对数平均数之欧阳美创编

高考又见对数平均数

时间：2021.01.01 创作：欧阳美 在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。

对于

aba>b>0，我们把lnalnb称作

a与b的对数平均数，并

且有：算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：

abab2>lnalnb>ab

证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、

abB(b,0)、C(2,0)、D(ab,0)作

x轴的垂线，与函数

1y=x交于

F、G、E、H四点，过E作函数的切线，分别与BG、AF交于M、N两点。

比较曲边四边形GBAF的面积S1与梯形MBAN的面积S2，得S1>S2，其中：

S1=

ab1dxx=ln a-ln b， BMAN2S2=

•AB=CE•

2AB=ab•

(a-b)

2∴ln a-ln b>ab•

(a-b)

欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编 2021.01.01

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abab即：2>lnalnb……①

比较梯形GBDH的面积S3与曲边四边形GBDH的面积S4，得S3>S4，其中：

1S3=2(GB+HD)•

11BD=2(b+

1ab)(

ab

ab-b)=2ab

S4=

abb1lnalnblnalnbdxx=lnab-ln b=2-ln b=2 lnalnb2>

ab

∴2ab

ab即：lnalnb>ab……②

abab综合①②，得：2>lnalnb>ab (a>b>0)

证明方法Ⅱ（函数证明）： 令

lnx2f(x)=2+x1-1 (x>1)，则有：

(x1)24x(x1)2222x(x1)2x(x1)==

112(x1)2xf`(x)=-

>0

lnx2∴ f(x)>f(1)=0，即：2+x1-1>0， alnalnbabx=b，代入整理得： 2>ab

令

abab即：2>lnalnb……①

1ln x-x (x>1)，则有： (x1)22=x令g(x)=x-2•

212g`(x)=1-x+x>0

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1ln x-x>0，

∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•令x=

abab，代入整理得：ab>ln a-ln b

ab即：lnalnb>ab……②

abab综合①②，得：2>lnalnb>ab (a>b>0)

经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：

已知函数

1f(x)=x-x+a•

ln x

(1) 讨论f(x)的单调性；

(2) 若f(x)存在两个极值点x1、x2，求证：

f(x1)f(x2)x1x22

第一问略。第二问，由题意可知，x1、x2分别为方程：x-ax+1=0的两个解，故有：x1•x2=1，且x1+x2=a>0。

f(x1)-f(x2

=

1)=(x1x2x1x1x2-x1+a•ln x1

1)-(x2-x2+a•ln x2)

+x2-x1+a(ln x1-ln x2) (其中x1x2=1)

=2(x2-x1)+a(ln x1-ln x2)

∴

f(x1)f(x2)lnx1lnx2x1x2x1x2=a•

-2

<1。

lnx1lnx2要证明题目要求的不等式，其实就是证明x1x2ab根据 lnalnb>ab，令

a、b分别等于x1、x2，则ab=x1x2=1，

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即：

x1x2lnx1lnx2>1。可以看到，本题其实就是对数不等式的倒数写

法。

经典例题：下面是一道在各地区调考、模拟考中的经常出现的一个题型（当然实际题目会略加变化）。因其构思精巧，计算复杂，这一题常常被用作压轴题最后一问。让我们一起来体会一下。

x1、x2是函数y=e-ax+a的两个零点，求证x1x2ex1a(x11)x11x2xx依题意有：ea(x21)，两式相除得：e12=x21，

x两边取对数得：x1-x2=ln(x1-1)-ln(x2-1)，

(x11)(x21)∴ln(x11)ln(x21)=1

(x11)(x21)根据对数不等式有：ln(x11)ln(x21)>(x11)(x21)

即：1>(x11)(x21)，整理得：x1x2从上述例子中我们可以体会到对数平均数不等式的巧妙应用。在各地区历年高考压轴题中，这样的例子有很多。对数不等式对基本不等式进行了很好的补充，在指数函数、对数函数的计算中有着广泛的应用。

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