2018-2019 学年北京市通州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确答案，共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 1．若代数式 A．x＝2 2．若代数式 A．x＝0
有意义，则 x 的取值是（ ）
B．x≠2
C．x＝3
D．x≠﹣3
有意义，则 x 的取值是（ ）
B．x≠0
C．x≥0
D．x＞0
3．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文 化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图：过△ABC 的边 BC 上一点 D 作 DF∥AC，若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠FDB 的度数为 （ ）
A．40° B．60° C．100° D．120°
5．下列多边形中，内角和为 720°的图形是（ ） A．
B．
C．
D．
6．如图，两个三角形△ABC 与△BDE 全等，观察图形，判断在这两个三角形中边 DE 的对应边为 （ ）
Earlybird
A．BE B．AB C．CA D．BC
，这个点是（ ）
7．在一条数轴上四个点 A，B，C，D 中的一个点表示实数
A．A B．B C．C D．D
8．下列事件中，满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ） A．在 50 件同种产品中，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性相同 B．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6 点数朝上的可能性相同 C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同
D．口袋里有 5 个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，摸出每个球的可能性相同 二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 9．在括号内填入适当的整式，使分式值不变： 10．实数 的平方根是 11．
＝ ．
．
．
．
12．写出一个比 4 大且比 5 小的无理数： 13．如图，在△ABC 中，AC＝BC，D 是 BA 延长线上一点，E 是 CB 延长线上一点，F 是 AC 延长线 上一点，∠DAC＝130°，则∠ECF 的度数为
．
14．等腰三角形的一腰长为 3，底边长为 4，那么它底边上的高为 15．在解分式方程
．
的过程中，该分式方程等号两边同时乘以 6x 可以去分母，若 6x≠0 可
．
以得到与其同解的整式方程 3+6x＝4，此步骤的依据是 16．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
Earlybird
①以 B 为圆心，任意长为半径作弧，交 AB 于 D，交 BC 于 E；
②分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F； ③作射线 BF 交 AC 于 G．
如果 BG＝CG，∠A＝60°，那么∠ACB 的度数为
．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第 27，28 题， 每小题 5 分） 17．计算： 18．计算： 19．
＝
．
．
20．解方程：
21．如图，点 C 在线段 AE 上，BC∥DE，AC＝DE，BC＝CE．求证：AB＝CD．
22．已知 a﹣b＝2 ，求代数式 的值． 的值．
23．如果 a2+2a﹣1＝0，求代数式（a﹣ ）•
24．已知：如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE 是等腰三角形．
25．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求 AD 的长．
Earlybird
26．已 知：过 点 A 的射线 l⊥AB，在射线 l 上截取线段 AC＝AB，过 A 的直线 m 不与直线 l 及直线 AB 重合，过点 B 作 BD⊥m 于点 D，过点 C 作 CE⊥m 于点 E． （1）依题意补全图形； （2）求证：△AEC≌△BDA．
27．已知：线段 AB．
（1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l，与线段 AB 交于点 D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，点 C 为 l 上一个动点（点 C 不与点 D 重合），连接 CB，过点 A 作 AE⊥
BC，垂足为点 E．
①当垂足 E 在线段 BC 上时，直接写出∠ABC 度数的取值范围． ②若∠B＝60°，求证：BD＝ BC．
28．在等边△ABC 中，
（1）如图 1，P，Q 是 BC 边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB 的度数；
（2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧，且 AP＝AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM． ①依题意将图 2 补全； ②求证：PA＝PM．
Earlybird
Earlybird
2018-2019 学年北京市通州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确答案，共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 1．若代数式 A．x＝2
有意义，则 x 的取值是（ ）
B．x≠2
C．x＝3
D．x≠﹣3
【分析】根据分式有意义分母不等于 0 列式计算，求出 x 的取值范围即可得解． 【解答】解：由题意得，x+3≠0， 解得 x≠﹣3． 故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）如果分式无意义，那么分母为零； （2）如果分式有意义，那么分母不为零；
（3）如果分式的值为零，那么分子为零且分母不为零． 反之也成立． 2．若代数式 A．x＝0
有意义，则 x 的取值是（ ）
B．x≠0
C．x≥0
D．x＞0
【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出 x 的取值范围． 【解答】解：由题意得：x≥0， 故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握被开方数只能为非负数． 3．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文 化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
Earlybird
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对 称轴．
4．如图：过△ABC 的边 BC 上一点 D 作 DF∥AC，若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠FDB 的度数为 （ ）
A．40° B．60° C．100° D．120°
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠C 的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠FDB 的 度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠C＝80°， 又∵DF∥AC， ∴∠CDF＝∠C＝80°， ∴∠FDB＝100°， 故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 5．下列多边形中，内角和为 720°的图形是（ ）
Earlybird
A． B． C． D．
【分析】n 边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是 n，就得到方程，从 而求出边数．
【解答】解：这个正多边形的边数是 n，则 （n﹣2）•180°＝720°， 解得：n＝6．
则这个正多边形的边数是六， 故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，此题只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建 方程求解．
6．如图，两个三角形△ABC 与△BDE 全等，观察图形，判断在这两个三角形中边 DE 的对应边为 （ ）
A．BE B．AB C．CA D．BC
【分析】全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC 与△BDE 全等，BD＜DE＜BE，BC＜AB＜AC， ∴在这两个三角形中边 DE 的对应边为 AB， 故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解决问题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等． 7．在一条数轴上四个点 A，B，C，D 中的一个点表示实数
，这个点是（ ）
A．A
【分析】首先判断出
B．B C．C D．D
的取值范围，然后根据：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边
的数大，判定出这个点是哪个即可． 【解答】解：∵2.5＜
＜3，
Earlybird
∴在一条数轴上四个点 A，B，C，D 中的一个点表示实数 故选：D．
，这个点是 D．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时， 右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
8．下列事件中，满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ） A．在 50 件同种产品中，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性相同 B．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6 点数朝上的可能性相同 C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同
D．口袋里有 5 个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，摸出每个球的可能性相同 【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．
【解答】解：A、在 50 件同种产品中，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性不相 同，应该对 50 件产品编序号，然后抽取序号的方式，这样满足是随机事件且该事件每个结果发 生的可能性都相等；
B、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6 点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且
该事件每个结果发生的可能性都相等；
C、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不相同；
D、口袋里有 5 个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，满足摸出每个球的可能性相同，则要
使 5 个球只是颜色不同，其它都一样． 故选：B．
【点评】本题考查了可能性的大小：对于机事件发生的可能性（概率）的计算方法，只涉及一步实 验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；通 过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色， 对游戏是否公平的计算．
二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 9．在括号内填入适当的整式，使分式值不变：
．
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：分式的分子分母都乘以﹣a，得 ∴括号内应填入﹣ab． 故答案为：﹣ab．
．
Earlybird
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为 零的整式，分式的值不变． 10．实数 的平方根是
．
【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2＝a，则 x 就是 a 的平方 根，由此即可解决问题． 【解答】解：∵（± ）2＝ ， ∴实数 的平方根是± ． 故答案为± ．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根． 11．
【分析】根据简
＝
﹣2 ．
|，然后根据绝对值的意义去绝对值即可． ）＝
﹣2．
＝|a|得到原式＝|2﹣
|＝﹣（2﹣
【解答】解：原式＝|2﹣ 故答案为
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： 12．写出一个比 4 大且比 5 小的无理数： 【分析】由于 4＝ 即可．
【解答】解：比 4 大且比 5 小的无理数可以是 故答案为
．
，5＝
＝|a|．也考查了绝对值的意义． ．
，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于 16 且小于 25
．
【点评】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道 开放型的题目，答案不唯一．
13．如图，在△ABC 中，AC＝BC，D 是 BA 延长线上一点，E 是 CB 延长线上一点，F 是 AC 延长线 上一点，∠DAC＝130°，则∠ECF 的度数为 100° ．
Earlybird
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可． 【解答】解：∵∠DAC＝130°，∠DAC+∠CAB＝180°， ∴∠CAB＝50°， ∵AC＝BC，
∴∠CBA＝50°，∠ACB＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠ECF＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内 角和解答．
14．等腰三角形的一腰长为 3，底边长为 4，那么它底边上的高为
．
【分析】等腰三角形的腰和底边高线构成直角三角形，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度． 【解答】解：如图，∵AB＝AC＝3，BC＝4，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝2，
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得：AD＝ 故答案为：
．
＝
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高相互重合． 15．在解分式方程
的过程中，该分式方程等号两边同时乘以 6x 可以去分母，若 6x≠0 可
以得到与其同解的整式方程 3+6x＝4，此步骤的依据是 分式基本性质：分式的分子、分母同乘 一个不等于零的整式，分式的值不变 ． 【分析】依据分式的基本性质进行判断即可．
Earlybird
【解答】解：在解分式方程 的过程中，该分式方程等号两边同时乘以 6x 可以去分母，
若 6x≠0 可以得到与其同解的整式方程 3+6x＝4，此步骤的依据是分式基本性质：分式的分子、分 母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，
故答案为：分式基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变． 【点评】本题主要考查了解分式方程，解决问题的关键是掌握解分式方程的基本步骤． 16．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
①以 B 为圆心，任意长为半径作弧，交 AB 于 D，交 BC 于 E；
②分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F； ③作射线 BF 交 AC 于 G．
如果 BG＝CG，∠A＝60°，那么∠ACB 的度数为 40° ．
【分析】利用基本作图可判断 BG 平分∠ABC，则∠ABG＝∠CBG，再利用 BG＝CG 得到∠C＝∠
CBG，然后根据三角形内角和计算∠C 的度数．
【解答】解：由作法得 BG 平分∠ABC， ∴∠ABG＝∠CBG， ∵BG＝CG， ∴∠C＝∠CBG， ∴∠ABG＝∠CBG＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， 即 60°+3∠C＝180°， ∴∠C＝40°． 故答案为 40°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何 图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第 27，28 题，
Earlybird
每小题 5 分） 17．计算：
【分析】先通分化为同分母分式，再利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝
．
【点评】本题考查了分式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． 18．计算：
【分析】可运用平方差公式，直接计算出结果． 【解答】解：原式＝ ＝12﹣2 ＝10．
【点评】本题考查了乘法的平方差公式．掌握平方差公式的结构特点是解决本题的关键． 19．
＝
．
【分析】先把分式方程化为整式方程，求出 x 的值，代入最简公分母进行检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘以 2x（x+3）得，x+3＝4x， 整理得，3x＝3，解得 x＝1，
把 x＝1 代入 2x（x+3）得，2x（x+3）＝8， 故 x＝1 是原分式方程的解．
【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类问题时要注意验根． 20．解方程：
．
【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为 整式方程求解． 【解答】解：
Earlybird
方程两边同乘以（x+1）（x﹣1） 得（x+1）2﹣6＝（x+1）（x﹣1） 整理，得 2x＝4（3 分）
x＝2（4 分）
检验，把 x＝2 代入（x+1）（x﹣1）＝3≠0． 所以，原方程的根是 x＝2．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转 化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．如图，点 C 在线段 AE 上，BC∥DE，AC＝DE，BC＝CE．求证：AB＝CD．
【分析】利用 SAS 证明△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等即可得到 AB＝CD． 【解答】解：∵BC∥DE ∴∠ACB＝∠E， 在△ABC 和△DCE 中 ∵
∴△ABC≌△DCE（SAS） ∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△ABC≌△DCE （SAS）． 22．已知 a﹣b＝2
，求代数式
的值．
整
【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，把 a﹣b＝2 体代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝
Earlybird
＝ ＝ ＝
，
时，原式＝
＝
．
当 a﹣b＝2
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．如果 a2+2a﹣1＝0，求代数式（a﹣ ）•
的值．
【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，然后对 a2+2a﹣1＝ 0 变形即可解答本题． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝
＝a（a+2） ＝a2+2a， ∵a2+2a﹣1＝0， ∴原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．已知：如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE 是等腰三角形．
【分析】欲证明△ADE 是等腰三角形，只要证明∠ADE＝∠1 即可． 【解答】证明：∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠ADE＝∠1，
Earlybird
∴EA＝ED，
即△ADE 是等腰三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型．
25．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求 AD 的长．
【分析】连接 AC，首先由勾股定理求得 AC2的值；然后在直角△ACD 中，再次利用勾股定理来求 AD 的长度即可． 【解答】解：连接 AC， ∵∠B＝90°
∴AC2＝AB2+BC2． ∵AB＝BC＝2 ∴AC2＝8． ∵∠D＝90°
∴AD2＝AC2﹣CD2． ∵CD＝1， ∴AD2＝7． ∴
．
【点评】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的 平方．
26．已 知：过 点 A 的射线 l⊥AB，在射线 l 上截取线段 AC＝AB，过 A 的直线 m 不与直线 l 及直线 ABEarlybird
重合，过点 B 作 BD⊥m 于点 D，过点 C 作 CE⊥m 于点 E． （1）依题意补全图形； （2）求证：△AEC≌△BDA．
【分析】（1）根据要求画出图形即可． （2）根据 AAS 证明即可． 【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵直线 l⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∴∠CAE+∠DAB＝90°， ∵BD⊥m， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠B＝90°， ∴∠CAE＝∠B，
∵BD⊥m 于点 D，CE⊥m 于点 E， ∴∠CEA＝∠DAB＝90°，
Earlybird
在△AEC 和△BDA 中，
，
∴△AEC≌△BDA（AAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型．
27．已知：线段 AB．
（1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l，与线段 AB 交于点 D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，点 C 为 l 上一个动点（点 C 不与点 D 重合），连接 CB，过点 A 作 AE⊥
BC，垂足为点 E．
①当垂足 E 在线段 BC 上时，直接写出∠ABC 度数的取值范围． ②若∠B＝60°，求证：BD＝ BC．
【分析】（1）分别以 A，B 为圆心，大于 AB 长的一半为半径画弧，过两弧的交点作直线 l 即可； （2）①依据图形即可得到∠ABC 度数的取值范围．②连接 AC，依据线段垂直平分线的性质以及等 边三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线 l 即为所求，
（2）①当垂足 E 在线段 BC 上时，45°≤∠ABC＜90°； ②如图，连接 AC，
Earlybird
∵CD 是 AB 的垂直平分线 ∴
，CA＝CB，
又∵∠B＝60°，
∴△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AB， ∴
．
【点评】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线 段两端点的距离相等． 28．在等边△ABC 中，
（1）如图 1，P，Q 是 BC 边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB 的度数；
（2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧，且 AP＝AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM． ①依题意将图 2 补全； ②求证：PA＝PM．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论； （2）①根据题意补全图形即可；
Earlybird
②过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：（1）∵△ABC 为等边三角形 ∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80° ∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°， （2）①补全图形如图所示，
②证明：过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，如图．
由△ABC 为等边三角形，AP＝AQ， 可得∠PAB＝∠QAC，
∵点 Q，M 关于直线 AC 对称， ∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM ∴∠PAB＝∠MAC，AQ＝AM ∴∠PAM＝∠BAC＝60°， ∴△APM 为等边三角形 ∴PA＝PM．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称 的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
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