一元二次方程全章教案

第二十四章 一元二次方程 单元要点分析

教材内容

1．本单元教学的主要内容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用．

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

2

（4）通过用已学的配方法解ax+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公

222

式的条件：b-4ac>0，b-4ac=0，b-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别． 教学关键

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下： 22．1 一元二次方程 2课时 22．2 降次──解一元二次方程 7课时 22．3 实际问题与一元二次方程 4课时

- -

- 1 -

教学活动、习题课、小结 3课时

一元二次方程

第一课时

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标

2

了解一元二次方程的概念；一般式ax+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键

1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程． 问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？ 如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________． 整理、化简，得：__________．

2

问题（2）有一面积为54m的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

22

一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0（a≠0）后，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

- -

- 2 -

例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

2

分析：一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得：

2

40-16x-10x+4x=18

2

移项，得：4x-26x+22=0

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

2

例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

22

分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）+（x-2）（x+2）=1化成ax+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括号，得：

22

x+2x+1+x-4=1

2

移项，合并得：2x+2x-4=0

2

其中：二次项2x，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4． 三、巩固练习

教材P32 练习1、2 四、当堂测试

22

例3．求证：关于x的方程（m-8m+17）x+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

2

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m-8m+17•≠0即可．

22

证明：m-8m+17=（m-4）+1

2

∵（m-4）≥0

22

∴（m-4）+1>0，即（m-4）+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

2

对于学习困难的学生，难度可以降低，把系数改为m+1 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握：

2

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 六、布置作业

1．教材P34 习题22．1 1、2．

一元二次方程

第二课时

教学内容

1．一元二次方程根的概念；

2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键

1．重点：判定一个数是否是方程的根；

2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

教学过程

- -

- 3 -

一、复习引入

学生活动：请同学独立完成下列问题．

问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？

810

设梯子底端距墙为xm，那么，

根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________．

列表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 „ 2

问题2．一个面积为120m的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________．

列表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？

22

老师点评：（1）问题1中x=6是x-36=0的解，问题2中，x=10是x+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

2

回过头来看：x-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

2

例1．下面哪些数是方程2x+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2

2x+10x+12=0的两根．

例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

222

（1）x-64=0 （2）3x-6=0 （3）x-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．

2

解：（1）移项得x=64

根据平方根的意义，得：x=±8 即x1=8，x2=-8

2

（2）移项、整理，得x=2 根据平方根的意义，得x=±2

- -

- 4 -

即x1=2，x2=-2 （3）因为x-3x=x（x-3）

2

所以x-3x=0，就是x（x-3）=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3 三、巩固练习

教材P33 思考题 练习1、2． 四、应用拓展

2

例3．要剪一块面积为150cm的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm，则宽为（x-5）cm

2

列方程x（x-5）=150，即x-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．

（2）完成下表：

x 22

10 11 12 13 14 15 16 17 „ x-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？ 2

分析：x-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根． 解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．

2

x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x-5x-150=-100，也不可能．

（2）

x 2 10 11 12 13 14 15 16 17 „„ 26 54 „„ x-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 （3）铁片长x=15cm

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：

（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处； （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；

（3）要会用一些方法求一元二次方程的根． 六 当堂测试

一、选择题 （18分）

1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=

1122

C．x1=a，x2= D．x1=a，x2=b aa 3．已知x=-1是方程ax+bx+c=0的根（b≠0），则2

ac． =（ ）

bb A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题

22

1．如果x-81=0，那么x-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

2

2．已知方程5x+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

- -

- 5 -

=0，那么方程的根x1=______；x2=________． 综合运用5、6、7

直接开平方法

- -

- 6 -

3．方程（x+1）+2x（x+1） 七、布置作业

1．教材P34 复习巩固3、4 八、课后反思

2

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

2

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移

2

到解a（ex+f）+c=0型的一元二次方程． 重难点关键

2

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

22

2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）=n（n≥0）的方程． 教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

22222

（1）x-8x+______=（x-______）；（2）9x+12x+_____=（3x+_____）；（3）x+px+_____=（x+______）2

．

问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几

2

秒后△PBQ的面积等于8cm？

CQAwww.czsx.com.cn 老师点评：

PB 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm 则PB=x，BQ=2x 依题意，得： x=8

根据平方根的意义，得x=±22 即x1=22，x2=-22 可以验证，22和-22都是方程2

2

p2p） ． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 22

所以22秒后△PBQ的面积等于8cm． 二、探索新知

上面我们已经讲了x=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）

2

2

=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？

- -

- 7 -

（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为t1=2-2

11，t2=-2- 22 例1：解方程：x+4x+4=1 22

分析：很清楚，x+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）=1．

2

解：由已知，得：（x+2）=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

2

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后

2

人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x） 解：设每年人均住房面积增长率为x，

2

则：10（1+x）=14.4

2

（1+x）=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、巩固练习 教材P36 练习． 四、应用拓展

例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的

2

营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．

2

那么1+（1+x）+（1+x）=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得：

1232

）=2.56，即（x+）=2．56 22333 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6

222 （1+x+

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%． 五、归纳小结 本节课应掌握：

- -

- 8 -

由应用直接开平方法解形如x=p（p≥0），那么x=±（p≥0），那么mx+n=±2

p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p

p，达到降次转化之目的．

六、布置作业

1．教材P45 复习巩固1、2． 2．选用作业设计:

七、当堂测试 一、选择题

22

1．若x-4x+p=（x+q），那么p、q的值分别是（ ）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2

2

2．方程3x+9=0的根为（ ）．

A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 3．用配方法解方程x-2

2x+1=0正确的解法是（ ）． 3 A．（x-

128122）=，x=± 3933 B．（x-

128）=-，原方程无解 392252525）=，x1=+，x2=

93333 C．（x-

D．（x-

2251）=1，x1=，x2=-

333 二、填空题 （9分）

2

1．若8x-16=0，则x的值是_________．

2

2．如果方程2（x-3）=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足3a4+b-12b+36=0，那么ab的值是_______．

2

三、综合提高题（10分）

2

1．解关于x的方程（x+m）=n．

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．

2

（1）鸡场的面积能达到180m吗？能达到200m吗？

2

（2）鸡场的面积能达到210m吗？ 八、课后反思

配方法

第1课时

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程． 教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

- -

- 9 -

通过复习可直接化成x=p（p≥0）或（mx+n）=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重难点关键

2

1．重点：讲清“直接降次有困难，如x+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们解下列方程

222

（1）3x-1=5 （2）4（x-1）-9=0 （3）4x+16x+16=9

22

老师点评：上面的方程都能化成x=p或（mx+n）=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±2

22

． p或mx+n=±p（p≥0）

2

如：4x+16x+16=（2x+4）

二、探索新知

列出下面二个问题的方程并回答：

（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”． 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的

1的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总8数是多少？你能解决这个问题吗？

问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的

2

道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m，道路的宽为多少？

www.czsx.com.cn 老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得： x=（

2

12

x）+12 8 整理得：x-64x+768=0

问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500

2

整理，得：x-36x+70=0

（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有． （2）不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

2

x-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768

两边加（

6422222

）使左边配成x+2bx+b的形式 → x-64x+32=-768+1024 22

左边写成平方形式 → （x-32）=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16

- -

- 10 -

可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子． 学生活动：

2

例1．按以上的方程完成x-36x+70=0的解题．

老师点评：x-36x=-70，x-36x+18=-70+324，（x-18）=254，x-18=±254，x-18=254或

2

2

2

2

x-18=-254，x1≈34，x2≈2．

可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x的方程

22

（1）x+2x-35=0 （2）2x-4x-1=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

2222

解：（1）x-2x=35 x-2x+1=35+1 （x-1）=36 x-1=±6 x-1=6，x-1=-6 x1=7，x2=-5

2

可以，验证x1=7，x2=-5都是x+2x-35=0的两根．

112

=0 x-2x= 2222123 x-2x+1=+1 （x-1）=

22 （2）x-2x-2

x-1=±666即x-1=，x-1=- 222 x1=1+66，x2=1- 2266，x2=1-都是方程的根．

22 可以验证：x1=1+

三、巩固练习

教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材P39 练习1 2．（1）、（2）． 四、应用拓展

例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．

APCQB

www.czsx.com.cn 分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：

2

111（8-x）（6-x）=³³8³6 222- -

- 11 -

整理，得：x-14x+24=0

（x-7）=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、当堂测试 一、选择题（9分）

2

1．将二次三项式x-4x+1配方后得（ ）．

2222

A．（x-2）+3 B．（x-2）-3 C．（x+2）+3 D．（x+2）-3

2

2．已知x-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．

2222

A．x-8x+（-4）=31 B．x-8x+（-4）=1

222

C．x+8x+4=1 D．x-4x+4=-11

2

3．如果mx+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9

二、填空题 （9分）

2

1．方程x+4x-5=0的解是________．

2

x2x2 2．代数式的值为0，则x的值为________．

x213．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______． 七、布置作业

1．教材P45 复习巩固2

配方法

第2课时

教学内容

给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键

1．重点：讲清配方法的解题步骤．

2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

（学生活动）解下列方程：

22

（1）x-8x+7=0 （2）x+4x+1=0

老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．

2222

解：（1）x-8x+（-4）+7-（-4）=0 （x-4）=9 x-4=±3即x1=7，x2=1

- -

- 12 -

（2）x+4x=-1 x+4x+2=-1+2 （x+2）=3即x+2=±3 2

2222

x1=3-2，x2=-3-2 二、探索新知

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1．解下列方程

222

（1）x+6x+5=0 （2）2x+6x-2=0 （3）（1+x）+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

2

解：（1）移项，得：x+6x=-5

2222

配方：x+6x+3=-5+3（x+3）=4

由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

2

（2）移项，得：2x+6x=-2

2

二次项系数化为1，得：x+3x=-1 配方x+3x+（

2

3232325）=-1+（）（x+）= 2224 由此可得x+

355353=±，即x1=-，x2=-- 2222222

（3）去括号，整理得：x+4x-1=0 2

移项，得x+4x=1

2

配方，得（x+2）=5

x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2 三、巩固练习

教材P39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、应用拓展

2

例2．用配方法解方程（6x+7）（3x+4）（x+1）=6

2

分析：因为如果展开（6x+7），那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）

2

=y，其它的3x+4=

2

1111（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，

6622我们把它称为换元法．

解：设6x+7=y 则3x+4=

1111y+，x+1=y-

662211112

依题意，得：y（y+）（y-）=6

6622 去分母，得：y（y+1）（y-1）=72

2242

y（y-1）=72， y-y=72

2

12289）= 241721 y-=± 22 （y-2

- -

- 13 -

y=9或y=-8（舍） ∴y=±3

当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-

22

2 35 3 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根为x1=-

25，x2=-

33 五、归纳小结

本节课应掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 六、布置作业

1.教材P45 复习巩固3． 2.作业设计 一、选择题

4x-2=0应把它先变形为（ ）． 312822

A．（x-）= B．（x-）=0

3931281210 C．（x-）= D．（x-）=

3939 1．配方法解方程2x-2

2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）． 22

A．x+1=0 B．（2x+1）=0 C．（2x+1）+3=0 D．（

2

2

22

12

x-a）=a 2 3．已知x+y+z-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）． A．1 B．2 C．-1 D．-2 二、填空题

2

1．如果x+4x-5=0，则x=_______．

22

2．无论x、y取任何实数，多项式x+y-2x-4y+16的值总是_______数．

2

3．如果16（x-y）+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y-18y-4=0 （2）x+3=23x 2

2

2．已知：x+4x+y-6y+13=0，求

22

x2y的值． 22xy四、学生演示讲解，教师点评，评分并小结

五当堂测试 （10分）

．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

- -

- 14 -

六教师小结、

配方法的步骤

1 2 3 4 七作业布置

A组2、4题，练习册本节知识 八课后反思

公式法

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

2

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键

1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．

2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）用配方法解下列方程

22

（1）6x-7x+1=0 （2）4x-3x=52

2

（老师点评） （1）移项，得：6x-7x=-1

71x=-

6672172 27 配方，得：x-x+（）=-+（）

6612127225 （x-）=

14412755775x-=± x1=+==1 1212121212 二次项系数化为1，得：x-2

- -

- 15 -

x2=-

57751+== 1212126 （2）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

2

（4）原方程变形为（x+m）=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知

2

如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

bb24ac 问题：已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，2a2

2

bb24acx2=

2a 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

2

解：移项，得：ax+bx=-c

bcx=- aab2cb2 2b 配方，得：x+x+（）=-+（）2a2aaa 二次项系数化为1，得x+

2

b2b24ac 即（x+）=

2a4a2 ∵b-4ac≥0且4a>0

2

2

b24ac ∴≥0 24abb24ac 直接开平方，得：x+=± 2a2abb24ac 即x=

2abb24acbb24ac ∴x1=，x2=

2a2a 由上可知，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

2

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代

2

bb24ac入式子x=就得到方程的根．

2a

- -

- 16 -

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x

2

（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2

-3x+1=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2

-4³2³（-1）=24>0

x=(4)24224264262 ∴x26261=2，x2=2 （2）将方程化为一般形式 3x2

-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2

-4³3³（-2）=49>0

x=(5)4957236 x=-

11=2，x23 （3）将方程化为一般形式

3x2

-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2

-4³3³9=13>0

∴x=

(11)131113236 ∴x11131=6，x11132=6 （3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2

-4³4³1=-7<0

因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P42 练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm22+（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？

分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2

+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．

- -

- 17 -

（2）要使它为一元一次方程，必须满足:

m211m210m10①或②或③

(m1)(m2)0m20m20 解：（1）存在．根据题意，得：m+1=2

2

m=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）

2

∴当m=1时，方程为2x-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

22

b-4ac=（-1）-4³2³（-1）=1+8=9 x=2

(1)913 2241 21． 2 x1=，x2=-

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m+1=1，m=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

2

②当m+1=0，m不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-2

2

1 31． 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-

五、归纳小结 本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程；

（4）初步了解一元二次方程根的情况 六当堂测试（9分）

2

1．一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．

2

2．当x=______时，代数式x-8x+12的值是-4．

22

3．若关于x的一元二次方程（m-1）x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 七、布置作业

1．教材P45 3、4．题

八、课后反思

- -

- 18 -

实际问题与一元二次方程(1)

教学内容

由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题． 教学目标

掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键

1．重点：用“倍数关系”建立数学模型

2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程

一、复习引入

（学生活动）问题1：列方程解应用题

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：

星期 一 甲 乙 12元 二 三 四 五 13.75元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？

老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．

x1000(股)0.5x(0.2)y200 则 解得

y1500(股)0.4x0.6y1300 答：（略）

二、探索新知

上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．

（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）

2

+（1+x）x=（1+x），那么就很容易从第一季度总台数列出等式．

- -

- 19 -

解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）•=3.31

2

去括号：1+1+x+1+2x+x=3.31

2

整理，得：x+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略）

以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．

例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系． 解：设平均增长率为x

2

则200+200（1+x）+200（1+x）=950

2

整理，得：x+3x-1.75=0 解得：x=50%

答：所求的增长率为50%． 三、巩固练习

（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________． 四、应用拓展

例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x²80%；第二次存，本金就变为1000+2000x²80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+2000x²80%+（1000+2000x²8%）x²80%=1320

22

整理，得：1280x+800x+1600x=320，即8x+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

2

1=0.125=12.5% 8 答：所求的年利率是12．5%． 五、归纳小结 本节课应掌握：

利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它 六、填空题

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________． 3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．

七、布置作业

1．教材P53 复习巩固1 综合运用1．

- -

- 20 -

2．选用作业设计．

八、课后反思

实际问题与一元二次方程(2)

教学内容

建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标

掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键

1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．

2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．

问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润³总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+

x³100） 0.1100x）=120 0.1 解：设每张贺年卡应降价x元 则（0.3-x）（500+

解得：x=0.1

答：每张贺年卡应降价0.1元． 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．

例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；

0.30.75100，从这些数目看，0.10.2534•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元， 则：（0.75-y）（200+

y³34）=120 0.25- -

- 21 -

即（

3-y）（200+136y）=120 42

整理：得68y+49y-15=0 y=

496481

268 ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） y≈0.23元

答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．

（学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 老师点评：

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大．

相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

2

依题意，得5000（1-x）=3000

解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为y．

2

则：6000（1-y）=3600

2

整理，得：（1-y）=0.6 解得：y≈0.225

答：两种药品成本的年平均下降率一样大．

因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 三、巩固练习

新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5³10kg． （2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）³销售量[500-10（x-50）] （3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过润达到8000元，销售单价应为多少．

10000=250kg，在这个提前下，•求月销售利40- 22 -

- -

解：（1）销售量：500-5³10=450（kg）；销售利润：450³（55-40）=450³15=6750元

2

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意． 当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）． 五、归纳小结 本节课应掌握：

建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

六当堂测试 （10分）

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月

份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，

每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

七、布置作业

1．教材P53 复习巩固2 综合运用7、9．

：

八课后反思

实际问题与一元二次方程(3)

教学内容

根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标

掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．

- -

- 23 -

重难点关键

1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？

5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知

现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．

2

例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

3

（2）如果计划每天挖土48m，需要多少天才能把这条渠道挖完？

分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为xm

则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得：

1（x+2+x+0.4）x=1.6 2 整理，得：5x+6x-8=0 解得：x1=

2

4=0.8m，x2=-2（舍） 5 ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m． （2）

1.6750=25天 48 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？

九 年级 练数 学 习同步

老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．

- -

- 24 -

因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 所以（27-18x）（21-14x）= 整理，得：16x-48x+9=0 解方程，得：x=

2

1，则中央矩形的面积是封面面积的． 43³27³21 4633， 4 x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm． 三、巩固练习

有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺） 四、应用拓展 例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．

2

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm．

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA

2

边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：

DQCQ） ABACCCQQDPAA(a)B(b)

www.czsx.com.cn2www.czsx.com.cn 分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次

方程的数学模型．

2

（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．

2

解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm． 则：

PB1（6-x）²2x=8 22

整理，得：x-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 ∴经过2秒，点P到离A点1³2=2cm处，点Q离B点2³2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1³4=4cm处，点Q离B点2³4=8cm处，所以它们都符合要求．

（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有 ∵AB=6，BC=8

DQCQ ABAC- -

- 25 -

∴由勾股定理，得：AC=6282=10 6(2y8)6(y4)

10516(y4) 则：（14-y）²=12.6

52 ∴DQ=

整理，得：y-18y+77=0

解得：y1=7，y2=11

即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），

2

使△PCD的面积为12.6cm．

经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10， ∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解y1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握：

利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 六、综合提高题

1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度（精确到0.1m）

2

2

CF1DE1）=，迎水坡度

BF2AE1DCA

七、布置作业 A组1、2、3题B组1题 1

实际问题与一元二次方程(4)

教学内容

运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题． 教学目标

掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 重难点关键

1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 2．难点与关键：建模． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

EFB

www.czsx.com.cn- -

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（老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 二、探究新知

我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度³时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题．

2

例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）•之间的关系为：•s=10t+3t，那么行驶200m需要多长时间?

分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200•代入求关系t的一元二次方程即可．

22

解：当s=200时，3t+10t=200，3t+10t-200=0

20（s） 320 答：行驶200m需s．

3 解得t=

例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为

200=10m/s，那么根据：路程2=速度³时间，便可求出所求的时间．

（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．

（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．•由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度³时间，便可求出x的值．

解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是 那么从刹车到停车所用的时间是

200=10（m/s） 225=2.5（s） 1020=8（m/s） 2.5 （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是

（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为 所以x（20-4x）=15

2

整理得：4x-20x+15=0 解方程：得x=20(208x)=（20-4x）m/s

2510 2 x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s． 三、巩固练习

（1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）

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（2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s） 四、应用拓展

例3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，•在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：•小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．

（1）小岛D和小岛F相距多少海里?

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，•那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）

ADBEFC www.czsx.com.cn 分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．

（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求． 解：（1）连结DF，则DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里． ∴AC=2AB=2002海里，∠C=45° ∴CD=

1AC=1002海里 2 DF=CF，2DF=CD ∴DF=CF=

22CD=³1002=100（海里） 22 所以，小岛D和小岛F相距100海里．

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程

222

x=100+（300-2x）

2

整理，得3x-1200x+100000=0 解这个方程，得：x1=200-1006≈118.4 3 x2=200+

1006（不合题意，舍去） 3 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里． 五、归纳小结 本节课应掌握：

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运用路程＝速度³时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．． 六、当堂测试

一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来． （1）小球滚动了多少时间?

（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?

（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 七、 布置作业

A组2、3题 练习册本节课知识 八、课后反思

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