线面积分

1、 计算曲线积分ACBf(y)cosxydxf(y)sinxdy，

其中ACB为连结点A(,2)与

点B(3,4)的线段AB之下方的任意路线，且该路线与线段AB所围图形的面积为1，f(x)是连续可导的函数.( 00年哈工大高等数学竞赛试题)

I2f(x,y,z)xdydzf(x,y,z)dzdx3f(x,y,z)zdxdy2、 计算

.其中f(x,y,z)为连

续函数，为平面xyz50在第Ⅲ象限部分的上侧.( 00年哈工大高等数学竞赛试题)

uvuv,x，记设uu(x,y),vv(x,y)在全平面内有连续的偏导数，且满足xyy3、

I(xvyu)dx(xuyv)dyLx2y2，其中L是包围原点的正向原点的正向简单闭曲线，证明：

I2u(0,0).（01年哈工大高等数学竞赛试卷）

4、 设S是上半空间z0中任意光滑闭曲面，S围成区域，函数ur(r)，

rSx2y2z2 在上

半空

dv间有连续的二阶导数满足

uuudydzdzdxdxdyxyzex2y2z2，求(r).（01年哈工大高等数学竞赛试卷）

5、计算曲面积分

yz(yz)dydzxz(zx)dzdxxy(xy)dxdy，

3(x)2y212其中是曲面z4Rxxy（R1）在柱面之内部分的上侧。（02年

22哈工大高等数学竞赛试卷）

6、计算曲线积分

Lx2y2dxy[xyln(xx2y2)]dy

其中L是曲线yx1从点A(1,2)到点C(0,1)的部分。（02年哈工大高等数学竞赛试卷）

7、设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数(x)使曲面积分

S(1x2) (x) dydz4xy (x) dzdx4xz dxdy

与曲面S的形状无关. (02电子科大高等数学竞赛试题)

8、设L1与L2是包含原点在内的两条同向闭曲线，L2在L1的内部，若已知

2xdxydyL22为常数），则有1xy（ D ）

2xdxydykL2x2y2（k(A) 等于k； (B) 等于k； (C) 大于k； (D) 不一定等于k，与L2的形状有关.

（03电子科大高等数学竞赛试题）

9、设

{(x,y,z)R3|a2x2y2z0,a0}，S为的边界曲面外侧，计算

ISaxdydz2(xa)ydzdxx2y2z21（03电子科大高等数学竞赛试题）

10、设f(x,y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：

ffyxylim  dxdy2f(0,0)220xyD , 其中

xD为圆环域：2x2y21（03电子科大高等数学

竞赛试题）

11、设f有连续的一阶导数，则

(1,2)(0,0)f(xy)dxf(xy)dy …… …………………………………… （ B ）

(A)

2f(x) dx01； (B) 30f(x) dx； (C)

f(3)f(0)； (D) 0 . （04电子科大高等数学竞

赛试题）

12、设曲面S为曲线

I4zx dydz2z dzdx(1z2) dxdySzeyx0 (1y2) 绕z轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分

（04电子科大高等数学竞赛试题）

FF(yz,zx,xyg(x,y))13、一质点在力作用下沿曲线:AB运动。

AA(1,0,0),BB(2,3,3).已知g(x,y)dz1，求这个过程中F所作的功W。（大连市第九届大

学生数学竞赛试题）

32相交面

14、设空间曲线C是由立方体0x1,0y1,0z1的表面与平面构成，试计算

222222(zy)dx(xz)dy(yx)dxcxyz

（大连市第八届大学生数学竞赛试题）

14、计算曲线积分

I(3xysinx)dx(x2yey)dy,c2yx2x上以（０，，其中Ｃ是曲线

０）为始点，（４，８）为终点的曲线段

ydxxdycxy15、计算

，ｃ为xy1正向

33x2y2A1,21点的切线交y轴于B点，设l为从A到B的直线段，16、设椭圆49在试计算

siny3ycosylnx123x3dydxx1l。

ydxxdy(x1)2L:y2122xy，其中9的上半平面内部分，从点(2,0)到(4,0)。

17、求

Luf(rcos,rsin)df(x,y)018、设有二阶连续偏导数，，且

2222dud2uf(rcos,rsin)df(rcos,rsin)d220dr0rr，dr

d2udu1r2f12f11dr 的值。r， 求 dr（02年哈工大高等数学竞赛试卷）

19、证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大。（02年哈工大高等数学竞赛试卷）

20、设为八面体|x||y||z|1全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D）.

（A）

2ydydz0；（B）

y dydz0；（C）

2xdydz0；（D）

x dydz0.

(02电子科大高等数学竞赛试题)

7、[解]以L为边界任作两个光滑曲面S1,S2，它们的法向量指向同一例，为S1与S2所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则

S1S2，记S*S*S1S20，由高斯公式得

4x(x)4x0(PQR)dV0xyz，由



的任意性得

PQR02x(x)(1x2)'(x)xyz, 即

(1x2)'(x)2x(x)4x0解线性非齐次方程得(x)cx2c2.

x29、解：Sa2x2y2（下侧），S:y2a221:zz0（上侧），

0S2，

11

a21axdydz2(xa)dzdxSSS21S2S11a1S1SS22

1a21axdydz2(xa)ydzdx1S1S2a21a2(xa)dV

113aa21(3a2x)dV1432a4a213adVa2123aa21

ff10、解一：令xrcos，yrcos，rfxxrfyyrfxcosfysin，

rrxfxyfy。由

已知当r1时，f(cos,sin)0，

fIxfxyfyrrx2y2dxdyrdrd2d1fdr2DDr20r0f(rcos,rsin)|1d

20f(cos,sin)d20f(cos,sin)d

02f(cos*,sin*)，*[0,2]，故lim0I2f(0,0)

解二：令

Pyf(x,y)x2y2，

Qxf(x,y)x2y2，

ffyQPxyxyx2y2x

x

Dffyxydxdy22xy，令L1为x2222y21（逆时针），L2为xy（顺时针）

L1PdxQdyL2PdxQdy

L2:xcos,ysin

yf(x,y)dxxf(x,y)dyL1x2y2yf(x,y)dxxf(x,y)dyL2x2y2

L1yf(x,y)dxxf(x,y)dy12L2yf(x,y)dxxf(x,y)dy

02210(sin)(sin)coscosf(cos,sin)d

20**f(cos,sin)d2limf(cos,sin)0*，[0,2]

xlim0Dffyxydxdy2limf(cos*,sin*)2f(0,0)220xy。

12、[解1]S的方程为zex2y2(1x2y24)

22222S:ze(xy1,下侧)S:ze(xy4,上侧) 12补两平面

SS1S22zdV2Ve2ezdzd2ezln2zdz5e4e2eD(z)22

2

4zxdydz2zdzdx(1zS12)dxdy(1e2)dxdy(1e2)(e21)Dxy；

44(1e)dxdy4(1e);IS2DxySS1S2S1S252ee(e21)4(1e)22

432ee32

[解2]

I(4zx,2z,1z2)(zx,zy,1)dxdyD

eD2x2y24x22y1dxdydxdy2222xyDxy20de2r(4rcos22sin1)rdr(41)1213432ee322(D:1x2y24)