1、三角形中的特殊位置(四心)所满足的向量方程:
(1)重心满足的向量方程: ;
(2)内心满足的向量方程: 或 ;
(3)外心满足的向量方程: ;
(4)垂心满足的向量方程: ;(斜三角形中)
2、已知 是 所在平面上的一点,若 ,则 是 的垂心。
3、若 为 的外心,若 为 的重心,若h为 的垂心,则o,g,h三点共线,且 , ,若o为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:
, 。
4、已知 是 所在平面上的一点,若 ,则 是 的外心。
5、点 为三角形 的重心的充要条件是对平面上的任意一点 , 。
6、 为 方向上与 同向的单位向量。
7、设 、 是直线 上两点,点 是 上不同于 、 的任意一点,且 ,则 。
特别地,当 时, (向量的中点公式)。
8、若 、 、 三点不共线,已知 ,则 、 、 三点共线的充要条件是 。
9、若 、 不共线,且 ,则必有 。
10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。
11、若直线 的方向向量为 ,则直线 的斜率与该向量的关系为 。
12、若 、 、 分别为 、 、 的中点,则 。
13、若向量 、 、 满足条件 ,且 ,则 为正三角形。
14、若 为 的重心,且 ,则 为正三角形。
15、三角形中一些特殊直线的向量表示:
(1) 是 的中线 ;
(2) 是 的高线 ;
(3) 是 的内角平分线 ;
(4) 是 的外角平分线 。
16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要排除夹角为0的情形;
两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要排除夹角为 的情形。
17、设 是 与 的夹角,则 称作为 在 方向上的投影。
。夹角
18、在平行四边形 中,若 则平行四边形 是菱形;
在平行四边形 中,若 ,则平行四边形 是矩形;
在平行四边形 中, (变形即中线定理)。
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