完整word版,《数值计算方法》试题集及答案

一、填空题：

410AA1410141、，则A的LU分解为

。

0141154A1411415156150 答案：

23、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

L2(x)11(x2)(x3)2(x1)(x3)(x1)(x2)22

答案：-1，

4、近似值x*0.231关于真值x0.229有( 2 )位有效数字； 5、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( )；

xn1xnxnf(xn)1f(xn)

答案

36、对f(x)xx1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为

ban1( 2 )；

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均

不为零)。

y10346x1(x1)2(x1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表

1x1 ，为了减少舍入误差，应将表达式

1

12、 为了使计算

达式改写为

y10(3(46t)t)t,t220011999改写为

20011999 。

313、 用二分法求方程f(x)xx10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

3x15x2114、 求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为

1代格式的迭代矩阵的谱半径(M)= 12 。

(k1)(k)(15x2)/3x1(k1)(k1)x1/20 ，x2该迭

15、 设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x) l1(x)x(x2) ，f(x)的二次牛顿

插值多项式为 N2(x)16x7x(x1) 。

16、 求积公式

Akf(xk)af(x)dxk0bn的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 2n1 )次代数精度。

21、如果用二分法求方程xx40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）

次。

3x30x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x3222、已知是三次样条函数，则

a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）。

l(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数，则 23、0lk0nk(x)( 1 )，k0xlknj(xk)(

xj )，当n2时k0(xn4k2xk3)lk(x)( xx3 )。

4224、

25、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f(x)x1x (x1)的形式，使计算结果较精确

x1x 。

27、若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10

次。

fx128、写出求解方程组

x11.6x210.4x1x22的

Gauss-Seidel迭代公式

2

xk111.6xk12xk1k1,k0,1,01.6220.4x1，迭代矩阵为

00.64，此迭代法是否收敛 收敛 。

A5431、设

43,则A 9 。

482482UA257016132、设矩阵

136的ALU，则U 002 。 33、若f(x)3x42x1，则差商f[2,4,8,16,32] 3 。

1201115x134、线性方程组1023的最小二乘解为

11 。

321321410A020433136、设矩阵

35分解为ALU，则U 00212 。 二、单项选择题：

1、 Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是（ C ）。 A．A的各阶顺序主子式不为零 B． (A)1 C． aii0,i1,2,,n D． A1

223A0512、设

070，则(A)为( C )． A． 2 B． 5 C． 7 D． 3

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。 A． 对称阵 B． 正定矩阵

C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值

3

C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。

A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算

x3 9、用1+3近似表示1x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是

( B )。

(A) y=(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=(x)的交点

3x1x24x31x12x29x304x3xx112315、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为

( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

4

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)(n1)! (B)

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D)

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)n1(x)(n1)!

18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

(A)f(x0)f(x)0(B)f(x0)f(x)0(C)f(x0)f(x)0(D)f(x0)f(x)0

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建

立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

x2(A)

1,迭代公式:xk1x11xk1

x1(B)(C)

11,迭代公式:x1k12x2xk

21/3x31x2,迭代公式:xk1(1xk)

(D)

x1x,迭代公式:xk1322xk12xkxk1 (k1)Bx(k)g收敛的充要条件是（ ）。

（1）(A)1, (2) (B)1, (3) (A)1, (4) (B)1

21、解方程组Axb的简单迭代格式x23、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2 2.5 4.25 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

425、取31.732计算x(31)，下列方法中哪种最好？（ ）

1616224(423)(423)(31)28163(A)； (B)； (C) ； (D) 。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ） 3.5 xi１ 1.5 ２ 2.5 ３ 11.5 f(xi)-1 0.5 2.5 5.0 8.0 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。 29、计算3的Newton迭代格式为( )

xk1(A)

xkxxx3323xk1kxk1kxk1k2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。

5

30、用二分法求方程x4x100在区间[1,2]内的实根，要求误差限为次数至少为( )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

3210312，则对分

ixk(k0,1,L,9)l(x)32、设i是以k为节点的Lagrange插值基函数，则k0( )

(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。

335、已知方程x2x50在x2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是( )

352xk5xk12xk13232x5xxxxx53xk2。 k1kkkk(A)； (B)； (C)k1； (D)

kl(k)936、由下列数据 x0 1 2 f(x)1 2 4 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

3 3 4 -5 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）

1，2，，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，1、已知观察值(xi，yi)(i0，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( )

x22、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

(xx0)(xx2)3、(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 (  )

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

(  )

311253125具有严格对角占优。 ( ) 5、矩阵A=

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组 求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

4x12x2x311x14x22x3182xx5x22231，取x(0)(0,0,0)T，迭代四次(要

6

(k1)1(k)(k)x(112xx)1234(k1)1(k1)(k)x2(18x12x3)4(k1)1(k1)(k1)x(222xx)3125 

k 0 1 2 3 4

2、已知

x1(k)(k)x2(k)x30 2.7500 0.20938 0.24043 0.50420 0 3.8125 3.1789 2.5997 2.4820 0 2.5375 3.6805 3.1839 3.7019 xi1 3 6 4 5 5 4 f(xi)2 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

答案：

L3(x)2(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)6(13)(14)(15)(31)(34)(35)

5

(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)4(41)(43)(45)(51)(53)(54)

差商表为

xiyi一阶均差 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 1 3 4 5 2 6 5 4 141P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4

7

f(2)P3(2)5.5 5、已知

xi-2 -1 2 0 1 1 3 2 5 f(xi)4 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f(0)的近似值。 答案：解：

ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 0 4 2 1 3 5 15 4 1 0 1 4 10 -8 -1 0 1 8 0 16 1 0 1 16 34 -8 -2 0 3 10 3 16 2 0 3 20 41 

10311a0,a1,a271014

10311311(x)p2(x)xx2p2x71014107

3(0)f(0)p210 6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

正规方程组为

5a010a21510a1310a34a4120xiyi0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|M3|3(x)|3!

8

尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.638910.596274，

且

sin0.638910.5962741(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)3!0.55032104

x7、构造求解方程e10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，讨论其收敛

4|xx|10n1n性，并将根求出来，。

x答案：解：令 f(x)e10x2,f(0)20,f(1)10e0.

x)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程且f(x)e100对x(，f(x)0变形为

x1(2ex)10

则当x(0,1)时

(x)故迭代格式

1(2ex)10，

xn1exe|(x)|11010

1(2exn)10

收敛。取x00.5，计算结果列表如下：

n 0 1 0.035 127 872 5 0.090 517 340 2 0.096 424 785 6 0.090 525 950 3 0.089 877 325 7 0.090 525 008 xnn 0.5 4 xn0.090 595 993 6*|xx|0.000000951076且满足 .所以x0.090525008.

9

x12x23x3142x15x22x318 8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 3x1x25x320。

13ALU211214答案：解：

51324 令Lyb得y(14,10,72)T，Uxy得x(1,2,3)T.

3x12x210x31510x14x2x35 9﹑对方程组 2x110x24x38

（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

（2） 取初值x(0)(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k1)x(k)||103。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

10x14x2x352x110x24x383x12x210x315

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

x1(k1)1(4x(2k)x(3k)5)10x(k1)1(2x2101(k1)4x(3k)8)x(3k1)110(3x1(k1)2x(2k1)15)

取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

10、已知下列实验数据

xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

要求

10

xedxf(x)e解：当01 要求近似值有5位有效数字，只须误差

(n)R1((n)R1(f)11042.

由

(ba)3f)f()212n，只要

(n)R1(ex)ee110422212n12n

即可，解得

ne10267.308776

所以 n68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

111x14543x122211x311。 11、用列主元素消元法求解方程组 111454312rr543121211142111121111 解： 51r2r1502r3r10551r3r213004151353251531258r2r305790541351531525127958 541351217955551313

回代得 x31,x26,x13。

xx0,x0.5,x1f(x)e012 12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式

P2(x),并估计误差。

11

解：

P2(x)e0(x0.5)(x1)0.5(x0)(x1)e(00.5)(01)(0.50)(0.51)

e1(x0)(x0.5)(10)(10.5)2(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)2e1x(x0.5)

又

f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1x[0,1]

故截断误差

|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|3!。

15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

2f(x)x30的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为 3解：是

xn12x3xn3xn1nxn22xn2xn， 即

(n0,1,2,)

取x0=1.7, 列表如下：

n1 2 1.73205 3 1.73205 xn1.73235 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解：

L2(x)2(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)34(11)(12)(11)(12)(21)(21)

234(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)323

1f(1.5)L2(1.5)0.0416724

301x15131x21114x83=， 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：

12

(k1)1(k)x(x5)1331(k1)(k1)(k)x(x1x31)23(k1)1(k1)(k1)x(xx8)3124

301131114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 系数矩阵取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

k(k)x1(k)x2(k)x31 2 3 1.667 2.398 2.461 0.889 0.867 0.359 -2.195 -2.383 -2.526 2yabx 20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：

xi19 19.0 25 32.3 30 49.0 38 73.3 yi2span{1,x} 解：

1AT219125213121T382 y19.032.349.073.3

TTAACAy 解方程组

33914173.6TATAAy179980.733913529603 其中 0.9255577C0.0501025 所以 a0.9255577， b0.0501025 解得：

3322、（15分）方程xx10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）xx111x1x1n13x13xxn；x对应迭代格式n对应迭代格式n1；(2)（3）xx1对应

3x1.5的收敛性，xx1。n1n迭代格式判断迭代格式在0选一种收敛格式计算x1.5附近的根，

精确到小数点后第三位。

1(x)(x1）3（1.5）0.1813解：（1），，故收敛；

213

(x)12x211（2）

x，（1.5）0.171，故收敛；

（3）(x)3x2，

（1.5）31.521，故发散。

选择（1）：

x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249，

x51.32476，x61.32472

23、（8分）已知方程组AXf，其中

43A34124f3014，24

（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

x(k1)11(243x(k)2)4x(k1)1(303x(k)(k)21x3)4x(k1)31(24x(k)2)解：Jacobi迭代法：k40,1,2,3, x(k1)1(k)1(243x)42x(k1)1x(k)2(303x(k1)13)4x(k1)1(k3(24x1)2)Gauss-Seidel迭代法：4k0,1,2,3,

0BD1LU)034J(334040340，

(B10J)58(或4)0.790569

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表： 100 10 121 11 0.0476190 144 12 0.0434783 -0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

f'''x358x2

14

Rf'''3!115100115121115144136810052156290.00163

33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

x14x22x3243x1x25x334 2x16x2x327

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875

x2.0000,3.0000,5.0000T

13125x1x234、(8分)求方程组 1121 的最小二乘解。 ATAxATb36x181.3333，614x220x， 2.0000

若用Householder变换，则：

1.732053.464104.A,b6188000.366031.5207301.366032.52073

1.732053.464104.6188001.414212.82843000.81650

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T

.

122A1111b237、（15分）已知方程组Axb，其中

221，3， （1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

15

（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

(k)(k)x1(k1)12x22x3(k1)(k)(k)x22x1x3;k0,1,2,Lx(k1)32x(k)2x(k)123Gauss-Seidel迭代法的分量形式

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

(k)(k)x1(k1)12x22x3(k1)(k1)(k);k0,1,2,Lx22x1x3x(k1)32x(k1)2x(k1)123

022BD1(LU)101220，

1230，(B)01，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为

022G(DL)1U023200，

10,232，(B)21，Gauss-Seidel迭代法发散

40、(10分)已知下列函数表：

x0 1 2 3 27 1 3 9 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； f(x)(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算 解：（1）

f(1.5)的近似值。

(x1)(x2)(x3)(x0)(x2)(x3)(x0)(x1)(x3)(x0)(x1)(x2)(01)(02)(03)(10)(12)(13)(20)(21)(23)(30)(31)(32)48x32x2x13 3

01L3(x)12392624（2）均差表：327 18 6 3

4N3(x)12x2x(x1)x(x1)(x2)3

f(1.5)N3(1.5)5

16