(完整版)高二数学分组与分配问题专题

分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。从而能掌握该节内容。下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：

一、 分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对

象，称为分

配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

二、分组与分配模型的分类：

①均匀分组； ②非均匀分组； ③均匀分组与分配；

④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；

三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（kn）个不同的对

象，每个对象至少分配1个元素。

四、例题精选:

(一) 分组与分配问题的基本模型：

例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?

（1）平均分成三堆； 均匀分组问题

（2）平均分给甲、乙、丙3人； 均匀分组分配问题

（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本； 非均匀分组问题

（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本； 非均匀分组定向分配

（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本； 非均匀分组不定向分配

222C6C4C2分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有种。注意：不3A3同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；

（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。

222C6C4C2可先对6本书进行分组，共有分组方法数种；然后再把三堆书分别分给3A3甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的

222C6C4C2223C2种。 方法数共有种 ，即C62C4•A33A3（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本，这是非均匀分组问题，分组方法数共有

123C6C5C3种。

（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本，这是非均分组定向分配问题，先对

123C5C3，然后再进行定向分配，由于6本书进行分组，分成三堆，共有方法数C6甲、乙、丙指定了书堆的个数，因此，甲得1本，乙得2本，丙得3本的方法

123C5C3种。 数还是C6(5) 一人得1本，一人得2本，一人得3本,这是非均匀分组不定向分配问

123C5C3；题，先把6本书分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3 本，分堆方法数共有C61233C5C3A3然后再分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3本的方法数共有C6种。

小结：

练习：

1、有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从

10人中选派4人承担这三项任务。则不同的选法种数有多少种?

2、有17个桃子，分成8堆，其中一堆1个，一堆4 个，另外6堆每堆都是2个，有多少

种不同的分堆方法?

(二) 分组与分配问题的综合应用：

例2、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种?

分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放2个小球，另外两个盒子各放1个小球；

因此，该题转化为4个不同的小球分成3组，然后将3组小球分别投入到4个盒子中的任意3个盒子中。

211C4C2C1 解：第一步：4个小球分成3组的分组方法数共有种； 2A2 第二步：再把3组分好的小球投入到4个盒子中的任意3个小盒中，

3分配方法数共有A4种；

所以，要完成四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，需要

211C4C2C13两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数A4种。 2A2 变式题：四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，，则愉有2个空盒的

放法共有多少种?

例3、有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同的发法? 分析：5件不同的奖品发给4位先进工作者，至少有一位先进工作者要领2件不同的

奖品；因此，可以把5件奖品分成4组，每组分别有2件、1件、1件，1件；然后再把四组奖品分别发给4 个不同的先进工作者。

111C52C3C2C1 解：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有种； 3A3 第二步：再把4 个小组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法数有A44种；

所以，要完成5件不同的奖品发给4位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原

111C52C3C2C14理，发放奖品的方法数共有种。 •A43A3 变式题：有5件不同的奖品发给3位先进工作者，每人至少1件，有多少种不同的发放奖品的方法?

练习题：

1、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，有多少种不同的分配方案? 2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，

不同的分配方法共有多少种? 3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，

且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数有多少种?