222222x25x1y，这样就可将原方

原方程可化为：3(y1)2y2， 即3y2y50，解得：y1或y225． 3(1)当y1时，x25x11x25x0x1或x0；

51

(2)当y5时，因为x25x1y0，所以方程无解． 3检验：把x1,x0分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是x1,x0．

说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．

A 组

1．解下列方程：

(1)

2x1x5

(x1)(x2)(x2)(x3)211 2y4y22(2)

xx7 2x211x21x212x351521 2x42x (3) (4)

2．用换元法解方程：x3．解下列方程：

(1)

44 2xx2x

(2)

x5x7

(3)

x32x

4．解下列方程：

(1)

3x1x41

(2)

2x4x51

5．用换元法解下列方程：

(1) x12x0

(2) x23x B 组

x23x6

1．解下列方程：

(1)

2x541

x23x2x24x2 (2)

x41x6

x2x2x1x24x12x4x20 x1x1x1 (3)

1x112 x7(2x1)(x7)2x3x1(4)

2．用换元法解下列方程：

52

x25x24(x1)140 (1)

x1x(x5)

2(x21)6(x1)27 (2)

x1x1

x42x21x212 (3) 2xx3．若x1是方程

x14的解，试求a的值． xaxa3x6x2ax3224．解下列方程： (1) 2 2x4x1 (2)

xaax2xax2x3

5．解下列方程： (1) x2x213 (2) x106x105(3)2x24x3x22x615

53

答案

A 组

1．(1)x1 ,(2)x1,x21,(3)y0,y1,(4)x3,x5 2．x2 3．(1)x1,(2)x6,(3)x4．(1)x5．(2) x20． 5．(1)x9,(2)x1,x4

B 组

1．(1)x113,(2)x3,(3)x5,x1,(4)x53 21 32．(1)x1,x2,x3,x4,(2)x12,x317,(3)x1 43．2 22321,(2)xa 224．(1)x0,x2,x5．(1)x2,(2)x26,(3)x3,x1

54

第10课 一元一次不等式（组）的解法

知识回顾

1．一元一次不等式组

由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组．如：2x30．

3x452．一元一次不等式组的解集

组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.

（1）求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分．

(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：

（3）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．解一元一次不等式组的一般步骤为： ①分别解不等式组中的每一个不等式；

②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；

③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).

④用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．

6x23x4【例1】解不等式组2x11x123 解析：解不等式①，得x①②，并把它的解集在数轴上表示出来．

分析：先求不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求它们的公共部分即不等式组的解集．

22；解不等式②，得x＜1．所以不等式组的解集为x1 33 在数轴上表示不等式①②的解集如图．

55

说明：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画．有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．

2x15 3 思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集． 【例2】解不等式：12x113 解法1：原不等式可化为下面的不等式组2x153① ② 解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8

所以不等式组的解集为－1＜x≤8．即原不等式的解集为－1＜x≤8

2x15，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8． 3 所以原不等式的解集为－1＜x≤8 说明：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.

3．含参数的一元一次不等式组 解法2：1x3a2 【例3】若不等式组无解，求a的取值范围.

x2a5解析：依题意： 2a-5 ≥ 3a-2，解得a ≤ -3

总结升华：特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.

5x23x41．解不等式组：x8x3①②

解析：解不等式①，得：x3，解不等式②，得：x2，在数轴上表示这两个不等式的解集为：

∴原不等式组的解集为：2x3

3x40 2．解不等式组：2x132x53x4①②， ③思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点： （1）不等式组里不等式的个数并未规定；

（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.

（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别

56

4 解法一：解不等式①，得：x，解不等式②，得：x2，解不等式③，得：x1，在数轴上表示这三

3个不等式的解集为：

4 ∴原不等式组的解集为：x1

3 解法二：解不等式②，得：x2

解不等式③，得：x1 由x2与x1得：x1

44 再与x求公共解集得：x1.

331①x1x3．解不等式组：2

2x43x3② 解析：解不等式①得：x＞－2，解不等式②得：x＜－7 ∴不等式组的解集为无解

①5x23(x1)4．求不等式组1的整数解． 3x17x②22 思路分析：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解．

5；解不等式②，得x≤4． 2 在数轴上表示不等式①②的解集(如图) 解析：解不等式①，得x

所以不等式组的解集为

5x4． 2 所以它的整数解为3,4．

xm15．若不等式组无解，则m的取值范围是什么？

x2m1 解析：要使不等式组无解，故必须m12m1，从而得m2.

57

x4x16．若关于x的不等式组32的解集为x2，则a的取值范围是什么？

xa0x4x， 1可解出x232 而由xa0可解出xa， 而不等式组的解集为x2，

故2a，即a2.

总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高.解这类 解析：由

题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，最后归结为对不等式组确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解．

1①(2x1)x17．不等式组3的解集为x＜2，试求k的取值范围.

xk0② 解析：由①得 x＜2，由②得x＜k，

∵不等式组的解集为 x＜2，∴ 2≤k．即k≥2.

解集的

8．已知关于的不等式组 解析：∵不等式组 不等式组

的整数解共有5个，求的解为: 的解为:

的取值范围．

由于原不等式组有解，∴解集为

在此解集内包含5个整数，则这5个整数依次是 ∴m必须满足

①xa29．若不等式组的解集为－1＜x＜1，则(ab)2016＝____________．

b2x0② 解析：由①知x＞a＋2，由②知xbb，∵a＋2＝－1，1，∴a＝－3，b＝2， 22 ∴a＋b＝－1，∴(ab)2016(1)20161．

58

第11课 一元二次不等式的解法

知识回顾

形如axbxc0(或0) (其中a0)的不等式称为关于x的一元二次不等式． 1．因式分解后分类讨论解一元二次不等式

在初中，我们学习过“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，若一元二次不等式左边可以因式分解，则可将其转化为一元一次不等式组． 【例1】解不等式xx60．

解：原不等式可以化为：(x3)(x2)0，

22于是：x3x3x30x30或或x3或x2

x2x20x20x2所以，原不等式的解集是{x|x3或x2}．

说明：当把一元二次不等式化为axbxc0(或0)的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式：

(1) xx120

22

2

(2) x4x0

2分析：要先将不等式化为axbxc0(或0)的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：xx120，即(x3)(x4)0

2x30x30于是：或3x4， 所以原不等式的解是3x4．

x40x40(2) 原不等式可化为：x4x0，即x24x0x(x4)0

2

于是：x0x0或x0或x4

x40x40

所以原不等式的解是x0或x4．

2． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式

设axbxc0或axbxc0a0相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为

222 59

x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数 0 0 0 yax2bxc yax2bxc yax2bxc yax2bxc （a0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R  axbxc02a0的根x1,x2(x1x2) x1x2b 2aax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集 xxx或xx 12bxx 2a  xx21xx2 以二次函数yxx6为例： (1) 作出图象yxx6；

(2) 根据图象容易看到，图象与x轴的交点是(3,0),(2,0)，即当x3或2时，y0．就是说对应的一元二次方程xx60的两实根是x3或2．

(3) 当x3或x2时，y0，对应图像位于x轴的上方．

就是说xx60的解集是{x|x3或x2}．

当3x2时，y0，对应图像位于x轴的下方．

就是说xx60的解集是{x|3x2}．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“0”型的解为xx1或xx2(俗称两根之外)；“0”型的解为x1xx2(俗称两根之间)；

2222 60

b24acb2)(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成axbxca(x，结合完全平方式为非负数2a4a2的性质求解．

【例3】解下列不等式：

(1) x2x80

2 (2) x4x40 (3) xx20（4）xx60

∴ 不等式的解集是{x|2x4}．

222解：(1) 不等式可化为(x2)(x4)0 (2) 不等式可化为(x2)0 (3) 不等式可化为(x)2∴ 不等式的解集是{2}．

12270，所以无解． 4（4）不等式可化为(x2)(x3)0 ∴ 不等式的解集是{x|x2或x3}． 归纳小结：若x1，x2是一元二次方程的两个根，且x1x2，则有：

（1）(xx1)(xx2)0x1xx2 （2）(xx1)(xx2)0xx1或xx2 练习1．解下列不等式

（1）x3x20 （2）6x5x4 （3）32xx0 （4）2xx10 解：(1) 不等式可化为(x1)(x2)0 ，∴ 不等式的解集是{x|1x2}； (2) 不等式可化为(2x1)(3x4)0，∴ 不等式的解集是{x|2222241x}； 32 (3) 不等式可化为x2x30，即(x1)(x3)0，∴ 不等式的解集是{x|1x3}； （4）不等式可化为(2x1)(x1)0 ∴ 不等式的解是{x|x或x1}． 练习2．解下列不等式

（1）4x4x10； （2）x5x30．

解：(1) 不等式可化为(2x1)0 ，∴ 不等式的解集是{x|x212221}； 2（2）x5x30的根为x222513513513x}； ，∴ 不等式的解集是{x|222练习3．不等式xax12a0a0的解是_____________．

解：{x|4ax3a}

练习4．若0a1，则不等式axx

10的解是_____________． a61

解：{x|ax}

【例4】已知不等式axbx10的解为解：依题意，21a11x，求a和b的值，并解不等式bx25xa0． 23112和是方程axbx10的两根， 2311b111方法1：由韦达定理，∴ ，，解得a6，b=1．

23a23a121a()b()1022方法2：直接代入方程得，，解得a6，b=1

a(13)2b(13)10∴ 不等式bx25xa0为x25x60，解得x1或x6． ∴ 不等式bx25xa0的解集为{x|x1或x6}． 练习5．设一元二次不等式ax2bx10的解为1x13，则ab的值是（ A．6

B．5 C．6 D．5

解：C

【例5】已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．

解：显然k0时，不合题意，于是：

k0(2)24k20k0k10k02k1或k1k1． 练习1．已知对于任意实数x，kx22x6恒为正数，求实数k的取值范围．

解：显然k0时，kx22x62x6不恒为正数，不合题意，于是：

k0k1． (2)24k606【例6，选做】解关于x的不等式：x22xa0(a为实数)．

解：原不等式对应的一元二次方程为：x22xa0，44a， 当a1时，44a0，原不等式无解；

当a1时，对应一元二次方程的两个解为：x11a，

所以x22xa0的解为：11ax11a 综上所述，a1时，原不等式无解；

62

）当a1时，原不等式的解为：{x|11ax11a}．

1．解下列不等式：

（1）3x7x20 （2）6xx20 （3）4x4x10 （4）x3x50 2．不等式x12x0的解是____________． 3．不等式x2x30的解是____________．

4．不等式x5x60的解是_________________________．

5．若代数式6xx2的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 ． 6．已知不等式k1x26x80的解是x2或x222222224，则k_________． 57．已知不等式xpxq0的解集是x3x2，则pq________． 8．不等式axbxc0的解集为2x3，则axbxc0的解是________． 9．已知一元二次方程x4xk0，求下列各条件下，实数k的取值范围． （1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根

10．解不等式

63

222（1）9x6x10 （2）x(a)10(a0,a为实数) 答案：

221a112（2）x或x；（3）无解；（4）全体数 x2；

323122．1x2 3．x3或x1 4．2x3 5．x或x 6．4 7．5

231．（1）

8．3x2

9．（1）0x4 （2）x0 （3）3x4 10．（1）xx

13（2）原不等式可变为：(xa)(x)0，（1）当a1或1a0时，x1a1xa； a（2）当a1时，无解；（3）当0a1或a1时，xax1． a

64

第12课 分式不等式和特殊的高次不等式的解法

知识回顾

1．简单分式不等式的解法

【例1】 解不等式：

x30． x7解：解法1：化为两个不等式组来解： ∵

x30x30x30或x∈φ或7x37x3， x7x70x70∴原不等式的解集是x|7x3．

解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为

两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．

∵

(x3)(x7)0x307x3， x7x70∴原不等式的解集是x|7x3. 小结：（1）

axbaxb0(axb)(cxd)0；0(axb)(cxd)0

cxdcxd（2）

(axb)(cxd)0axb(axb)(cxd)0axb； 00cxdcxdcxd0cxd02x30 x1x30 2xx133，所以原不等式的解集为{x|1x}． 22练习1：解下列不等式：

(1)

(2)

解：（1）原不等式可化为：(2x3)(x1)01x

(2) ∵ xx1(x)212230，原不等式可化为：x30x3，所以原不等式的解集4为{x|x3}． 【例2】解不等式

13． x2解：原不等式可化为：

(3x5)(x2)013x53x55所以原不等式的3000x2或x，

x2x2x23x20解集为{x|x2或x}．

说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

练习2：解下列不等式

65

5352x11 （2）3 xx25x解：（1）0x(x5)00x5，所以原不等式的解集为{x|0x5}．

x2x1x7（2）3007x2，所以原不等式的解集为{x|7x2}．

x2x2（1）

归纳小结：解分式不等式的一般步骤是：移项，通分，右边化为0，左边化为

f(x)0(或,,)的形式，g(x)然后转为f(x)g(x)0(或,,)．

2．简单的高次不等式的解法

【例1】解不等式：(x1)(x2)(x3)0；

解法一（列表法）：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：2，1，3； ③列表如下：

x+2 x-1 x-3 各因式积 - - - - -2 1 3 + - - + + + - - + + + + ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|2x1或x3}． 小结：此法叫列表法，解题步骤是：

①将不等式化为(xx1)(xx2)(xxn)0(0)形式（各项x的系数化为正数），令

(xx1)(xx2)(xxn)0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个

分界点把数轴分成n1部分……；

②按各根把实数分成的n1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面各因式积的符号写出不等式的解集．

解法二：（穿根法）

①(x1)(x2)(x3)0的根是2，1，3，在数轴上表示这三个数， ②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点

66

③若不等式（x的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在x轴上方的区间； 若不等式是“< 0 ”,则找“线”在x轴下方的区间. 由图可知，原不等式的解集为：{x|2x1或x3}． 小结：此法叫穿根法，解题步骤是：

①将不等式化为(xx1)(xx2)(xxn)0(0))形式，并将各因式x的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间．

注意：奇穿偶不穿

【例2】 解不等式：(x2)(x3)(x1)0

解：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

23

④∴原不等式的解集为：{x|1x2或2x3}.

说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(xx1)时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” ．

练习1：解不等式：(x3)(x1)(x4x4)0

解：①将原不等式化为：(x3)(x1)(x2)0；

②求得相应方程的根为：2（二重），1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图：

22n 67

④∴原不等式的解集是{x|1x3或x2}．

说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉． 练习2：解不等式

x313220 （1）x2 （2）(x7x12)(6xx)0 （3）

(x2)(x3)xx22x30x(x1)(x3)0x1或0x3， 解：（1）

x

所以原不等式的解集为{x|x1或0x3}． （2）(x3)(x2)(x3)(x4)0，

所以原不等式的解集为{x|x3或2x3或x4}．

(x2)(x1)(x3)0(x1)(x2x1)0（3）

(x2)(x3)x2且x3

所以原不等式的解集为{x|2x1或x3}．

1．解下列不等式：

(x2)2(x3)(x2)2(x3)(x2)2(x5)0 （2）0 （3）0 （1）

x1x1x4(x5)(x3)2(x2)2(x3)30 0 （5）（4）

(x1)2(x2)x1

68

2．解下列不等式：

2x23x12x23x73x1x1x10 （2）1 （4）(1) 2 1 （3）23x7x2xx23xx1x13．解下列不等式：(x2x12)(xa)0

答案：

1．（1）{x|1x2或2x3} （2）{x|1x3} （3）{x|x2或4x5} （4）{x|1x2或2x3} （5）{x|2x5} 2．（1）{x|x1或11x或x2} （2）(2,3) 23（3）{x|x5或1x1或x2} （4）{x|1x0或x1}

3．解：(x3)(x4)(xa)0

①当a4，即a4时，解集为(3,4)(a,)；

②当3a4，即4a3时，解集为(3,a)(4,)； ③当a3，即a3时，解集为(a,3)(4,)； ④当a4，即a4时，解集为(3,)； ⑤当a3，即a3时，解集为(4,)．

69

第13课 集合及其运算

知识回顾

1．集合的有关概念

在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的几何，有理数的集合，不等式x73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），…．． 1.1 集合的概念

那么集合的定义是什么？看下面的例子：

（1）1～20以内所有的质数； （2）高一30班所有学生；

（3）我们从2001～2010年间发射的所有的人造卫星； （4）所有正方形；

（5）方程x23x20的所有实数根； （6）四大洋．

分析：（1）中，我们把1～20以内的每个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，（2）中把高一30班每一个学生作为元素，这些元素的全体也组成了一个集合．

思考：上面的（3）～（6）能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集． 例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；

“1～20以内所有的素数”也能组成一个集合； “四大洋”可以组成一个集合

以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法” ． 以上三个集合我们还可以表示成：{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山} 、 {2,3,5,7,11,13,17,19}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

像这样把集合一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合A、B、C、P、Q……等等，例如集合A{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山}，B{2,3,5,7,11,13,17,19}．同时，我们用小写拉丁字母a、b、c、……

表示集合中的元素．

【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）

A．某班个子较高的同学 C．我国著名数学家

B．相当大的实数 D．倒数等于它本身的数

70

解：D

练习1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【答案】C

【例2】用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集；（3）方程x22x150的解． 解：（1）A{0,2,4,6,8,10} （2）B{2,3,5,7} （3）C{3,5} 1.2元素与集合的关系

给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个在不在这个集合中就确定了．例如“1～20以内所有的素数”构成一个集合，2、3、5在这个集合中，但是4、6、23就不在这个集合中．

一般地，如果a 是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA．

【例3】用符号“”或“”填空

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国____A，美国______A，印度_____A，英国______A．

（2）若xx的解集记为A，则1______A；

（3）若xx60的解集记为B，则1______B；

（4）所有满足1x10的整数x组成的集合记为C，则8____B，9.1____B． 解：（1）；；； （2）；（3） （4）； 1.3 集合中元素的特性

对于任何一个元素a和任意一个集合A，元素a要么在集合A中，要么不在A中，只有这两种关系．这是集合元素的第一个特性：确定性．

一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现．例如，若A{a,b}，则ab，这是集合元素的第二个特性：互异性．

集合中的元素没有一定的顺序．例如集合A{a,b,c}，集合A也可以写成A{b,c,a}，A{b,a,c}等等．这体现了集合元素的第三个特性：无序性． 1.4 特定集合及其记法

非负整数集（也叫自然数集），记作N，即 N{0,1,2,3,}； 正整数集，记作N*或N，即 N*N{1,2,3,}； 整数集，记作Z，即Z{2,1,0,1,2,}；

71

22有理数集，记作Q； 实数集，记作R． 1.5 集合的表示 1.5.1列举法

把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合．

例如，“1～20以内所有的素数”组成的集合，可以表示成{2,3,5,7,11,13,17,19} 50～100内的所有整数组成的集合{50,51,52,,99,100} 所有正奇数组成的集合{1,3,5,7,}

这里要注意，a 与{a}不同，a 表示一个元素， {a}表示一个集合，该集合只有一个元素． 1.5.2 描述法

思考：你能用描述法表示不等式x73的解集吗？

不能，因为这个集合的元素是列举不完的，但我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述这个集合． 不等式x73的解集中，所有元素的共同特点是：xR，且x73，即x10．所以我们可以把这个集合表示成：{xR|x10}．

又如，任何奇数都可以表示成x2k1(kZ)，所以所有奇数组成的集合我们可以记为 {xZ|x2k1,kZ}．

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体格式为：{xA|p(x)}，其中x表示该集合的代表元，p(x)表示该集合中所有的元素具有性质p(x)．例如{xR|x10}表示，集合中代表元是实数，这些实数满足条件x10．

【例4】用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x220的所有根组成的集合；（2）大于10小于20的所有整数组成的集合． 解：（1）{2,2}，{x|x220} （2）{11,12,,18,19}，{xZ|10x20} 1.5.3 图示法

①数轴表示，例如，不等式x73的解集为{xR|x10}，可以表示为

②坐标平面表示法（用点和图形来表示）

211351371719

③用韦恩图（Venn图）表示，例如集合“1～20以内所有的素数”，如上图．

72

【例5】若a{1,1,a}，求a的值．

解：∵a{1,1,a}，

（1）若a1，则{1,1,a}{1,1,1}与集合元素互异性矛盾，舍； （2）若a1，则{1,1,a}{1,1,1}与集合元素互异性矛盾，舍； （3）若aa，解得a0或a1（舍）． 所以a0．

练习1：已知集合A{a3,2a1}，若3A，求a的值．

解：∵3A，

（1）当3a3，则a0；（2）当32a1，则a1； 经检验，a0或a1满足题意，所以a0或a1． 练习2：已知集合A包含三个元素，1,0,m，若mA，求m的值．

解：∵A包含三个元素，1,0,m，∴m0且m1， ∵mA， （1）若m1，解得m1或m1（舍）； （2）若m0，解得m0（舍）；

（3）若mm，解得m0（舍）或m1（舍）． 所以m1．

2222222222

2. 集合间的基本关系

2.1 子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时称集合A是集合B的子集．

记作AB，或BA，读作：A包含于B，或B包含A． 用符号语言表示为：任意xAxB，则AB． 例如：{0,2,4,6,8}{偶数}，{梯形}{四边形} 用Venn图（韦恩图）表示为图（1）和图（2）：

73

BA

图（1） 图（2）

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含A时，则记作AB或BA． 例如：{三角形}{梯形} 有几个方面要注意的

（1）AB有两种可能：①A是B的一部分；②A与B是同一个集合．

（2）“”与“”的区别：“”用于元素与集合之间；“”用于集合与集合之间． （3）子集的传递性：AB，且BC，那么AC．

（4）集合相等，如果集合A与集合B中的元素是一样的，那么AB．对于集合A，B，若有AB，BA，则有AB，如上面图（2）． 2.2 真子集

对于两个集合A，B，如果AB，但AB，我们就说集合A是集合B的真子集， 记作AB(或BA)，读作A真包含于B，或B真包含A． 2.3 空集

把不含任何元素的集合叫做空集，记作．

规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A，均有：A． 注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A，均有：A． 2.4 有限集合元素的个数

集合{a}的所有子集为：、{a}，共有2个子集；

集合{a,b}的所有子集为：、{a}、{b}、{a,b}，共有4个子集；

集合{a,b,c}的所有子集为：、{a}、{b}、{c}、{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共8个子集； 结论：含有n个元素的集合{a1,a2,a3,...,an}的所有子集个数是2n，所有真子集的个数2n1，非空真子集的个数为2n2．

【例1】 写出集合{1,2}及{1,2,3}的子集

解：（1）、{1}、{2}、{1,2}，共有4个子集；

（2）、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个子集．

练习1：已知集合{1,2}A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A

解：集合A可以为：{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}．

74

1,ab,a0,【例2】设a,bR,集合b,b,则b2010a2009=（ ） aA．1 B．1 C．2 D． 2

ab0,b1,ab,a0,,b,又∵a0,∴解: ∵a,bR,集合

ab1∴a1，则b2010a2009=2,故选C．

练习2： 已知集合A{1,a,b}，B{a,a2,ab}，且A与B相等，求实数a，b的值．

1a21ab解: ∵AB，依题意有① 或②， 2babbaa1解①得a1（舍）或；解②得a1（舍），

b0所以a1，b0．

【例3】 已知集合A{x|x2x60}，B{x|ax10}，若BA，求实数a的值．

解: 依题意得，A{3,2}，

因为 BA，分B与B两种情况讨论： （1）当a0时，B，满足题意；

111111（2）当a0时，B{}A，所以A，所以3或2，解得a或a，

aaaa231111经检验a或a均满足题意，所以a的值为a0或a或a．

2323练习3：已知集合A{4，1,m}，B{4,5}，若BA，求实数m的值．

解: ∵BA，所以5A，所以m5

【例4】设集合Ax103xx0,Bxm1x2m1,若BA,求实数m的取值范围．

解：化简得，A{x|2x5}

①若B,得m12m1,解得m2,符合BA

2m12m1②若B,得m12即2m3时,有BA

2m15综合①②,当m3时, BA

点评:考虑集合之间的包含关系时容易遗漏空集．

75

练习4．若A{x|1x6}，B{x|m1x2m1}，若BA，求实数m的取值范围．

解：①若B,得m12m1,解得m2,符合BA

m12m②若B,得1m11，解得0m5时,有BA

2m162综合①②,当m2或0m52时, BA

1．若集合Ma,b,c中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

2．定义集合运算，Ａ＊Ｂ＝zzxy,xA,yB ，设A1,2，B0,2，则 集合Ａ＊Ｂ的所有元素之和是（ ）

A．0 B． 2 C．3 D．6

3．集合A＝3,5，B2,4,6,8，C(x,y)xA,yB，则C中元素的个数是（ ）

A．9 B． 8 C．3 D．4 4．满足1,0,1M1,0,1,2,3,4的集合M的个数是（ ）

A．4 B． 6 C．7 D．8

5．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xx2x0关系的韦恩（Venn）图是（

A． B． C． D．

6．设集合Ａ＝1,2,a，Ｂ＝1,a2a，若AＢ，则实数a的值为 7．若集合Axax2x10,aR至多有一个元素，则a的取值范围是 8. 集合Ax|axa3,Bx|x1或x5，若AB，求实数a的取值范围．

3.集合的基本运算

3.1交集与并集

由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，

76

）

记作AB，即AB{x|xA或xB}．

用Venn图表示为图（1）．

ABAB

图（1）A

B 图（2）AB

由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集， 记作AB，即AB{x|xA且xB}．

用Venn图表示为图（2）． 性质（1）A（2）AAA,A,ABBAA,AA,ABBA A

（3）如果用 card A来表示有限集合A中的元素的个数,那么对于任意两个有限集A,B,有:card(AB)card(A)card(B)card(AB) 【例1】 设集合A{4,5,6,8}，B{3,5，7,8}，求A解：AB{3,4,5,6,7,8}，AB{5,8}

B，AB

【例2】设集合A{x|1x2}，B{x|1x3}，求AB，AB．

解：方法1：AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x3}

AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x2}

方法2：用数轴表示

图（1）A

B 图（2）AB

练习1．设集合A{x|3x1}，B{x|1x4}，求A解：A3.2 全集与补集

B{x|3x4,且x1}，AB，AB．

B．

如果一个集合含有我们研究的全部的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 对于集合A而言，由全集U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，简称集

77

合A的补集，记作CUA，即CUA{x|xU,且xA}．

用Venn图（韦恩图）表示为：

UCUAA

【例3】设U{x|x是小于9的正整数}，A{1,2,3}，B{3,4,5,6}，求CUA，CUB．

解：U{1,2,3,4,5,6,7,8}，CUA{4,5,6,7,8}，CUB{1,2,7,8}． 【例4】设A{x|2x10}，求CRA．

11解：A{x|x}，CUA{x|x}．

22【例5】 设U{2,3,a22a3}，A{2a1,2}，CUA{5}，求实数a的值．

解：CUA{5}，所以5U，所以a22a35，解得a4或a2，经检验，当a4时，A{9,2}不满足题意，所以a2．

【例6 】设集合A{x|x20}，B{x|x3}，求CRA，CRB，(CRA)(CRB)，(CRA)(CRB)，CR(ACR(AB)．

B)，

解：A{x|x2}，CRA{x|x2}，CRB{x|x3}，A(CRA)CR(A(CRB)，(CRA)(CRB){x|x2或x3}，

B)．

(CUB)CU(AB{x|2x3}，ABR

B){x|x2或x3}，CR(A(CUB)CU(A摩根定律：(CUA)

B)，(CUA)B)，A(CUA)U，A(CUA)

A 组

1．设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则MA．01，

B．101，，

C．01，，2

N（ ）

D．101，，，2

2．已知全集U{1，2，3，4，5}，集合A{1,3}，B{3,4,5}，则集合CU(AA．{3} B．{4,5}

B)（ ）

C．{3,4,5}

78

D．{1，2，4，5}

3．设集合A{x|0x2}，B{x|x11}，则AB= ． x24．若AxRx3，BxRx0，则A5．已知集合Ax|x1，Bx|xa，且A

B ．

BR，则实数a的取值范围是______ ．

B 组

1,3,5,6,8,A1,6,B5,6,8,则(CUA)B( ) 1．设全集UA．6 B． 5,8 C． 6,8 D． 3,5,6,8 2．设全集UZ,A1,0,1,2,Bxx2x,则ACUB为( )

1,2 A．1,2 B． 1,0 C． 0,1 D． 3．若集合Ayyx2,1x1,Byy2x,0x1,则AB=____________

4．定义集合运算:ABzzxy(xy),xA,yB,设集合A0,1,B2,3,则集合AB的所有元素之和为( )

A．0 B． 6 C．12 D．18 5．若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A． AC B． CA C． AC D． A

1,2,3,4,5,集合Axx23x20,Bxx2a,aA,则集合CU(AB)中元素的6．已知全集U个数为

7．若Unn是小于9的正整数,AnUn是奇数,BnUn是3的倍数 则CU(AB)

8．已知集合Axxa,Bx1x2,且A(CRB)R,则实数a的取值范围是 9． 已知集合A{xx240}，集合B{xax20}，若BA，求实数a的取值集合．

10． 已知集合A{x1x7}，集合B{xa1x2a5}，若满足 AB{x3x7}，求实数a的值．

79

11． 已知方程x2axb0．

（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值

12． 已知集合A{x1x3}，B{yx2y,xA}，C{yy2xa,xA}，若满足CB，求实数a的取

值范围．

80

第13课 集合及其运算练习答案

知识回顾

1．集合的有关概念

在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的几何，有理数的集合，不等式x73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），…．． 1.1 集合的概念

那么集合的定义是什么？看下面的例子：

（1）1～20以内所有的质数； （2）高一30班所有学生；

（3）我们从2001～2010年间发射的所有的人造卫星； （4）所有正方形；

（5）方程x23x20的所有实数根； （6）四大洋．

分析：（1）中，我们把1～20以内的每个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，（2）中把高一30班每一个学生作为元素，这些元素的全体也组成了一个集合．

思考：上面的（3）～（6）能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集． 例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；

“1～20以内所有的素数”也能组成一个集合； “四大洋”可以组成一个集合

以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法” ． 以上三个集合我们还可以表示成：{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山} 、 {2,3,5,7,11,13,17,19}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

像这样把集合一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合A、B、C、P、Q……等等，例如集合A{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山}，B{2,3,5,7,11,13,17,19}．同时，我们用小写拉丁字母a、b、c、……

表示集合中的元素．

【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）

A．某班个子较高的同学 C．我国著名数学家

B．相当大的实数 D．倒数等于它本身的数

81

解：D

练习1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【答案】C

【例2】用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集；（3）方程x22x150的解． 解：（1）A{0,2,4,6,8,10} （2）B{2,3,5,7} （3）C{3,5} 1.2元素与集合的关系

给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个在不在这个集合中就确定了．例如“1～20以内所有的素数”构成一个集合，2、3、5在这个集合中，但是4、6、23就不在这个集合中．

一般地，如果a 是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA．

【例3】用符号“”或“”填空

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国____A，美国______A，印度_____A，英国______A．

（2）若xx的解集记为A，则1______A；

（3）若xx60的解集记为B，则1______B；

（4）所有满足1x10的整数x组成的集合记为C，则8____B，9.1____B． 解：（1）；；； （2）；（3） （4）； 1.3 集合中元素的特性

对于任何一个元素a和任意一个集合A，元素a要么在集合A中，要么不在A中，只有这两种关系．这是集合元素的第一个特性：确定性．

一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现．例如，若A{a,b}，则ab，这是集合元素的第二个特性：互异性．

集合中的元素没有一定的顺序．例如集合A{a,b,c}，集合A也可以写成A{b,c,a}，A{b,a,c}等等．这体现了集合元素的第三个特性：无序性． 1.4 特定集合及其记法

非负整数集（也叫自然数集），记作N，即 N{0,1,2,3,}； 正整数集，记作N*或N，即 N*N{1,2,3,}； 整数集，记作Z，即Z{2,1,0,1,2,}；

82

22有理数集，记作Q； 实数集，记作R． 1.5 集合的表示 1.5.1列举法

把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合．

例如，“1～20以内所有的素数”组成的集合，可以表示成{2,3,5,7,11,13,17,19} 50～100内的所有整数组成的集合{50,51,52,,99,100} 所有正奇数组成的集合{1,3,5,7,}

这里要注意，a 与{a}不同，a 表示一个元素， {a}表示一个集合，该集合只有一个元素． 1.5.2 描述法

思考：你能用描述法表示不等式x73的解集吗？

不能，因为这个集合的元素是列举不完的，但我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述这个集合． 不等式x73的解集中，所有元素的共同特点是：xR，且x73，即x10．所以我们可以把这个集合表示成：{xR|x10}．

又如，任何奇数都可以表示成x2k1(kZ)，所以所有奇数组成的集合我们可以记为 {xZ|x2k1,kZ}．

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体格式为：{xA|p(x)}，其中x表示该集合的代表元，p(x)表示该集合中所有的元素具有性质p(x)．例如{xR|x10}表示，集合中代表元是实数，这些实数满足条件x10．

【例4】用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x220的所有根组成的集合；（2）大于10小于20的所有整数组成的集合． 解：（1）{2,2}，{x|x220} （2）{11,12,,18,19}，{xZ|10x20} 1.5.3 图示法

①数轴表示，例如，不等式x73的解集为{xR|x10}，可以表示为

②坐标平面表示法（用点和图形来表示）

211351371719

③用韦恩图（Venn图）表示，例如集合“1～20以内所有的素数”，如上图．

83

【例5】若a{1,1,a}，求a的值．

解：∵a{1,1,a}，

（1）若a1，则{1,1,a}{1,1,1}与集合元素互异性矛盾，舍； （2）若a1，则{1,1,a}{1,1,1}与集合元素互异性矛盾，舍； （3）若aa，解得a0或a1（舍）． 所以a0．

练习1：已知集合A{a3,2a1}，若3A，求a的值．

解：∵3A，

（1）当3a3，则a0；（2）当32a1，则a1； 经检验，a0或a1满足题意，所以a0或a1． 练习2：已知集合A包含三个元素，1,0,m，若mA，求m的值．

解：∵A包含三个元素，1,0,m，∴m0且m1， ∵mA， （1）若m1，解得m1或m1（舍）； （2）若m0，解得m0（舍）；

（3）若mm，解得m0（舍）或m1（舍）． 所以m1．

2222222222

2. 集合间的基本关系

2.1 子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时称集合A是集合B的子集．

记作AB，或BA，读作：A包含于B，或B包含A． 用符号语言表示为：任意xAxB，则AB． 例如：{0,2,4,6,8}{偶数}，{梯形}{四边形} 用Venn图（韦恩图）表示为图（1）和图（2）：

84

BA

图（1） 图（2）

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含A时，则记作AB或BA． 例如：{三角形}{梯形} 有几个方面要注意的

（1）AB有两种可能：①A是B的一部分；②A与B是同一个集合．

（2）“”与“”的区别：“”用于元素与集合之间；“”用于集合与集合之间． （3）子集的传递性：AB，且BC，那么AC．

（4）集合相等，如果集合A与集合B中的元素是一样的，那么AB．对于集合A，B，若有AB，BA，则有AB，如上面图（2）． 2.2 真子集

对于两个集合A，B，如果AB，但AB，我们就说集合A是集合B的真子集， 记作AB(或BA)，读作A真包含于B，或B真包含A． 2.3 空集

把不含任何元素的集合叫做空集，记作．

规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A，均有：A． 注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A，均有：A． 2.4 有限集合元素的个数

集合{a}的所有子集为：、{a}，共有2个子集；

集合{a,b}的所有子集为：、{a}、{b}、{a,b}，共有4个子集；

集合{a,b,c}的所有子集为：、{a}、{b}、{c}、{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共8个子集； 结论：含有n个元素的集合{a1,a2,a3,...,an}的所有子集个数是2n，所有真子集的个数2n1，非空真子集的个数为2n2．

【例1】 写出集合{1,2}及{1,2,3}的子集

解：（1）、{1}、{2}、{1,2}，共有4个子集；

（2）、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个子集．

练习1：已知集合{1,2}A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A

解：集合A可以为：{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}．

85

1,ab,a0,【例2】设a,bR,集合b,b,则b2010a2009=（ ） aA．1 B．1 C．2 D． 2

ab0,b1,ab,a0,,b,又∵a0,∴解: ∵a,bR,集合

ab1∴a1，则b2010a2009=2,故选C．

练习2： 已知集合A{1,a,b}，B{a,a2,ab}，且A与B相等，求实数a，b的值．

1a21ab解: ∵AB，依题意有① 或②， 2babbaa1解①得a1（舍）或；解②得a1（舍），

b0所以a1，b0．

【例3】 已知集合A{x|x2x60}，B{x|ax10}，若BA，求实数a的值．

解: 依题意得，A{3,2}，

因为 BA，分B与B两种情况讨论： （1）当a0时，B，满足题意；

111111（2）当a0时，B{}A，所以A，所以3或2，解得a或a，

aaaa231111经检验a或a均满足题意，所以a的值为a0或a或a．

2323练习3：已知集合A{4，1,m}，B{4,5}，若BA，求实数m的值．

解: ∵BA，所以5A，所以m5

【例4】设集合Ax103xx0,Bxm1x2m1,若BA,求实数m的取值范围．

解：化简得，A{x|2x5}

①若B,得m12m1,解得m2,符合BA

2m12m1②若B,得m12即2m3时,有BA

2m15综合①②,当m3时, BA

点评:考虑集合之间的包含关系时容易遗漏空集．

86

练习4．若A{x|1x6}，B{x|m1x2m1}，若BA，求实数m的取值范围．

解：①若B,得m12m1,解得m2,符合BA

m12m②若B,得1m11，解得0m5时,有BA

2m162综合①②,当m2或0m52时, BA

1．若集合Ma,b,c中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

2．定义集合运算，Ａ＊Ｂ＝zzxy,xA,yB ，设A1,2，B0,2，则 集合Ａ＊Ｂ的所有元素之和是（ ）

A．0 B． 2 C．3 D．6

3．集合A＝3,5，B2,4,6,8，C(x,y)xA,yB，则C中元素的个数是（ ）

A．9 B． 8 C．3 D．4 4．满足1,0,1M1,0,1,2,3,4的集合M的个数是（ ）

A．4 B． 6 C．7 D．8

5．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xx2x0关系的韦恩（Venn）图是（

A． B． C． D．

6．设集合Ａ＝1,2,a，Ｂ＝1,a2a，若AＢ，则实数a的值为 7．若集合Axax2x10,aR至多有一个元素，则a的取值范围是 8. 集合Ax|axa3,Bx|x1或x5，若AB，求实数a的取值范围．

3.集合的基本运算

3.1交集与并集

由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，

87

）

记作AB，即AB{x|xA或xB}．

用Venn图表示为图（1）．

ABAB

图（1）A

B 图（2）AB

由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集， 记作AB，即AB{x|xA且xB}．

用Venn图表示为图（2）． 性质（1）A（2）AAA,A,ABBAA,AA,ABBA A

（3）如果用 card A来表示有限集合A中的元素的个数,那么对于任意两个有限集A,B,有:card(AB)card(A)card(B)card(AB) 【例1】 设集合A{4,5,6,8}，B{3,5，7,8}，求A解：AB{3,4,5,6,7,8}，AB{5,8}

B，AB

【例2】设集合A{x|1x2}，B{x|1x3}，求AB，AB．

解：方法1：AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x3}

AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x2}

方法2：用数轴表示

图（1）A

B 图（2）AB

练习1．设集合A{x|3x1}，B{x|1x4}，求A解：A3.2 全集与补集

B{x|3x4,且x1}，AB，AB．

B．

如果一个集合含有我们研究的全部的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 对于集合A而言，由全集U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，简称集

88

合A的补集，记作CUA，即CUA{x|xU,且xA}．

用Venn图（韦恩图）表示为：

UCUAA

【例3】设U{x|x是小于9的正整数}，A{1,2,3}，B{3,4,5,6}，求CUA，CUB．

解：U{1,2,3,4,5,6,7,8}，CUA{4,5,6,7,8}，CUB{1,2,7,8}． 【例4】设A{x|2x10}，求CRA．

11解：A{x|x}，CUA{x|x}．

22【例5】 设U{2,3,a22a3}，A{2a1,2}，CUA{5}，求实数a的值．

解：CUA{5}，所以5U，所以a22a35，解得a4或a2，经检验，当a4时，A{9,2}不满足题意，所以a2．

【例6 】设集合A{x|x20}，B{x|x3}，求CRA，CRB，(CRA)(CRB)，(CRA)(CRB)，CR(ACR(AB)．

B)，

解：A{x|x2}，CRA{x|x2}，CRB{x|x3}，A(CRA)CR(A(CRB)，(CRA)(CRB){x|x2或x3}，

B)．

(CUB)CU(AB{x|2x3}，ABR

B){x|x2或x3}，CR(A(CUB)CU(A摩根定律：(CUA)

B)，(CUA)B)，A(CUA)U，A(CUA)

A 组

1．设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则MA．01，

B．101，，

C．01，，2

N（ ）

D．101，，，2

2．已知全集U{1，2，3，4，5}，集合A{1,3}，B{3,4,5}，则集合CU(AA．{3} B．{4,5}

B)（ ）

C．{3,4,5}

89

D．{1，2，4，5}

3．设集合A{x|0x2}，B{x|x11}，则AB= ． x24．若AxRx3，BxRx0，则A5．已知集合Ax|x1，Bx|xa，且A

B ．

BR，则实数a的取值范围是______ ．

B 组

1,3,5,6,8,A1,6,B5,6,8,则(CUA)B( ) 1．设全集UA．6 B． 5,8 C． 6,8 D． 3,5,6,8 2．设全集UZ,A1,0,1,2,Bxx2x,则ACUB为( )

1,2 A．1,2 B． 1,0 C． 0,1 D． 3．若集合Ayyx2,1x1,Byy2x,0x1,则AB=____________

4．定义集合运算:ABzzxy(xy),xA,yB,设集合A0,1,B2,3,则集合AB的所有元素之和为( )

A．0 B． 6 C．12 D．18 5．若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A． AC B． CA C． AC D． A

1,2,3,4,5,集合Axx23x20,Bxx2a,aA,则集合CU(AB)中元素的6．已知全集U个数为

7．若Unn是小于9的正整数,AnUn是奇数,BnUn是3的倍数 则CU(AB)

8．已知集合Axxa,Bx1x2,且A(CRB)R,则实数a的取值范围是 9． 已知集合A{xx240}，集合B{xax20}，若BA，求实数a的取值集合．

10． 已知集合A{x1x7}，集合B{xa1x2a5}，若满足 AB{x3x7}，求实数a的值．

90

11． 已知方程x2axb0．

（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值

12． 已知集合A{x1x3}，B{yx2y,xA}，C{yy2xa,xA}，若满足CB，求实数a的取

值范围．

91

第14课 函数及其表示

知识回顾

初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

在初中，我们学过一些函数，如yx1，yx3x，y

22

等， x

x2思考： （1）y3是函数吗? （2）yx与y是同一个函数吗？

x1．函数的概念

观察下面三个例子：

（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5t2.

这里时间t的变化范围是A＝{t|0≤t≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B＝{h|0≤h≤845} 思考1：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

这里时间t的变化范围A＝{t|1979≤t≤2001}；臭氧层空洞面积S的变化范围是B＝{s|0≤s≤26}

思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？

（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.

思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？

92

共同特点：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值与其对应，记作：f：AB. 1.1 函数的概念

如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作

yf(x)，xA．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域． 思考1：f(x)|xA______B．

思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？

x2思考3：（1）y3是函数吗? （2）yx与y是同一个函数吗？

x解：（1）AR,B3,f:xy3,xA,yB.满足集合与对应观点下的函数定义，故是函数．

x2（2）函数y的定义域为{x|x0}，而函数yx的定义域为R，所以它们不是同一个函数．

x思考4：yx2x3函数吗?

解：从集合角度看可以是AR,BR,f:xyx2x3,xA,yB.其中定义域是R，值域是

22Cyy2，是函数．

1.2 函数的三要素

函数是由三件事构成的一个整体：定义域A； 值域{f(x)|xA； 对应法则f. 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么?

(1)f(x)x21x2； (2)f(x)2xx2．

解：(1)由f(x)有意义得x201x02，解得x．由定义域是空集，故它不能表示函数．

(2) 定义域为{2}，f(x)0，值域为{0}，是一个函数． 练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）

93

解：D．

【例2】已知函数f(x)x31， x223（1）求函数f(x)的定义域；（2）求f(3)，f()；（3）当a0时，求f(a)，f(a1)的值

解：（1）依题意，x30，解得x3且x2，所以函数f(x)的定义域为{x|x3且x2}；

x2022133313； 1；f()233383223（2）f(3)33（3）f(a)a3111；f(a1)a13． a2a2a12a1特别注意：f(a)是常量，而f(x)是变量，f(a)只是f(x)中一个特殊值．

练习1：已知函数f(x)3x2,试求f(3)，f(a)，f(x1)，f(f(2))，f(f())．

解： f(3)3327；f(a)3a2,；f(x1)3(x1)23x1；

22221xf(2)3224，f(f(2))f(4)34210；

13139f()2；f(f())=3(2)28．

xxxxx1.3 对函数符号f(x)的理解

yf(x)与f(x)的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x是自变量， f(x)是函数值，连接的

纽带是法则f，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．

函数符号yf(x)表示y是x的函数，f(x)不是表示f 与x的乘积； 1.4 相同函数

当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与y2x1是同一个函数．

4x212(1)y ； (2)y2x1,(x0); (3)u2v1 ； (4)y(2x1) ．

2x1解：函数y2x1的定义域为R，值域为R．

94

(1)、（2）式定义域均不是R，与y2x1不是同一个函数；（3）与y2x1是同一个函数；（4）的值域为{y|y0}，也与y2x1不是同一个函数． 练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？

(1)f(x)(x1)0, g(x)1(2)f(x)x; g(x)x2(3)f(x)x2; g(x)(x1)2(4)f(x)x; g(x)x2x1,x0（5）f(t)t1和g(x)

x1,x0解：（1）f(x)的定义域为{x|x0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数； （2）f(x)的值域为R，g(x)的值域为{y|y0}，不是同一个函数； （3）f(x)与g(x)的解析式不一样，不是同一个函数； （4）是同一个函数； （5）是同一个函数． 1.5 区间的概念

设a，b是两个实数，而且ab, 我们规定：

（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)或(a,b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．

95

实数集R可以用区间表示为(,)，“∞”读作“无穷大”

满足xa的实数的集合表示为[a,)；满足xa的实数的集合表示为_____(a,)______； 满足xb的实数的集合表示为(,b]；满足xb的实数的集合表示为_____(,b)______． 【例4】用区间表示下列集合

（1）x|5x6 （2）x|x9 （3）x|x1x|5x2 （4）x|x9x|9x20

解：（1）[5,6) （2）[9,) (3)[5,1] (4) (,9)(9,20)

A 组

1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是( )

2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是( A．M＝A，N B．M⊆A，N＝B C．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B 3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点( )

A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上

x2,(x1)4．已知函数f(x)x2,(1x2)， 若f(a)＝3，则a的值为( ) 2x,(x2)A.3 B．－3 C．±3 D．以上均不对 5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为( )

A．[－1,2] B．[－2,2] C．[0,2] D．[－2,0] 6．函数y＝x

kx2＋kx＋1

的定义域为R，则实数k的取值范围为( )

A．k<0或k>4 B．0≤k<4 C．0B 组

1．函数f(x)＝x1

x2＋1

，则f(x)等于( )

96

)

11

A．f(x) B．－f(x) C. D.

fxf－x2．已知f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则f(x)的定义域为( )

A．[－2,2] B．[0,2] C．[－1,2] D．[－3，3] 3．与y＝|x|为相等函数的是( )

A．y＝(x)2 B．y＝x2 C．f(x)2x＋1

4．函数y＝的值域为( )

x－3

44

A．(－∞，)∪(，＋∞) B．(－∞，2)∪(2，＋∞)

3324

C．R D．(－∞，)∪(，＋∞)

335．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B等于( )

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)

6．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．

x,(x0)3

D．y＝x3

x,(x0)2．函数的表示法

在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法． 2.1函数的表示法

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（1） 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（3）．

【例1】 某种笔记本每个5元，买x（x1,2,3,4,5）个笔记本记为y（元）.试用函数的三种表示法表示函数yf(x).

解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} ．

解析法表示：y5x,x{1,2,3,4,5} 列表法表示：

图象法表示：

97

思考：三种方法表示函数各有什么特点？

【例3】画出函数y|x|的图象.

解：由绝对值的概念，我们有: y所以，函数y|x|的图象如图所示 2.2分段函数

x,x0，

x,x0所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【例4】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．

解：设票价为y，里程为x，则依题意，如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是（1，20]．

2,0x53,5x10由空调公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y

4,10x155,15x20根据这个函数解析式，可画出函数图象

98

0(x0) 练习1：已知f(x)(x0)，作出f(x)的图象；求f(1)、f(1)、f(0)、f{f[f(1)]}

x1(x0)解：f(1)112、f(1)0、f(0)、f{f[f(1)]}f[f(0)]f()1

f(x)的图象如下：

2.3 复合函数

两个函数yf(u)，ug(x)，且ug(x)的值域与yf(u)的定义域的交集非空，则通过u确定了y是x的函数yf(g(x))，这样的y叫做x的复合函数，u叫做中间变量，yf(u)叫做外层函数，ug(x)叫做内层函数．

对于复合函数yf(g(x))的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理． 【例5】已知f(x)3x1，g(x)x1

（1）求f(g(1))，g(f(1))的值； （2）求f(g(x))，g(f(x))，g(g(x))的解析式 （3）f(g(x))，g(f(x))是否为同一个函数？

解：f(1)3(1)14，g(1)(1)12．

（1）f(g(1))f(2)3215，g(f(1))g(4)(4)117； （2）f(g(x))3(x1)13x2；g(f(x))(3x1)19x6x2

99

2222222g(g(x))(x21)21x42x22

（3）不是同一个函数．

说明：一般情况下，复合函数f(g(x))与g(f(x))都不是同一个函数．

2x3,(x1)练习1：已知函数f(x)2，（1）求f(1)，f(f(2))；（2）若f(a)3，求a．

x2x,(x1) 解：（1）f(1)2(1)35；f(f(2))f(0)3．

（2）当a1时，2a33，a3，舍去；

当a1时，a22a3，a3，或a1舍去． 所以a3．

【例6】（1）已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x1)的定义域；

（2）已知f(x1)的定义域为[1,0]，求f(x)的定义及f(x1)的定义域． 解：（1）∵f(x)的定义域为[0,1]，∴0x11，1x0，∴f(x1)的定义域是

[1,0]；

（2）∵f(x1)的定义域为[1,0]，∴2x11，∴f(x)的定义域为[2,1]， 令2x11，解得3x2，∴f(x1)的定义域是[3,2]．

小结：（1）已知f(x)的定义域为(a,b)，求yf(g(x))的定义域；

求法：由axb，知ag(x)b，解得的x的取值范围即是yf(g(x))的定义域． （2）已知yf(g(x))的定义域为(a,b)，求f(x)的定义域； 求法：由axb，得g(x)的取值范围，即是f(x)的定义域．

2

练习1：若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x＋)的定义域为________．

3

10x02x1112，所以

解：依题意，，解得0x，所以函数的定义域为[0,]． 20x1332x13332.4 求函数的解析式

【例7】已知一次函数f(x)满足f(0)5，图像过点(2,1)，求f(x)

0b=5a2解：设f(x)axb，则，解得，所以f(x)2x5．

2ab1b5【例8】已知f(x1)=2x3, 求f(x)的解析式.

100

解：方法1（配凑法）：f(x1)=2x32(x1)1，所以f(x)=2x1.

方法2（换元法）：令tx1，则xt1，所以f(t)=2(t1)32t1，所以f(x)=2x1.

1, 求f(x)的解析式. 2x1122解：方法1（配凑法）：f(x)(x)2，所以f(x)=x2.

xx11212222方法2（换元法）：令tx，则t(x)x22，所以f(t)=t2，所以f(x)=x2.

xxx1【例9】已知f(x)2f()2x1,求f(x)的解析式

x121解：将表达式中的x换成，则有f()2f(x)1，

xxx练习1：已知f(x)x21x1f(x)2f()2x1(1)4x与原式联立得：，(2)2(1)得：3f(x)2x1，

xf(1)2f(x)21(2)xx解得f(x)

1．已知二次函数f(x)满足f(1)1，f(1)5，图像过原点，则f(x)=___________． 2．若f(x1)x2x，则f(x)=_________________. 1－x

3．已知函数f()＝x，求f(2)=________．

1＋x

4．若f(x1)x2x，则f(x)=_________________. 5．若f(x)2f(x)xx2,则f(x)=_________________. 6．设函数f(x)是定义(,0)2242x1. 3x331(0,)在上的函数,且满足关系式3f(x)2f()4x，求f(x)的解析式.

x1222解：（1）f(x)3x2x （2）f(x)x1 （3） （4）f(x)x1

3122128x （5）f(x)xx （6）f(x)3355x

2.5 映射的概念

如果A，B是非空的集合，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个映射，记作f:AB．

101

例如：设集合A{x|x是某场电影票上的号码}，B{x|x是某电影院的座位号}，对应关系f：电影票的号码对应于电影院的座位号，那么对应f：AB是一个映射．

又如：集合A{0,1,2,4,9}，B{0,1,4,9,64}，图1是从A到B的映射；图2中A中元素对应集合B中两个元素，不能构成A到B的映射；图3中，集合A中的元素9，在集合B中没有元素与之对应，也不能构成由A到B的映射．

图1 图2 102

图3

A 组

1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )

A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝

50100

(x>0) D．y＝(x>0) xx

示．某天0点到6点，该水

2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 3．如果f()1xx，则当x≠0时，f(x)等于( ) 1x1111A. B. C. D.－1 xxx－11－x4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于( )

A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 1－x21

5．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝2，则f()的值为( )

x2

A．1 B．15 C．4 D．30

6．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )

B 组

1．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg

物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为________________． 1

2．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．

x

3．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为__________________．

4．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，则f(x)的解析式为

________________．

5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名．．·

代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大

103

整数)可以表示为( )

x＋3x＋4x＋5x

A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]

10101010

6．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是_______，从B到A的映射个数是__________. 7．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．

第14讲 函数及其表示练习答案

1．函数的概念

A 组

1．C [C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．] 2．C [值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.] 3．C [当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．] 4．A [当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾； 当－1当a≥2时，有2a＝3，∴a＝与a≥2矛盾．

2综上可知a＝3.]

5．B [由－1≤x2≤4，得x2≤4，∴－2≤x≤2，故选B.] 6．B [由题意，知kx2＋kx＋1≠0对任意实数x恒成立， 当k＝0时，1≠0恒成立，∴k＝0符合题意． 当k≠0时，Δ＝k2－4k<0，解得0B 组

1x

1．A [f()＝＝＝f(x)．]

x11＋x2

＋1x2

2．C [∵x∈[－3，3]，∴0≤x2≤3，∴－1≤x2－1≤2， ∴f(x)的定义域为[－1,2]．]

3．B [A中的函数定义域与y＝|x|不同；C中的函数定义域不含有x＝0，而y＝|x|中含有

x＝0，D中的函数与y＝|x|的对应关系不同，B正确．]

2x－3＋777

4．B [用分离常数法．y＝＝2＋. ∵≠0，∴y≠2.]

x－3x－3x－3

5．C [化简集合A，B，则得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)．∴A∩B＝[2，＋∞)．]

1

x

104

x－y＝351

6．(，－) 解析 由题意，∴

22x＋y＝2



1y＝－2

5x＝2

.

2．函数的表示法

A 组

1．C

2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．] 111x1

3．B [令＝t，则x＝，代入f()＝，则有f(t)＝＝，故选B.]

xtx1－x1t－1

1－

t

4．B [由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，代入g(x＋2)＝2x＋3，则有

g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，故选B.]

11－2

4111

5．B [令1－2x＝，则x＝，∴f()＝＝15.]

24212

4

6．C [C选项中，和a相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]

B 组

11

1．y＝x＋12 解:设所求函数解析式为y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝. 所以所求

221

的函数解析式为y＝x＋12.

2

x2＋21111

2．f(x)＝－(x≠0) 解析 ∵f(x)＝2f()＋x，① ∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②

3xxxxxx2＋212x

由①②消去f()，得f(x)＝－－， 即f(x)＝－(x≠0)．

x3x33x8

3．f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8

3解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.

1t

2a＝4

∴，解得8ab＋b＝8b＝

a＝23



a＝－2

或. b＝－8

4．f(x)＝x2－4x＋3.

5．B [方法一 特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.

105

方法二 设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， x＋3α＋3x[]＝[m＋]＝m＝[]， 101010

x＋3α＋3x当6<α≤9时，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，

101010所以选B.]

6．9，8 [分析：从A到B时，A中每个元素有3种选择，故一共33=9种；从B到A时，B中每个元素都有2种选择，故一共有222=8种映射] 7．解 因为对任意实数x，y，有

f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)， 即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.

106

第15课 函数的单调性与最值

知识回顾

函数是描述事物运动变化的数学模型，如果了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，

因此要研究函数的性质

1﹒函数的单调性

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

思考1：随x的增大，y的值有什么变化？

思考2：观察yx和yx的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

2321–3–2–1O–1–2–3y123x

（1）f(x)x

① 从左至右图象上升还是下降?

②在区间 ____(,)_______ 上，随着x的增大，f(x)的值逐渐__增大______ ． （2）f(x)x

①在区间 ____(,0)___ 上，随着x的增大，f(x)的值逐渐_减小_______ ． ②在区间 ____(0,)____ 上，随着x的增大，f(x)的值逐渐__增大______ ．

如何利用解析式f(x)x描述“随着随着x的增大，相应的f(x)的值随着增大”？

22在区间(0,)上，任取两个x1,x2，得到f(x1)x1,f(x2)x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，

22这时我们就说函数f(x)x在(0,)上是增函数． 1.1 单调递增函数

107

2设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

图1 单调增函数 图2单调减函数

几点说明：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)． 1.2单调递减函数

设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．

【例1】 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数yf(x)是增函数还是减函数.

解：函数yf(x)在区间[5,2],[1,3]是减函数，在区间[2,1],[3,5]是增函数．

注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以．

练习1 画出函数yx24|x|3的图象，并指出它的的单调区间．

解：图象如下，在区间(

,2]、[0,2]是减函数，在区间[2,0]、[2,108

)是增函数．

【例2】证明：函数f(x)3x2在,上是增函数． 思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？

证明：在区间,上任取两个值x1,x2 且x1x2， ………步骤①：取值

则f(x2)f(x1)(3x22)(3x12)3(x2x1) ………步骤②：作差变形

x1,x2,，且x1x2，x2x10

f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1) ………步骤③：判断符号

所以函数f(x)3x2在区间上,是增函数. ………步骤④：下结论 小结：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①取值： 任取x1,x2D，且x1x2； ②作差：f(x1)f(x2)；

③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；

⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 【例3】物理学中的玻意耳定律pk(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强pV将增大．试用函数的单调性证明之．

证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则

p(V1)p(V2)VVkkk21，由V1,V2(0,)且V1V2，得VV120，V2V10，又k0， V1V2VV12于是p(V1)p(V2)0，即p(V2)p(V1)，所以，函数p也就是说，当体积V减少时，压强p将增大．

k是V(0,)上的减函数 V 109

练习1：利用单调性的定义判断f(x)2x在(0,1)上的单调性 x1解：设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则

f(x1)f(x2)2x12x22x(x1)2x2(x11)2(x2x1)12 x11x21(x11)(x21)(x11)(x21)由于0x1x21，得x2x10，(x11)(x21)0于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 所以，函数f(x)

【例4】 设函数f(x)x2x是区间(0,1)上的减函数. x11，证明：f(x)在(0,1)单调递减；在(1,)上单调递增． x证明：任取x1,x2(0,1),且x1x2,

f(x1)f(x2)(x1xx2111)(x2)(x1x2)()x1x221x1x2x1x2x1x2(xx)(xx1)1)1212 x1x2x1x2

(x1x2)(10x1x21，∴x1x20，x1x21，x1x210，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

1在(0,1)上是减函数． x1同理可证，f(x)x在(1,)上单调递增．

x∴函数f(x)x练习1：证明f(x)x1在R上的单调递减

3证明：任取x1,x2R,且x1x2

2f(x1)f(x2)(x131)(x231)x23x13(x2x1)(x2x2x1x12)，

22因为x1x2，所以x2x10，x2x2x1x1(x11232x2)x20， 243所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)x1在R上的单调递减． 【例5】若函数f(x)x2(b1)x2在(,4]上是减函数，求b的取值范围

解：

2f(x)x22(b1)x2是开口向上的抛物线，

由图象可知，f(x)在(,2(b1)]是减函数， 2110

(,4](,2(b1)]，(b1)4，b3． 22练习1：函数f(x)在(0,)上是减函数，则f(aa1)______f()（比较大小）.

解：

341333a2a1(a)20，又 f(x)在(0,)上是减函数，f(a2a1)f().

2444练习2：若函数f(x)x2mx2在(,4]上是减函数，则m的取值范围是__________ 解：[8,).

练习3：讨论函数f(x)x22ax3在(2,2)内的单调性.

解：f(x)x22ax3的对称轴是xa

当a2时，f(x)在(2,2)上单调递增；

当2a2时，f(x)在(2,a)单调递减，在(a,2)上单调递增； 当a2时，f(x)在(2,2)上单调递减.

A 组

1．在区间(0,)上不是增函数的函数是（ ）

A．y=2x＋1

B．y=3x2＋1

C．y=

2 D．y=2x2x＋x＋1 2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间(2,)上是增函数，在区间(,2)上是减函数，则f(1)等于（

A．－7

B．1

C．17

D．25

3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）

A．(3，8) B．(－7，－2)

C．(－2，3) D．(0，5)

4．若f(x)是[a,b]上增函数，对于任意的x1,x2[a,b](x1x2)，下列结论不正确的是( )

A．

f(x1)f(x2)x0 B．(x1x2)[f(x1)f(x2)]0

1x2C．f(a)f(x1)f(x2)f(b)

D．

x2x1f(x(x0

2)f1)5．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是 （ ） A．(,0],(,1]

B．(,0],[1,) C．[0,),(,1]

D[0,),[1,)

111

） B 组

1．已知函数fxx22a1x2在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≤3

B．a≥－3

C．a≤5

D．a≥3

2．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］

B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

3．若f(x)是R上增函数，且f(x1)f(x2)，则x1,x2的大小关系为___________

x4．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f()f(x)f(y)

y （1）求f(1)的值．（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(

5．设f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

1) ＜2 ． x 112

2.函数的最值

2.1 函数的最大值

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M. 那么，我们称M是函数yf(x))的最大值（maximum value）． 2.2函数的最小值

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m. 那么，我们称m是函数yf(x))的最小值（minimum value）． 注意：

1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；

2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的的xI，都有f(x)M（f(x)m）． 【例1】 求函数f(x)x4x1，x[1,5]的值域

解：f(x)x4x1(x2)3，因为2[1,5]，所以当x2时，f(x)min3；当x1或x5时，f(x)max1406，所以函数f(x)的值域为：[3,6]． 【例2】求函数y2222在区间[2，6]上的最大值和最小值． x1解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x2，则

f(x1)f(x2)2[(x21)(x11)]2(x2x1)22 x11x21(x21)(x11)(x21)(x11)由于2x1x26，得x2x10，(x11)(x21)0于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

2是区间[2,6]上的减函数． x12因此，函数y在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大

x1所以，函数y值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 ．

小结：利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法： （1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值

113

（2）利用图象求函数的最大(小)值

（3）利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 练习1．求函数f(x)x12x2的最值

解：方法一：当x1时，f(x)53x，f(x)f(1)2；

当1x2时，f(x)3x，f(2)f(x)f(1)，即1f(x)2； 当x2时，f(x)3x5f(2)1． 所以f(x)minf(2)1，f(x)无最大值．

方法二：画出f(x)的图象，如右图所示，当x2，f(x)有最小值1，f(x)无最大值．

练习2．求函数f(x)x1（x[2,4]）的最大值和最小值 x113解：可以证明f(x)x在x[2,4]上是单调递增函数，所以f(x)minf(2)2；

x22115f(x)maxf(4)4．

442练习3 已知函数f(x)xtx1，求f(x)在区间[0,2]上的最小值(其中t为常数) ．

解：函数yxtx1的对称轴为x2t． 2(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t0时：当x0时，ymin1；

t2tt(2) 当对称轴在所给范围之间．即02，即0t4时，当x，ymin1；

422 (3) 当对称轴在所给范围右侧．即t4时，当x2时，ymin32t

综上所述：ymin1,t0t21,0t4．

432t,t4

A 组

1．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于( )

A．－4 B．－8 C．8

D．无法确定

114

2x＋6 x∈[1，2]

2．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值为( )

x＋8 x∈[－1，1]

A．10,7 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 3．下列四个函数：①y＝

xx

；②y＝x2＋x；③y＝－(x＋1)2；④y＝＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( ) x－11－x

A．① B．④ C．①④ D．①②④

4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．

B 组

1．函数y＝－x2的单调减区间是( )

A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．无法判断

3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当aA．有且只有一个 B．可能有两个 C．至多有一个 D．有两个以上 4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )

A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a) 5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )

|x|x2x

①y＝|x|；②y＝；③y＝－；④y＝x＋. x|x||x|A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 6．下列说法中正确的有( )

①若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函11

数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

xx

A．0个 B．1个新 课C．2个 D．3个

b

7．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．

x8．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0

(1)求b与c的值；(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．

9．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．

115

ax＋1

10．设函数y＝f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．

x＋2

116