四川省成都市树德中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试题
题号 得分 一 二 三 总分 ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
评卷人 得分 一、选择题 本大题共6道小题。
1.
设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 2.
已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则( )
A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn 3.
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（x）在R上的表达式是( ) A．y=x（x﹣2） B．y=x（|x|﹣1） C．y=|x|（x﹣2）
D．y=x（|x|﹣2）
4.
汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )
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A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 5.
已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为( ) x 1 2 3 3 1 f（x） 2 x 1 2 2 3 1 g（x） 3 A．{1} B．{2} C．{3} D．∅ 6.
已知函数f（x）=
，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g
（x）恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A．（，+∞） 评卷人 B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
得分 一、填空题 本大题共5道小题。
7.
若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ．
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………线…………○………… ………线…………○…………
8.
设a、b＞0，a+b=5，则9.
已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为 ． 10. 函数f（x）=+的取值范围为 ．
在（﹣∞，﹣3）上是减函数，则a的取值范围是 ．
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………11. 函数的定义域是
评卷人 得分 二、解答题 本大题共4道小题。
12.
解下列关于x不等式．
（1）x2+x﹣1＜0 （2）≥．
13.
设二次函数f（x）=x2
+ax+b（a、b∈R） （1）当b=
+1时，求函数f（x）在上的最小值g（a）的表达式．
（2）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|≤． 14.
定义域为R的函数f（x）满足：对任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，有0＜f（x）＜1，f（4）=
（1）证明：f（x）＞0在R上恒成立； （2）证明：f（x）在R上是减函数；
（3）若x＞0时，不等式4f（x）f（ax）＞f（x2）恒成立，求实数a的取值范围． 15.
已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，C={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若CU（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．
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………线…………○…………
试卷答案
1.B
【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】数形结合；综合法；集合．
【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁UB）．
∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}， ∴∁UB={1，5，6}， 则A∩（∁UB）={1} 故选：B
【点评】本题主要考查Venn图表达 集合的关系和运算，比较基础． 2.B
【考点】函数与方程的综合运用． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1）， 不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x， sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确， sgn=sgnx，C不正确；D正确； 对于D，令f（x）=x+1，a=2， 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn=sgn（x+1）=；
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，f（x）是R上的增
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…
………线…………○………… ………线…………○…………
sgn=sgn（﹣x）=，
﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；
故选：B．
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 3.D
【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质，将x＜0，转化为﹣x＞0，即可求f（x）的表达式． 【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0， ∵当x≥0时，f（x）=x2
﹣2x， ∴f（﹣x）=x2+2x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），
∴f（x）=﹣x2
﹣2x=﹣x（x+2）=x（﹣x﹣2），（x＜0）， ∴y=f（x）=x（|x|﹣2）， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键． 4.D
【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】创新题型；函数的性质及应用．
【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，
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对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确． 【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题． 5.C
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案． 【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意． 当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意． 当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意． 故选C．
【点评】本题考查函数定义域、值域的求法． 6.D
【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】创新题型；函数的性质及应用．
【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x）， ∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x， 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
2
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
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当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥， 当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥， 故当b=时，h（x）=b，有两个交点， 当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=b恰有4个根， ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………则满足＜b＜2， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 7.﹣6或4
【考点】带绝对值的函数．
【专题】创新题型；函数的性质及应用．
【分析】分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6． 当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．
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当a≥﹣1时，f（x）=，
根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4． 综上可得，a=﹣6 或a=4， 故答案为：﹣6或4．
【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 8.（1+2
，3
]
【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】令y=法能求出
+
+
，则y2=（的取值范围． +
，
+
）2=9+2
=9+2
，利用配方
【解答】解：令y=则y2=（=9+2=9+2=9+2
∴当a=时，ymax=当a→0时，ymin→∴
+
+
）2=a+1+b+3+2
， =3
， =，3
=]．
=1+2
，
的取值范围为（1+2
，3
]．
故答案为：（1+2
【点评】本题考查函数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用． 9.{﹣1，0，1}
【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】阅读型．
【分析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可． 【解答】解：当a=0时，B=∅，B⊆A；
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………线…………○………… ………线…………○…………
当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1， 综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}． 故答案是{﹣1，0，1}．
【点评】本题考查集合的包含关系及应用． 10.（﹣∞，﹣）
【考点】函数单调性的性质． ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………【专题】函数的性质及应用． 【分析】分离常数便可得到f（x）=a﹣，根据f（x）为（﹣∞，﹣3）上的减函数，从而得到3a+1
＜0，这样即可得出a的取值范围． 【解答】解：
=
；
∵f（x）在（﹣∞，﹣3）上为减函数； ∴3a+1＜0； ∴
；
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣）． 故答案为：（﹣∞，﹣）．
【点评】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，以及图象沿x轴，y轴的平移变换． 11.{x|x≥﹣1且x≠2}
【分析】要使函数有意义，需要被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列出不等式组，求出解集即为定义域．
【解答】解：要使函数有意义，需使；
解得x≥﹣1且x≠2
故函数的定义域是{x|x≥﹣1且x≠2}. 12.
【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法． 【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）先求出方程的根，从头求出不等式的解集；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可．
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【解答】解：（1）令x+x﹣1=0，解得：x=故不等式的解集为：
＜x＜
；
2
，
（2）x＞0时，原不等式可化为： ≥∴
，
≥0，解得：x≥1或0＜x＜，
x＜0时，原不等式可化为： ﹣≥∴x＜0，
综上：不等式的解集是{x|x＜0或0＜x＜或x≥1}．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，熟练解不等式的解题过程是解题的关键，本题是一道基础题． 13.
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；
（2）设m＜x1＜x2＜m+1，m为整数．分类讨论k的存在性，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（1）当b=
+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，
+a+2；
，
当a≤﹣2时，函数f（x）在上递减，则g（a）=f（1）=
当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1； 当a＞2时，函数f（x）在上递增，则g（a）=f（﹣1）=
﹣a+2．
综上可得，g（a）=…
（2）设m＜x1＜x2＜m+1，m为整数． 则△=a2﹣4b＞0，即b＜
，
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………线…………○………… ………线…………○…………
①当﹣∈（m，m+]，即﹣1≤a+2m＜0时， f（m）=m2+am+b＜m2+am+
=（m+）2≤；
②当﹣∈（m+，m+1），即﹣2＜a+2m＜﹣1时， f（m+1）=（m+1）2+a（m+1）+b＜（m+2）2+a（m+1）+综上，存在整数k，使得|f（k）|≤．…
=（m+1+）2≤；
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 14.
【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用． 【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用赋值法，令m=2，n=0，求得f（0）的值，令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，得到0＜f（x）＜1，问题得以证明． （2）利用函数单调性的定义进行证明；
（3）利用函数的单调性化为具体不等式，再分离参数，即可求实数a的取值范围． 【解答】（1）证明：①令m=2，n=0，可得f（0+2）=f（0）f（2），∴f（0）=1 ②令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1， ∴f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）=1， ∵f（﹣x）＞1， ∴0＜f（x）＜1，
综上所述，f（x）＞0在R上恒成立．…
（2）证明：任取实数x1，x2，∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2， 则有x2﹣x1＞0，从而可得0＜f（x2﹣x1）＜1 又∵f（x2）=f=f（x1）f（x2﹣x1）＜f（x1） ∴f（x）在R上是减函数…
（3）令m=n=2可得f（2+2）=f（2）f（2）=，
∴f（2）=
∴4f（x）f（ax）＞f（x2）可化为f（x）f（ax）＞f（2）f（x2） ∴f（x+ax）＞f（2+x2）
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
∴x+ax＜2+x2， 从而当x＞0时，有a+1＜令h（x）=
=x+≥2
恒成立． ，从而可得a＜2
﹣1…
【点评】本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于中档题． 15.
【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】分类讨论．
【分析】利用因式分解法分别求出集合A，B，C，因集合C中含有字母A，所以要分类讨论①a＞0；②a=0；③a＜0，然后再根据交集、补集、子集的定义进行求解．
【解答】解：A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x＜﹣4，或x＞2}，A∪B={x|x＜﹣4，或x＞﹣2}， ∁U（A∪B）={x|﹣4≤x≤﹣2}，而C={x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}． （1）当a＞0时，C={x|a＜x＜3a}，显然不成立 （2）当a=0时，C=∅，不成立 （3）当a＜0时，C={x|3a＜x＜a}， 要使CU（A∪B）⊆C， 只需
，
即．
【点评】此题主要考查子集的定义及其有意义的条件和集合的交集及补集运算，另外还考查了分类讨论的思想，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要引起注意．
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