(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)

一、选择题

21．已知数列an的前n项和Snn，数列bn满足bnlogaan10a1，Tn是数an列bn的前n项和，若MnA．TnMn

1logaan1，则Tn与Mn的大小关系是（ ） 2C．TnMn

D．TnMn

B．TnMn

2．若正实数a、b、c满足abbcac2a2，则2abc的最小值为（ ） A．2

B．1

C．2 D．22 3．若函数f(x)在其图象上存在不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2，其坐标满足条件：

22的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数： x1x2y1y2x12y12x2y2①f(x)x1(x0)；②f(x)lnx(0xe)；③f(x)cosx；xB．③④

C．①③

D．②④

④f(x)x21．其中是“柯西函数”的为（ ） A．①②

4．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即

ab）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有cd广泛的应用．根据柯西不等式可知函数f(x)25xx4的最大值及取得最大值时x的值分别为（ ） A．5,5．已知A．

21 5B．3,，则B．

21 5C．13,61 13D．29,61 13的最小值是( ) C．

D．

6．已知x,y,zR，若x2y3z4，则(x5)2(y1)2(z3)2的最小值为( ) A．

37 200B．

200 7C．36 D．40

7．已知A，B，C是ABC的三个内角的弧度数，则A．C．

1119与的大小关系为( ) ABCπ1119 ABCπ1119 ABCπB．D．

1119 ABCπ1119 ABCπ8．已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为( ) A．22 9．证明：A．1

B．4

C．12

D．6

n211112234B．11n1(n1)，当n2时，中间式子等于（ ） 2nC．11 211 23D．1111 23410．设a,b,c,d为正数，abcd1，则a2b2c2d2的最小值为（ ） A．

1 2B．

1 4C．1 D．

3 411．已知x, y, zR，且x2y2z5，则(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是 A．20 B．25 C．36 D．47 12．设

是正数，且

，

，

，则

A． C．

B． D．

二、填空题

13．函数y21x2x1的最大值为______. 14．设x，y，z均为实数，则2xyzx2yz222的最大值是________．

15．已知实数x,y满足(x1)2y2(x1)2y24，则x2y2的取值范围为___________. 16．函数y111π10α的最小值是_______ sinαcosα2__________．

217．已知a,b,cR且a22b23c24，则a2b3c的最大值为________． 18．已知向量a1,ab1，则bmin19．已知正实数a,b,c，且abc1，则a14b29c2的最小值为______． 20．设、、

，

，试求

的最大值_________.

三、解答题

21．（1）已知a、b、c是正数，且满足abbcac1，求证abc3； （2）已知a、b是正数，且满足ab1，求证：a11b2． 2222．已知a0，b0，c0，函数fxxaxbc的最小值为4．

（1）求abc的值； （2）求

12122abc的最小值． 4923．设a,b,cR*，且abc3. （1）证明：a2b2c23； （2）若

111m恒成立，求m的最大值. abc24．已知函数fxx4x6． （1）求不等式fx6的解集； （2）设fx的最小值为m，且

114ma,b,c0，证明：abc8． abc25．已知函数fxx3xa，当x3时fx的最小值是2. (1)求a；

22(2)若m2na，求证：5mn1.

26．已知函数fxx26x92x．

(1)求不等式fx1的解集； (2)若正数a,b,c满足a4b9cf14922的最小值． ，求3abc

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

先求出Tnloga(132n1242n24613512n12n)，Mnloga2n1，再利用数学归纳法证明2n1(nN*)即得解.

【详解】

2因为Snn，所以a1=1,anSnSn12n1(n2)适合n=1,所以an=2n1.

所以bnloga2n， 2n1所以Tnloga2462n246logalogalogaloga(1352n11352n) 2n111Mnlogaan1=loga(2n1)loga2n1，

22132n11(nN*) 下面利用数学归纳法证明不等式242n2n1（1）当n1时，左边11，右边，左边右边，不等式成立， 232n12n， 2n2n1（2）4n214n2，即(2n1)(2n1)(2n)2．即

2k12k22k22k3，

2k11， 2(k1)2k312k1112k1假设当nk时，原式成立，即232k，

112k12k112k12k11那么当nk1时，即，

232k2(k1)2k12(k1)2(k1)2k3即nk1时结论成立．

根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立．所以

2461352n2n1， 2n12461352n)loga2n1， 2n1因为0＜a＜1，所以loga(所以TnMn. 故选：C 【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．D

解析：D 【解析】

分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可． 详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2(ab)(ac)=22， 当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号． 故选D.

点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．

3．B

解析：B 【分析】

由柯西不等式，得到函数f(x)在其图象上存在不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2，使得

OA,OB共线，转化为存在过原点的直线ykx与yf(x)的图象有两个不同的交点，进

行逐项判定，即可求解． 【详解】

22由柯西不等式得，对任意实数x1,y1,x2,y2,x1x2y1y2x12y12x2y20恒成

立，

当且仅当x1y2x2y1时取等号，

若函数f(x)在其图象上存在不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2， 其坐标满足条件：x1x2y1y222的最大值为0， x12y12x2y2则函数f(x)在其图象上存在不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2，使得OA,OB共线， 即存在过原点的直线ykx与yf(x)的图象有两个不同的交点． 对于①，方程kxx1(x0)，即(k1)x21，最多有1个正根，所以不是柯西函x数；对于②，由图①可知不存在；因为在点e,1处，y1x与ylnx相切，所以ekxlnx最多有1个正解；

对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数． 【点睛】

本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线ykx与yf(x)的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

4．A

解析：A 【分析】

将25xx4代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。

【详解】

由柯西不等式可知：(25xx4)222225 12(5x)(x4)所以25xx45，当且仅当2x45x即x＝

21时取等号， 521， 5故函数f(x)25xx4的最大值及取得最大值时x的值分别为5,故选：A． 【点睛】

本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。

5．D

解析：D 【分析】

由条件利用柯西不等式得，

的最小值．

【详解】 解：因为可得， 故D． 【点睛】

本题主要考查柯西不等式的简单应用．

，当且仅当

时取等号，故

，根据柯西不等式，

，

的最小值为

，所以选，由此求得

6．B

解析：B 【分析】

根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】

根据柯西不等式得到

x52y12z321(2)232x52y13z32

222214x5y1z3x2y3z16400 进而得到最小值是：故答案为B. 【点睛】

200 7这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.

7．A

解析：A

【分析】

直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】 由柯西不等式,得≥111ABC ABC2111·A·B·C9,

BCA1119ABC,.

ABCππ当且仅当 ABC ，时等号成立，故选A.

3【点睛】

本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

首先由向量垂直的充分必要条件得到x,y的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】

∵a⊥b,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x,

∴9x+3y=9x+32-2x=32x+32-2x≥232x?32-2x6.

当且仅当32x=32-2x,即x本题选择D选项. 【点睛】

本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

1,y1时等号成立. 29．D

解析：D 【详解】

试题分析：n2时中间式子的最后一项为

1111，中间式子为1 4234考点：数学归纳法

10．B

解析：B 【解析】

试题分析：由柯西不等式abcd222212121212abcd，因为

1，422222abcd1，于是由上式得4abcd1，于是a2b2c2d2当且仅当abcd考点：柯西不等式．

1时取等号，故选B． 4【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存则(a＋a＋…＋a)·

在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．

11．C

解析：C 【解析】 试

2题

22分

2析：由于

[x5y1z3][(12222)][x5(2)y12(z3)]2324

x3x5y1z3则x52y12z32（当且仅当即y3时取等号.故选C 122z1考点：柯西不等式.

12．C

解析：C 【解析】

本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于

等号成立当且仅当

则a=\"t\" x b=\"t\" y c=\"t\" z ，

，答案选C。

所以由题知又

二、填空题

13．3【分析】化简函数利用柯西不等式即可求解【详解】由题意函数当且仅当取等号即即时取等号所以函数的最大值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查

了利用柯西不等式求最值问题其中解答中合理变形熟练应用柯西不等式

解析：3 【分析】

化简函数y21x2x1222x12x1，利用柯西不等式，即可求解. 【详解】

由题意，函数y21x2x1222x12x1 (2)212(22x)2(2x1)2333

当且仅当22x122x1取等号，即122x4x2，即x0时取等号， 所以函数的最大值为3． 故答案为：3. 【点睛】

本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中解答中合理变形，熟练应用柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

14．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题 解析：

【分析】

2222首先利用柯西不等式可以得到(x2yz)[2(22 212)(1)2](2xyz)2，从而2x2yz22(x2yz)211，两边开放得到2求得2，从而求得其最大值.

2x2y2z22x2y2z2【详解】

2222由柯西不等式知(x2yz)[2(12)(1)2](2xyz)2， 2(x2yz)211， 所以2x2y2z22所以x2yzx22y2z222x，当且仅当2yz0时等号成立， 22故答案为：【点睛】

22. 2该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.

15．【分析】直接利用柯西不等式化简即可【详解】由柯西不等式可得所以即所以故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键属于基础题 解析：[3,5]

【分析】

直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】

由柯西不等式可得，

(x1)2y2(x1)2y2， x1y(x1)y(x1)y42222222(x1)2y2(x1)2y2所以4x2y21，即3x2y25

2所以x2y2[3,5]. 故答案为：3,5 【点睛】

本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.

16．【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果【详解】由柯西不等式得：y≥≥当且仅当即α即y的最小值是【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法二倍角公式及其应用 解析：322 【解析】 【分析】

由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由柯西不等式得：

212212y11

sincos11≥11?

sincos21sin2≥12222322.

时等号成立.

当且仅当sin21,即α4即y1【点睛】

1110的最小值是322. sincos2本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：26 【解析】

分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意a22b23c24， 又由柯西不等式可得

(a2b3c)2(1a12b13c)2(12(2)2(3)2)(a22b23c2)24，

所以a2b3c26，即a2b3c的最大值为26．

点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

18．1【解析】解：设向量对应的坐标为：问题等价于：已知求的最小值由Cauchy不等式有：据此可得：点睛：根据柯西不等式的结构特征利用柯西不等式对有关不等式进行证明证明时需要对不等式变形使之与柯西不等式有

解析：1

【解析】解：设向量对应的坐标为： am,n,bx,y ，

2222问题等价于：已知mn1,mxny1 ，求xy 的最小值， 22由Cauchy不等式有： mnx2y2mxny ，

据此可得：

x2y21 .

min点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.

19．【解析】试题分析：因为所以得当且仅当即时有最小值考点：柯西不等式 解析：

144 49【解析】

试题分析：因为a，b，cR，abc1，所以

11211221a14b9ca12b3c4，得23492a1a124b29c2144．当且仅当49144． 49，即a23187,b,c时，49494924b29c2有最小值

考点：柯西不等式．

20．15【分析】利用柯西不等式对代数式进行配凑可求出x+2y+2z的最大值【详解】由柯西不等式得9×25=1+4+4x2+y2+z2≥x+2y+2z2即x+2y+2z2≤225∴x+2y+2z≤15当且

解析：

.

的最大值.

，

，

时，等号成立，因此，

，

的最大值为

，故答案为

.

【分析】

利用柯西不等式对代数式进行配凑，可求出【详解】 由柯西不等式得即当且仅当【点睛】

本题考查利用柯西不等式求最值，解题的关键就是结合所求代数式对定值条件进行配凑，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】

（1）本题可通过基本不等式得出a2b2c2abbcac，进而得出

abc【详解】

23abbcac，最后根据abbcac1即可证得不等式成立；

（2）本题可通过柯西不等式证得不等式成立.

（1）因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，

所以2a2b2c2abbcac，当且仅当abc时取等号，

222则a2b2c2abbcac，abc3abbcac， 因为abbcac1，所以abc3，abc3. （2）因为ab1，

221111所以由柯西不等式得ab11ab 222222ab14（当且仅当ab1时取等号）， 2故a11b2. 22【点睛】

关键点点睛：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式和柯西不等式的应用，在使用基本不等式和柯西不等式要注意取等号的情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.

22．（1）4；（2）【分析】

（1）首先根据函数含绝对值的三角不等式求函数的最小值，同时求出abc的值；（2）构造柯西不等式，利用abc4求【详解】

（1）因为fxxaxbcxaxbcabc， 当且仅当axb时，等号成立．又a0，b0，所以abab， 所以fx的最小值为abc．又已知fx的最小值为4，所以abc4． （2）由（1）知abc4，由柯西不等式得

8． 712122abc的最小值． 49b212122aabc49123c1abc16， 934221112128ba2c， 即abc．当且仅当23497231即a故

2188，b，c时等号成立． 77712128abc2的最小值为． 427【点睛】

方法点睛：求含绝对值的函数最值时，常用的方法有： 1.利用绝对值的几何意义；

2.利用绝对值三角不等式，即ababab； 3.利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值 23．（1）证明见解析；（2）3 【分析】

（1）用柯西不等式，直接证明不等式成立． （2）用柯西不等式，求出【详解】

111的最小值，即可求出参数m的取值范围． abc解：（1）因为a,b,cR*，且abc3. 所以(a2b2c2)(121212)(a1b1c1)29， 所以a2b2c23，当且仅当abc1时，等号成立． 111（2）abcabc111abca9， bc2所以

1113， abc当且仅当abc1时，等号成立． 所以m3 故m的最大值为3 【点睛】

利用柯西不等式求最值

①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；

②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；

③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 24．（1）,28,；（2）证明见解析. 【分析】

（1）分段讨论去绝对值即可求解；

（2）根据绝对值不等式求出m，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】

x4,4x6,x6,fx6（1）由，得或或

102x6262x106,解得x2或x8，

故所求不等式的解集为,28,．

（2）证明：因为fxx4x6x4x62， 所以m2．

因为a,b,c0，所以abc1114121128， abc2abc2abcc14，即ab2时，等号成立， 当且仅当12abc故abc8． 【点睛】

本题考查含绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属于基础题.

25．(1)a1或a5；(2)证明见解析. 【分析】

(1)因为x3，所以fx3xxa，再分别求出a3和a3两种情况下fx的最小值，据此列式求解即可；

(2)由(1)知a1或a5，故在a1和a5两种情况下，分别利用柯西不等式进行证明. 【详解】

(1)因为x3，所以x30，

所以fxx3xa3xxa， ①当a3时，fx2xa3,xa，

3a,ax3所以fxminfa3a， 由3a2，得a1；

②当a3时，fx2x3a， 所以fxminf33a， 由3a2，得a5； 综上所述，a1或a5. (2)当a1时，则m2n1， 所以5mn221222m2n2m2n1， 12，n时上式取等号； 552当且仅当n2m即m当a5时，则m2n5， 所以5mn221222m2n2m2n251，

2当且仅当n2m即m1，n2时上式取等号；

22综上所述，5mn1.

【点睛】

本题考查绝对值不等式及柯西不等式的应用，考查学生的计算分析能力，难度不大. 26．（1）2,；（2）【分析】

(1)化简后根据绝对值中的零点将fx转换为分段函数，再求解即可. (2)代入可得【详解】

解：(1)化简得x32x1

23196． 31491149a4b9c，再根据柯西不等式求最小值即可. abc3abc①当x0时，fx3x2xx3，由fx1即x31，解得x2，又

x0，所以2x0；

②当0x3时，fx33x，由fx1，即23x1，解得x2，又30x2，所以0x2； 3③当x3时，fxx3，不满足fx1，此时不等式无解； 综上，不等式fx1的解集为2,(2)a4b9cf所以

2． 3223， 31491149a4b9c abc3abc∵a,b,c0，∴由柯西不等式： 上式13a2b22121212 3c23abc213a19621111. 2b23c31493abc32当且仅当abc所以

3时，等号成立. 14149196的最小值为.

3abc【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.