《函数的极值》教学设计-【名师经典教学设计课件】

追求卓越

普通高中课程标准实验教科书（选修2-2）

《函数的极值》教学设计

超越自我·争创辉煌

3．1．2函数的极值

一、教材分析：

本课取自普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2·北京师范大学出版社）第三章《导数的应用》第一节、第2课时《函数的极值》，所需课时为1课时。 1.地位和作用

本节内容是导数在研究函数性质方面的应用的继续深入，它是上一节的继续并为下节做准备，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别方法，就为学生下一节学习函数最大、最小值的判定铺平了道路。 2.教学目标 （1)认知目标：

①能发现函数f(x)在xx0处的函数与其附近点的函数值的关系；

②能说出函数f(x)在xx0处的导数值；

③能发现函数f(x)在xx0处的左右的导数值的特征. （2）能力目标：

①能从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用； ②会正确判断极值点附近的导数值的正负号； ③能正确的求出极值. （3）德育目标：

①提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力； ②渗透数形结合的数学思想。 ③算法思想的应用 3.教学重点、难点

重点:正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法，并能灵活

应用。

难点:灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，渗透用数形结合的思想

方法去分析和解决问题。

二、教法：启发、探究、合作式

三、学法：数形结合法，归纳总结法，化归法 四、教具：课件，投影仪，直尺 五、教学过程：

（一）情景导入（投影出一幅山脉图片）

观察图片并动态演示人物登山的过程.让学生观察登山过程中人从P到Q再到R的图像变化趋势、及P、Q、R的位置特点.

Q R P

由此引出课题（板书）

设计意图：让学生从生活中发现数学、发现生活中所蕴含的数学知识，激发学

生的求知欲望。

（二）、新课探究

1、阅读活动

阅读课本第59页的内容并思考以下问题： (1)极值是否为函数的最值? (2)极值点能为区间端点吗? （3极大值比极小值大吗?

(4)在区间上的单调函数是否有极值?

设计意图：通过对教材的阅读让学生带着问题去思考、去理解概念、去体会、 去领悟。

2、探究活动一

如图，是函数y=f(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是 极大值点,哪些是极小值点？

o a x1 x2 x3 x4 b x f(x4) f(x1) y

强调：（1）极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

（2）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

（3）函数极值是的一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的

点而言的.

设计意图：通过函数图像结合阅读的教材从“数”与“形”上直观的理解极值

与极值点的定义。

3、定义解读

一般地，设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值，x0称为极值点。

设计意图：通过对定义的再次解读，让书上的知识真正的变成自己所知识。 4、拓展延伸

（1）下列四个函数中，在x=0处取得极值的函数是 ( )

①y=x3 ； ②y=x2+1 ；③y=|x| ； ④y=2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ （2）能否用图像得出函数f(x)2x33x236x5 的极值点?

教师：上面我们都是通过图像来判断函数的极值点与极值，即从“形”上考

虑，那么能否从“数”上对其进行求解呢？（引导学生对上述问题（2）与导数与单调性的关系进行联系）

设计意图：通过题（1）对基本初等函数的图像分析让学生从“形”上直观的判

断什么样的函数存在极值，通过题（2）引出能否从“数”上求解极值有关问题。起到承上启下的作用。

5、探究活动二

复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.

观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?

y y=f(x) y y=f(xo a x0b x o a x0b x

由上图可以看出，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0，x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0，同理，如下右图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0。 教师：从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固

导数与函数单调性之间的关系）：

若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，

f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，

f(x0)f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，是极小值。能否用表格的形式来表示极值问题. 用表格可表示为:

x

(a,x0)） x0 (x0,b) x (a,x0) x0 (x0,b) f(x) + 0 _ f(x) _ 0 + yf(x) 增加 极大值 减少 yf(x) 减少 极小值 增加 总结：导数值xx0左正右负此时f(x0)为极大值，右正左负f(x0)为极小值 教师：刚才我们分别从“形”和“数”上对函数的极值点与极值进行了探究，

接下来我们就一起来利用我们所探讨出来的知识，解决一些计算问题。 设计意图：通过图像以及导数的几何意义两方面来理解与补充判断极值的方法. （三）例题探究

例２ 求函数f(x)2x33x236x5的极值点. 教师：如何求函数yf(x)极值点

学生：求导，再判断导数在某点左右的符号，左正右负此点为极大值点，反之则为极小值点.

教师：（规范书写）并对上式变形为“如何求函数yf(x)的极值？” 学生：只需求出极值点对应的函数值。

教师：通过上题的求解你们能总结出求解函数的极值的步骤？ 学生：尝试着回答，其它学生进行补充. 学生：求函数极值的步骤是：

1.确定函数的定义域. 2.求导数f(x). 3．解方程f(x0)0

4．对于方程f(x0)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号

（即f(x)的单调性），确定极值点:

①若 f(x)在x0两侧的符号 “左正右负”,则x0为极大值点; ②若 f(x)在x0两侧的符号 “左负右正”,则x0为极小值点; ③若 f(x)在x0两侧的符号同号,则x0不是极值点.

强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右两侧导

数的符号的正负.

设计意图：通过对例题和变式的分析对函数极值的求解的规范书写与方法的总

结。

（四）课堂练习

1、求下列函数的极值

(1)f(x)3xx3；（2）f(x)x48x318x21.

2、若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值 （1）求函数yf(x)的解析式；（2）求函数f(x)的极大值.

（五）反思小结，理性升华 （1）知识方面

①极值点和极值的定义；几何方法————从“形”上入手————直观

代数方法————从“数”上入手————精确

②极值点与极值的判断

43 ③求函数极值的步骤.

（2）思想方法方面 ①数形结合思想

②算法思想

（六）作业布置 1．课堂作业：

课本第62页 习题3-1 A组 NO.2 2．课外作业：

①请同学们合作设计求解函数极值的一个算法，并用框图表示；

②请同学们翻阅资料或上网查询“函数在某点处的导数不存在，函数在这点处能取到极值吗？”.

六、教学反思

本节的教学内容是函数的极值,以上一节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.在教学过程中要求学生用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课是一堂概念教学课，因而在概念的教学上花了较多的时间从“形”与“数”来对极值概念进行论述，学生能较好的接受，但在例题解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率不高,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,因此这方面在今后的教学过程中还需要进一步加强训练。

个人教学设计模板：

个人教学设计 课题名称：正视发展挑战 工作单姓名 位 教材版年级学科 九 本 一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容的重要性） 本课所依据的课程标准的相应部分一是 “课程目标”，具体对应的内容标准是:“体会生态环境与人类生存的关系，爱护环境，形成勤俭节约、珍惜资源的意识”;“掌握爱护环境的基本方法，形成爱护环境的能力”;“理解人类生存与生态环境的相互依存关系，认识当今人类所面临的生态环境问题及其根源，掌握环境保护的基础知识”。 本课所依据的课程标准的相应部分二是“成长中的我”中的“自尊自强”。具体对应的内容标准是:“认识生命形态的多样性，理解人类生命离不开大自然的哺育。” 本课所依据的课程标准的相应部分三是“我与国家和社会”中的“认识国情，爱我中华”与“法律与秩序”。具体对应的内容标准是:“知道我国的人口、资源、环境等状况，了解计划生育、保护环境、合理利用资源的政策，形成可持续发展意识”; 二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并细化为本节课的具体要求，目标要明晰、具体、可操作，并说明本课题的重难点） 1. 了解我国人口和资源环境的现状及特点，认识人口和资源环境问题对我部编 国经济和社会发展的影响，明确我国面临严峻的人口、资源和环境问题; 2. 收集整理我国人口、资源、环境方面的材料，提高自己的认识，积极宣传计划生育基本国策，以实际行动保护资源环境; 3. 体会人口和环境问题对于人类发展的影响，理解计划生育和保护环境的必要性和重要性，树立计划生育和保护资源环境的观念; 三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况，如何设计预习） 到了初中阶段，随着学生年龄的增长和认知水平的提高，要把握人口、资源、环境国情和相关政策，课程与现实生活都对学生提出了更高的要求。(义务教育思想品德课程标准(2011年版》有更明确的规定，要求学生增强环境保护意识，形成可持续发展意识，自觉履行保护环境的义务。中学生应了解和学习党和国家有关生态文明建设的路线、方针、政策，知道关于生态文明建设的理论观点，比如，“婴像保护眼睛一一样保护生态环境”“绿水青山就是金山银山”“永续发展”“绿色道路”“美丽中国” 等相关内容。 青少年是祖国的未来和民族的希望，其整体索质决定着国家未来的发展方向。中学生处于人生的特殊阶段，处于生态文明价值观形成的关键期，他们在人口、资源和环境等方面的认知水平和行为选择能力，需要正确引领并促使其转化为建设美丽中国的积极力量。当前，因为家庭教育、学校教育和社会宣传等方面存在真空、缺失或者不力的地方，部分学生在日常生活、研学旅行、参观访问等活动中，还存在着浪费资源、破坏环境等生态意识淡薄的行为。加大对中学生资源环境国情教育和生态意识培育的力度，增强青少年对环境的忧患意识，引导学生持续关注生态文明建设，促进人与自然和谐共生，是建设美丽中国、实现中华民族永续发展不可或缺的重要一环， 也是促进中学生全面发展和核心素养培育的内在要求。 四、教学过程（设计本课的学习环节，明确各环节的子目标，画出流程图） 导入新课——新课探究——课堂小结——随堂训练 五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点） 教师活动 近年来，尽管生态环境状况明显好转，但要达到“污染物排放总量大幅减少，生态环境质量总体改善”的目标，大气、水、土壤治理……还有一场场硬仗要打。中央环保督察、“水十条”“土十条”、史上最严环保法……在已有举措基础上，2018年新亮相的环保税、新扩围的水资源税试点、新修订的水污染防治法等措施，向世界展现中国坚决打赢污染防治攻坚战的决心和信心，无疑将思考：“还有一场场硬仗要打”给我们什么警示？ 预设学生活动 设计意图 一、导入新课 成为今年全国两会关注的焦点。 教师总结：我国还面临着严峻的资源环境形势，要直面发展挑战，采取切实措施解决问题。 这节课我们就一起来探讨环保问题。 目标导学一：发展中的人口问题 2．问题：3．教师总结：我国是世界上人口最多的国家，这是我国社会主义初级阶段的重要国情。人口基数大，人口素质偏低，是我国人口现状的基本特点。我国人口状况还呈现出增速趋缓、出生率低、老龄化加剧、男女性别(一)我国人口的基本特点 1．阅读教材第75－76页“探究与分享”。 阅读材料，分析数据，从国民受教育程度看，你认为我国人口文化素质的基本状况如何？对我国经济社会有何影响？ (二)人口问题始终是我国面临的全局性、长期性、战略性问题 二、新课讲授 比失衡、城乡分布不均思考：对人口问题的衡、“独生子女”社会问严峻性，你是怎么认识题凸显等一系列新的特的？ 点。 1．材料呈现：研究表明，中国城镇化进程的加速推进，带来人类历史上最大规模的人口迁移，人口过度集中于东南沿海等经济发达地区，给流入地的资源、环境、住房、交通、劳动力成本等带来了一系列挑战——“交通拥堵”“停车难”“房价飞涨”“入园入托难”“垃圾围城”等“大城市病”日益严重，也给流出地带来了人才流失、空巢家庭、留守家庭等社会问落实什么基本国策？对这题。 一国策你有什么认识？ 23．师生共同总结：(1)人口问题已经成为 (三)计划生育基本国策必须长期坚持 问题：这样做有利于一个日益严峻的全球性问题，成为人类社会面临的重大挑战之一。人口问题加重了资源和环境的压力，也带来了严重的社会问题。(2)人口问题始终是我国面临的全局性、长期性、战略性问题。在未来相当长时期内，我国人口众多的基本国情不会根本改变，人口对经济社会发展的压力不会根本改变，人口与资源环境的紧张关系不会根本改变。计划生育基本国策必须长期坚持。 1．材料展示：为鼓励市民按政策生育，解决“生得起、生得好”的问题，湖北省襄阳市政府办下发通知，将围绕孕前、孕期、分娩到分娩后全生育过程，为符合国家生育政策的孕产妇提供七项免费基本医疗保健服务，全面实施基本生育服务免费制度。 3．师生共同总结：(1)实行计划生育，就是要控制人口数量，提高人口素质。我国实行计划生育以来累计少生四亿多人，有效地缓解了人口对资源、环境的压力，有力地促进了经济发展与社会进步。计划生育基本国策必须长期坚持。(2)生育要有计划，但计划并非一成不变，而要随着人口和经济社会发展形势的变化不断完善。 结合教材第80页了解作业 三、作业布置 “拓展空间”内容，制作向社区居民宣传土壤保护重要意义的手抄报一份，并互相交流。 通过这节课的学习，我们对我国的人口问题、资源问题和环境问题有了大致的了解，知道了我国面临严峻的形势，人口问题始终是我国面临的全局性、长期性、战略性问题，在未来相当长时期内不会互动、查漏补缺 改变。知道了我国资源环境面临严重危机，资源问题严重影响经济的可持续发展，使经济发展的空间和后劲也会越来越小。知道了环境恶化加剧自然灾害的发生，严重破坏生态平衡，威胁着人民的生命安全四、课堂总结 和身体健康。明确了坚持绿色发展，走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，是我国的必然选择。 六、教学板书（本节课的教学板书）