数列综合题训练
一．解答题（共30小题）
1．（2011•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列{
2．（2011•福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3． （I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．
3．（2010•重庆）已知{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，Sn为{an}的前n项和． （Ⅰ）求通项an及Sn； （Ⅱ）设{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
4．（2010•四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
n﹣1*
（Ⅱ）设bn=（4﹣an）q（q≠0，n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn．
5．（2010•山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令
（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．
+
}的前n项和．
6．（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16 （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=
7．（2008•海南）已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5． （Ⅰ）求{an}的通项an； （Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．
8．（2007•福建）等差数列{an}的前n项和为sn，（1）求数列{an}的通项an与前n项和为sn； （2）设
9．（2004•山东）等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50． （Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）若Sn=242，求n．
10．（2004•黑龙江）已知等差数列{an}中，a2=9，a5=21． （1）求{an}的通项公式；
an
（2）令bn=2，求数列{bn}的前n项和Sn．
（n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn．
*
，．
（n∈N），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
+
11．已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145． （1）求数列{bn}的通项bn； （2）设数列{an}的通项an=loga（1+的大小，并证明你的结论．
12．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列
13．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0． （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1； （Ⅱ）求d的取值范围．
14．在等差数列{an}中，a1=1，前n项和Sn满足条件（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
a
（Ⅱ）记bn=anpn（p＞0），求数列{bn}的前n项和Tn．
，
的前n项和Sn．
）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1
15．（2011•山东）等比数列{an}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一列． 第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）如数列{bn}满足bn=an+（﹣1）lnan，求数列bn的前n项和sn．
16．（2010•福建）数列{an}中，a1=，前n项和Sn满足Sn+1﹣Sn=（）（I）求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和Sn （II）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值．
17．（2007•山东）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式．（2）令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（2004•贵州）已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，证明
．
n+1
（n∈）N．
*
19．已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（an+
20．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{
21．已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
}的前n项和．
2
），a3+a4+a5=64
++）
），求数列{bn}的前n项和Tn．
2
（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（II）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
22．（2010•湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m），其中有部分旧住房需要拆除．当地
2
有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m）的旧住房． （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？
5
（计算时取1.1=1.6）
2
23．（2009•安徽）已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2﹣bn （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
2
（Ⅱ）设cn=an•bn，证明：当且仅当n≥3时，cn+1＜cn．
24．（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足（Ⅰ）若
，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；
对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．
．
2
（Ⅱ）记bn=a3a2…an（n∈N*），若bn≥2
25．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn
n﹣1
（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2}是等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式．
26．（2008•广东）设p，q为实数，α，β是方程x﹣px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p﹣q，xn=pxn﹣1﹣qxn﹣2（n=3，4，…）． （1）证明：α+β=p，αβ=q； （2）求数列{xn}的通项公式； （3）若p=1，
，求{xn}的前n项和Sn．
2
2
n
27．（2007•陕西）已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk=（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bk}满足
28．（2007•湖南）设Sn是数列{an}（n∈N）的前n项和，a1=a，且Sn=3nan+Sn﹣1，an≠0，n=2，3，4，…． （1）证明数列{an+2﹣an}（n≥2）是常数数列；
*
（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（n∈N）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项．
29．（2007•北京）数列{an}中，a1=2an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{an}的通项公式． 30．（2005•上海）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
*
2
2
2
N*），其中a1=1．
（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+bn
答案与评分标准
一．解答题（共30小题）
1．（2011•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列{
}的前n项和．
解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
，
解得：，
故数列{an}的通项公式为an=2﹣n； （II）设数列{
}的前n项和为Sn，即Sn=a1+
+…+
①，故S1=1，
=++…+②，
当n＞1时，①﹣②得： =a1+
+…+
﹣
=1﹣（++…+）﹣
=1﹣（1﹣）﹣=，
所以Sn=
，
综上，数列{
}的前n项和Sn=
．
2．（2011•福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3． （I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值． 解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d 由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2， 从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n； （II）由（I）可知an=3﹣2n， 所以Sn=
=2n﹣n，
2
2
进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k=﹣35，
2
即k﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，
+
又k∈N，故k=7为所求．
3．（2010•重庆）已知{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，Sn为{an}的前n项和． （Ⅰ）求通项an及Sn； （Ⅱ）设{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn． 解答：解：（Ⅰ）∵{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列 ∴an=19﹣4（n﹣1）=﹣4n+23．． ∵{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列其和为
（Ⅱ）由题意{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，
n﹣1n﹣1n﹣1
∴bn﹣an=2，所以bn=an+2=2﹣4n+23
2n﹣12n
∴Tn=Sn+1+2+2+…+2=﹣2n+21n+2﹣1
4．（2010•四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
n﹣1*
（Ⅱ）设bn=（4﹣an）q（q≠0，n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn． 解答：解：（1）设{an}的公差为d， 由已知得
解得a1=3，d=﹣1 故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
n﹣1
（2）由（1）的解答得，bn=n•q，于是
012n﹣1n
Sn=1•q+2•q+3•q+…+（n﹣1）•q+n•q． 若q≠1，将上式两边同乘以q，得
123nn+1
qSn=1•q+2•q+3•q+…+（n﹣1）•q+n•q． 将上面两式相减得到
（q﹣1）Sn=nq﹣（1+q+q+…+q=nq﹣
n
n
2
n﹣1
）
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
所以，Sn=
．
5．（2010•山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令
（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．
+
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3=7，a5+a7=26，
∴有
，
解得a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn=
=n+2n；
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， ∴bn=
=
=
=
，
∴Tn=
即数列{bn}的前n项和Tn=
=．
=，
6．（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16 （1）求数列{an}的通项公式； 解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 则依题意可知d＞0由a2+a7=16， 得2a1+7d=16①
由a2a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55② 由①②联立方程求得 得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1 （2）令cn=
，则有an=c1+c2+…+cn
（排除）
an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得
an+1﹣an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2 ∴cn+1=2，即cn=2（n≥2）， 即当n≥2时，
n+1
bn=2，又当n=1时，b1=2a1=2 ∴bn=
3
4
n+1
n+2
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+2+2+…2=2﹣6 7．（2008•海南）已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5． （Ⅰ）求{an}的通项an； （Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值． 解答：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1=3，d=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5． （Ⅱ）
所以n=2时，Sn取到最大值4．
，
=4﹣（n﹣2）．
2
8．（2007•福建）等差数列{an}的前n项和为sn，（1）求数列{an}的通项an与前n项和为sn； （2）设
（n∈N），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
，∴d=2，
+
，．
解答：解：（1）由已知得
故
（2）由（Ⅰ）得
．
．
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq=bpbr． 即∴
∵p，q，r∈N， ∴
，
*
2
． ，
∴
∴p=r．
与p≠r矛盾．
=0，
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． 9．（2004•山东）等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50． （Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）若Sn=242，求n． 解答：解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得 方程组
解得a1=12，d=2．所以an=2n+10． （Ⅱ）由方程
解得n=11或n=﹣22（舍去）．
10．（2004•黑龙江）已知等差数列{an}中，a2=9，a5=21． （1）求{an}的通项公式；
an
（2）令bn=2，求数列{bn}的前n项和Sn． 解答：解：（1）设数列{an}的公差为d，由题意得
解得a1=5，d=4， ∴{an}的通项公式为an=4n+1．
得
（2）由an=4n+1得
4n+1bn=2，
54
∴{bn}是首项为b1=2，公比q=2的等比数列． ∴Sn=
．
11．已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145． （1）求数列{bn}的通项bn； （2）设数列{an}的通项an=loga（1+的大小，并证明你的结论．
）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1
解答：解：（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得
解得
所以bn=3n﹣2．
（2）由bn=3n﹣2，知
Sn=loga（1+1）+loga（1+）++loga（1+=loga[（1+1）（1+）（1+
）
．
）与
的大小．
）]，logabn+1=loga
因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+取n=1有（1+1）＞取n=2有（1+1）（1+）＞由此推测（1+1）（1+）（1+
，
， ）＞
．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定： 当a＞1时，Sn＞logabn+1． 当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．
下面用数学归纳法证明①式． （ⅰ）当n=1时已验证①式成立． （ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即 （1+1）（1+）（1+那么，当n=k+1时， （1+1）（1+）（1+
）（1+
）＞
（1+
）
）＞
．
=（3k+2）．
因为
=
=
，
所以（3k+2）＞
）（1+
）＞
．
．
因而（1+1）（1+）（1+
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立． 由此证得：
当a＞1时，Sn＞logabn+1． 当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．
12．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列
的前n项和Sn．
解答：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．
所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=q（Ⅱ）
．
n﹣1
=2
n﹣1
．
，①
，②
②﹣①得，
===．
13．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0． （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1； （Ⅱ）求d的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）由题意知S6=a6=S6﹣S5=﹣8 所以
=﹣3，
解得a1=7
所以S6=﹣3，a1=7； 解：（Ⅱ）因为S5S6+15=0， 所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，
即2a1+9da1+10d+1=0．
22
故（4a1+9d）=d﹣8．
2
所以d≥8．
故d的取值范围为d≤﹣2
2
2
或d≥2．
14．在等差数列{an}中，a1=1，前n项和Sn满足条件（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
a
（Ⅱ）记bn=anpn（p＞0），求数列{bn}的前n项和Tn． 解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由
得：
，
=3，所以a2=2，即d=a2﹣a1=1，
所以an=n．
an23n﹣1n
（Ⅱ）由bn=anpn，得bn=np．所以Tn=p+2p+3p+…+（n﹣1）p+np， 当p=1时，Tn=
；
当p≠1时，
234nn+1
pTn=p+2p+3p+…+（n﹣1）p+np， （1﹣p）Tn=p+p+p+…+p
2
3
n﹣1
+p﹣np
nn+1
=，
即Tn=．
15．（2011•山东）等比数列{an}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一列． 第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）如数列{bn}满足bn=an+（﹣1）lnan，求数列bn的前n项和sn． 解答：解：（Ⅰ）当a1=3时，不合题意
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意 当a1=10时，不合题意
因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，
n﹣1
所以an=2•3．
n
（Ⅱ）bn=an+（﹣1）lnan
n﹣1n
=2•3+（﹣1）[（n﹣1）ln3+ln2]
n﹣1nn
=2•3+（﹣1）（ln2﹣ln3）+（﹣1）nln3
n﹣1nn
所以sn=2（1+3+…+3）+[﹣1+1﹣1+1+…+（﹣1）]（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n]ln3 所以当n为偶数时，sn=
=
当n为奇数时，sn=
=
综上所述sn=
16．（2010•福建）数列{an}中，a1=，前n项和Sn满足Sn+1﹣Sn=（）（I）求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和Sn （II）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值． 解答：解：解：（Ⅰ）由Sn+1﹣Sn=（）n+1得又
，故
（n∈N*）
n+1
（n∈）N．
*
（n∈N*）；
从而（n∈N*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，．
，解得t=2．
从而由S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列可得：
17．（2007•山东）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式．（2）令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn．
解答：解：（1）由已知得
解得a2=2．
设数列{an}的公比为q，由a2=2， 可得
又S3=7，可知即2q﹣5q+2=0， 解得
由题意得q＞1， ∴q=2
∴a1=1．故数列{an}的通项为an=2． （2）由于bn=lna3n+1，n=1，2，，
3n
由（1）得a3n+1=2
3n
∴bn=ln2=3nln2又bn+1﹣bn=3ln2n ∴{bn}是等差数列． ∴Tn=b1+b2++bn
n﹣1
2
．
，
===故
．
．
18．（2004•贵州）已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，证明
．
4
解答：解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q，a5=a1q． 依题意，得方程组
解此方程组，得a1=2，q=3．
n﹣1
故数列{an}的通项公式为an=2•3． （2）
．
，
．
19．已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（an+
），求数列{bn}的前n项和Tn．
2
），a3+a4+a5=64
++）
解答：解：（1）设正等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意得：
∴an=2
n﹣1
（6分）
（2）
∴bn的前n项和Tn=
20．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
2
（12分）
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{
2
}的前n项和．
2
2
2
解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3=9a2a6得a3=9a4，所以q=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=． 故数列{an}的通项式为an=（Ⅱ）bn=故则
=﹣+
+…+
+
+…+=﹣2（﹣
．
=﹣（1+2+…+n）=﹣）
）]=﹣
， ，
=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
．
所以数列{}的前n项和为﹣
21．已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（II）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式． 解答：证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=
∴an=×
=，
Sn=
又∵=
=Sn∴Sn=
（II）∵an=
∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log31+（﹣2log33）+…+nlog33 =﹣（1+2+…+n）=﹣
2
∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣
22．（2010•湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m），其中有部分旧住房需要拆除．当地
2
有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m）的旧住房． （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？
5
（计算时取1.1=1.6）
解答：解：（1）第1年末的住房面积第2年末的住房面积
，
，
（Ⅱ）第3年末的住房面积第4年末的住房面积第5年末的住房面积
=
依题意可知，1.6a﹣6b=1.3a，解得所以每年拆除的旧房面积为
， ．
2
，
，
23．（2009•安徽）已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2﹣bn （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
2
（Ⅱ）设cn=an•bn，证明：当且仅当n≥3时，cn+1＜cn． 解答：解：（1）由于a1=S1=4
22*
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+2n）﹣[2（n﹣1）+2（n﹣1）]=4n，∴an=4n，n∈N， 又当x≥n时bn=Tn﹣Tn﹣1=（2﹣bn）﹣（2﹣bn﹣1），∴2bn=bn﹣1 ∴数列bn是等比数列，其首项为1，公比为，∴
．
（2）由（1）知，=．
由得，解得n≥3．
又n≥3时，成立，即
，由于cn＞0恒成立．
因此，当且仅当n≥3时cn+1＜cn．
24．（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足（Ⅰ）若
，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；
对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．
，
．
（Ⅱ）记bn=a3a2…an（n∈N*），若bn≥2解答：解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2，故
﹣2
由此有a1=2，a2=2，a3=2，a4=2，、
（﹣2）n﹣1*
故猜想|an|的通项为an=2（n∈N）．
Sn
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2． 由题设知x1=1且
．②
；①
（﹣2）0（﹣2）2（﹣2）2（﹣2）3
因②式对n=2成立，有下用反证法证明：由①得
因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列． 故又由①知因此是所以由④﹣⑤得
是首项为
，公比为﹣2的等比数列，
．⑤
．⑥
．④
，
．
． ．③
对n求和得由题设知
．⑦
．
．
即不等式2
*
2k+1
＜
对k∈N恒成立．但这是不可能的，矛盾． 因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2=将x2=代入⑦式得Sn=2﹣所以bn=2n=2
S
2﹣
*2
．
（n∈N*），
（n∈N*）
n
25．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn
n﹣1
（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2}是等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 考点：数列的应用。
nn+1
解答：解：由题意知a1=2，且ban﹣2=（b﹣1）Snban+1﹣2=（b﹣1）Sn+1
n
两式相减得b（an+1﹣an）﹣2=（b﹣1）an+1
n
即an+1=ban+2①
n
（Ⅰ）当b=2时，由①知an+1=2an+2
nnnn﹣1
于是an+1﹣（n+1）•2=2an+2﹣（n+1）•2=2（an﹣n•2）
0n﹣1
又a1﹣1•2=1≠0，所以{an﹣n•2}是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2当b≠2时，由①得因此即所以
2
2
n﹣1
=2
n﹣1
，即an=（n+1）2
n﹣1
=
=
=
26．（2008•广东）设p，q为实数，α，β是方程x﹣px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p﹣q，xn=pxn﹣1﹣qxn﹣2（n=3，4，…）． （1）证明：α+β=p，αβ=q； （2）求数列{xn}的通项公式； （3）若p=1，
，求{xn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）由求根公式，不妨设α＜β，得
∴，
．
（2）设xn﹣sxn﹣1=t（xn﹣1﹣sxn﹣2），则xn=（s+t）xn﹣1﹣stxn﹣2，由xn=pxn﹣1﹣qxn﹣2得消去t，得s﹣ps+q=0，
2
∴s是方程x﹣px+q=0的根，由题意可知，s1=α，s2=β ①当α≠β时，此时方程组
的解为
或
2
，
∴xn﹣αxn﹣1=β（xn﹣1﹣αxn﹣2），xn﹣βxn﹣1=α（xn﹣1﹣βxn﹣2），
即{xn﹣t1xn﹣1}、{xn﹣t2xn﹣1}分别是公比为s1=α、s2=β的等比数列，
n﹣2n﹣2
由等比数列性质可得xn﹣αxn﹣1=（x2﹣αx1）β，xn﹣βxn﹣1=（x2﹣βx1）α，
n﹣2n﹣22
两式相减，得（β﹣α）xn﹣1=（x2﹣αx1）β﹣（x2﹣βx1）α∵x2=p﹣q，x1=p，
22
∴x2=α+β+αβ，x1=α+β
n﹣22n﹣2nn﹣22n﹣2nnn
∴（x2﹣αx1）β=β•β=β，（x2﹣βx1）α=α•α=α∴（β﹣α）xn﹣1=β﹣α， 即∴
2
，∴
2
②当α=β时，即方程x﹣px+q=0有重根，∴p﹣4q=0，
22
即（s+t）﹣4st=0，得（s﹣t）=0，
n﹣2
∴s=t，不妨设s=t=α，由①可知xn﹣αxn﹣1=（x2﹣αx1）β，
n﹣2n
∵α=β，∴xn﹣αxn﹣1=（x2﹣αx1）α=α
nn
即∴xn=αxn﹣1+α，等式两边同时除以α， 得
，
即
∴数列是以1为公差的等差数列，
∴
∴xn=nα+α 综上所述，
n
n
，
．
，
=
=．
（3）把p=1，
代入x﹣px+q=0，得
2
，解得，∴．
N*），其中a1=1．
27．（2007•陕西）已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk=（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bk}满足解答：解：（Ⅰ）当k=1，由当k≥2时，由
（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+bn
及a1=1，得a2=2．
，得ak（ak+1﹣ak﹣1）=2ak．
因为ak≠0，所以ak+1﹣ak﹣1=2．从而a2m﹣1=1+（m﹣1）•2=2m﹣1．a2m=2+（m﹣1）•2=2m，m∈N*． 故ak=k（k∈N*）．
（Ⅱ）因为ak=k，所以所以
=
．
．
故b1+b2+b3++bn=
*
=
2
2
2
．
28．（2007•湖南）设Sn是数列{an}（n∈N）的前n项和，a1=a，且Sn=3nan+Sn﹣1，an≠0，n=2，3，4，…． （1）证明数列{an+2﹣an}（n≥2）是常数数列；
（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（n∈N）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项．
222
解答：解：（1）当n≥2时，由已知得Sn﹣Sn﹣1=3nan．
2
因为an=Sn﹣Sn﹣1≠0，所以Sn+Sn﹣1=3n．①
2
于是Sn+1+Sn=3（n+1）．② 由②﹣①得：an+1+an=6n+3．③ 于是an+2+an+1=6n+9．④ 由④﹣③得：an+2﹣an=6．⑤
即数列{an+2﹣an}（n≥2）是常数数列． （2）由①有S2+S1=12，所以a2=12﹣2a． 由③有a3+a2=15，所以a3=3+2a， 而⑤表明：数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列． 所以a2k=a2+（k﹣1）×6=6k﹣2a+6，a2k+1=a3+（k﹣1）×6=6k+2a﹣3，k∈N*．
n﹣1
由题设知，bn=18×7．当a为奇数时，a2k+1为奇数，而bn为偶数， 所以bn不是数列{a2k+1}中的项，bn只可能是数列{a2k}中的项． 若b1=18是数列{a2k}中的第k0项，
由18=6k0﹣2a+6得a=3k0﹣6，取k0=3，得a=3．
n﹣1n﹣1
此时a2k=6k，由bn=a2k得18×7=6k，k=3×7∈N*，
n﹣1
从而bn是数列{an}中的第6×7项． 29．（2007•北京）数列{an}中，a1=2an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{an}的通项公式． 解答：解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c， 因为a1，a2，a3成等比数列，
2
所以（2+c）=2（2+3c），解得c=0或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．
（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c， 所以
2
*
．
又a1=2，c=2，故an=2+n（n﹣1）=n﹣n+2（n=2，3，）．
2
当n=1时，上式也成立，所以an=n﹣n+2（n=1，2，） 30．（2005•上海）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解答：解：（1）设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列， 其中a1=250，d=50， 则Sn=250n+
2
=25n+225n，令25n+225n≥4750，
22
即n+9n﹣190≥0，而n是正整数，∴n≥10， ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米． （2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1=400，q=1.08，
n﹣1
则bn=400•（1.08），
n﹣1
由题意可知an＞0.85bn，有250+（n﹣1）•50＞400•（1.08）•0.85， 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
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