2018年咸阳市高考模拟考试试题（二）文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合A. 【答案】D 【解析】集合则故选D. 2. 设复数
（为虚数单位），的共轭复数为，则
（ ）
.
，
，
， B.
，则 C.
（ ） D.
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】复数所以故选A. 3. 函数
零点的个数为（ ）
.
.
.
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
在同一直角坐标系下，做出函数和的图象，如图所示.
函数
的零点等价于
的根等价于函数
和
的交点.
由图可知，有一个交点，所以有一个零点. 故选B.
4. 设向量和满足：，
，则
（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】C 【解析】由，平方得：，
.
两式相减得：，所以
.
故选C. 5. 圆关于直线
对称，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】圆关于直线对称， 所以圆心(1,1)在直线上，得
.
故选B. 6. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（A. B. C.
D.
）
【答案】C 【解析】双曲线
的渐近线为：
.
因为一条渐近线与直线平行，所以.
则它的离心率为故选C.
.
7. 已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体为棱长为4的正方体挖去半个圆柱，圆柱的底面半径为1，高为4.
则该几何体的体积为：4故选A.
8. 在正方形中随机投一点，则该点落在该正方形内切圆内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C
【解析】不妨设正方形的边长为2，则内切圆的半径为1， 正方形的面积为4，内切圆的面积为.
由几何概率的计算公式得：则该点落在该正方形内切圆内的概率为. 故选C.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
3
.
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 9. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】程序流程图执行如下： 首先初始化数据：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：此时跳出循环，输出本题选择B选项. 10. 已知实数，满足
，若
，则的最小值为（ ）
.
，进入循环体执行循环： ，不满足
，执行：
，执行：
； ；
；
，不满足，不满足，满足
，执行：，
A. B. 【答案】D
C. D.
【解析】
做出不等式的可行域，如图所示.
可以看作可行域内的点
由因为故选D.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 11. 已知个最高点，若
是函数
图象上的一个最低点，，是与相邻的两
，则该函数最小正周期是（ ）
，得，所以
.
到原点的距离的平方.
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由是函数点，则又由故选D.
12. 已知定义在上的函数则，的大小关系为（ ） A.
B.
C.
D. 无法确定 的导函数为
，且
，设
，
，
，所以，得
为等边三角形.
.即该函数最小正周期是6.
图象上的一个最低点，，是与相邻的两个最高
【答案】A 【解析】令即所以故选A.
点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；
，构造，构造，构造
; ； .等等.
，构造xf(x)；
在上为增函数.
，即
，整理得：
，即
.
，则
.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.
13. 平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，始边过点则
__________．
，
，
【答案】
【解析】角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，始边过点所以
.
故答案为：.
月份用水量（单位：百吨）： 14. 下表是某工厂月份 用水量
由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程则
__________．
，
【答案】
【解析】由表中数据可知：又
故答案为：5. 15. 已知函数【答案】 【解析】由函数又所以故答案为：4.
，所以.
，得
. .
，则
，所以
.
__________．
16. 一个正三棱锥的所有棱长均为，则它的外接球的表面积为__________． 【答案】
【解析】如图，构造正方体ANDM-FBEC.
因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为， 所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1，
所以该正方体的外接球的直径为，即半径为. 易知三棱锥A-BCD的外接球的半径为，
2
所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4π()=3π.
故答案为：.
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且
求解．
，一
般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列
的前项和为，且
.
（1）求，，； （2）求数列
的通项公式.
.
可得解；
【答案】（1），，；（2）【解析】试题分析：（1）分别令（2）当
时，
即可得解.
试题解析： （1）当当当综上（2）当当
时，时，时，，时，
，时，
，即，即. ， ，
， ，
，
是首项为公比为的等比数列，
中，四边形
. 为正方形，
平面
，
，是
，得
； ，得
，得
；
.
两式相减得整理得即数列
18. 如图，在四棱锥上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）若为的中点，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）易证得（2）由试题解析： （1）证明：连接又∴又∴
，平面，平面
. ，得
， ，由
，
， 平面
，
平面
得
，
和
，从而得证；
即可得解.
（2）解：由为的中点得
.
19. 针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持 岁以下 岁以上（含岁）
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人看成一个总体，从这人中任意选取人，求至少有一人年龄在岁以下的概率.
保留 不支持 （3）在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，
，
，
，，，，，，
，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体
概率.
平均数之差的绝对值超过【答案】（1）
；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由比上总人数等于30人比上持“不支持”态度的人数即可得解； （2）列树状图，用古典概型计算即可；
（3）先计算平均数，再列举出与总体平均数之差的绝对值超过试题解析：
（1）参与调查的总人数为持”态度的人数
中抽取了人，所以
，其中从持“不支
.
，），人（记为，事件按，作比即可得解.
（2）易得，抽取的人中，岁以下与岁以上人数分别为人（记为，），从这人中任意选取人，基本事件为：
其中，至少有人年龄在岁以下的事件有个，所求概率为. （3）总体的平均数为
那么与总体平均数之差的绝对值超过之差的绝对值超过
的概率为.
的数有
，
，
，
，所以任取个数与总体平均数
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
20. 已知，，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线【答案】（1）
【解析】试题分析：（1）设（2）设直线：得
试题解析： （1）设
，则依题意得
，整理得
（2）法1：设直线：
，即
依题意∴∴又即法2：设
，则
.
，则曲线在点处切线
：
，令
，得
，得，而
，即， ，得
，又.知
，
，
，与
，又
，
，所以有
，与，计算
相交于点，且
，求证：
.
；（2）证明见解析.
，则依题意得
联立得可证得.
，利用坐标表示化简可得解；
，由相切得
，进而
，即为所求轨迹方程. 联立得
， ，
，又
即
21. 已知函数（1）讨论函数（2） 若函数
.
，∴.知，
.
的单调性； 有最小值，记为
，关于的方程
有三个不同的实数根，
求实数的取值范围. 【答案】（1）当
时，
在
上递减，当
时，
在
上递减，在
上
递增；（2）.
，分，即
和
两种情况讨论即可；
，令
【解析】试题分析：（1）函数求导得（2）结合（1）中的单调性可得最值
，求导得单调性得值域即可.
试题解析： （1）当当
时，时，
，，即，则
在
和
是递增的，，
依题意得
.
是递减的，
，
，，知
， 在
上是递减的； ，知
在
上是递减的，在，即，
， ，
上递增的.
（2）由（1）知，方程令知
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.
选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系
中，曲线的方程是：
，以坐标原点为极点，轴正
半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程；
（2）设过原点的直线与曲线交于，两点，且
，求直线的斜率.
【答案】（1）【解析】试题分析：
；（2）.
（1）将直角坐标方程转化为极坐标方程可得曲线的极坐标方程为（2）法1：由圆的弦长公式可得圆心.
法2：设直线：可得直线的斜率为法3：设直线：法4：设直线：
到直线距离
.
，由几何关系可得直线的斜率为
（为参数），与圆的直角坐标方程联立，利用直线参数的几何意义.
，与圆的方程联立，结合圆锥曲线的弦长公式可得直线的斜率为，结合弦长公式可得圆心
.
到直线距离
.
，利用点到直线距离公
式解方程可得直线的斜率为试题解析： （1）曲线：将
，
，即代入得
，
曲线的极坐标方程为（2）法1：由圆的弦长公式如图，在直线的斜率为
中，易得.
. 及，可知
，得圆心
到直线距离
，
法2：设直线：（为参数），代入，整理得
中得
，KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...
由
得
，即
，
解得，从而得直线的斜率为
，代入，即
. 中得 ，
法3：设直线：
由得，即，
解得直线的斜率为.
法4：设直线：，则圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，
所以，解得直线的斜率为.
选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数（1）求（2）设【答案】（1）
的最大值；
，且
，求证：
.
.
；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）法1：零点分段可得函数的最大值
.
.
.
.当且仅当
法2：由三角不等式的性质可得函数的最大值为
法3：由绝对值不等式的几何意义知可得函数的最大值为（2）法1：由题意可知
，
，
时取等号，题中的命题得证.
，命题得证.
法2：由题意结合柯西不等式有
，即
试题解析： （1）法1：由
知
，即
.
法2：由三角不等式
法3：由绝对值不等式的几何意义知（2）法1：∵∴
当且仅当即法2：∵
∴由柯西不等式得整理得当且仅当
， ，即
，
，
.
，
，即
，
，，
.
得，即.
，即
.
时取等号，
，
时取等号.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
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