最新排列组合常见21种解题方法汇编

排列组合难题⼆⼗⼀种⽅法

排列组合问题联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，⾸先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采⽤合理恰当的⽅法来处理。教学⽬标

1.进⼀步理解和应⽤分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常⽤策略;能运⽤解题策略解决简单的综合应⽤题。提⾼学⽣解决问题分析问题的能⼒3.学会应⽤数学思想和⽅法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)

完成⼀件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的⽅法，在第2类办法中有2m 种不同的⽅法，…，在第n 类办法中有nm 种不同的⽅法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的⽅法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成⼀件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的⽅法，做第2步有2m 种不同的⽅法，…，做第n 步有n m 种不同的⽅法，那么完成这件事共有：12n N m m m =种不同的⽅法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都可以独⽴地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的⽅法完成事件的⼀个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进⾏,确定分多少步及多少类。3.确定每⼀步或每⼀类是排列问题(有序)还是组合(⽆序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握⼀些常⽤的解题策略⼀.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和⾸位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C

然后排⾸位共有1

4C 最后排其它位置共有34A

由分步计数原理得113434288C C A =

练习题:7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？⼆.相邻元素捆绑策略

例2. 7⼈站成⼀排 ,其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲⼄两元素捆绑成整体并看成⼀个复合元素，同时丙丁也看成⼀个复合元素，再与其它元素进⾏排列，同时对相邻元素内部进⾏⾃排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法⼄甲丁丙

练习题:某⼈射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在⼀起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略

例3.⼀个晚会的节⽬有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节⽬不能连续出场,则节⽬的出场顺序有多少种？解:分两步进⾏第⼀步排2个相声和3个独唱共有55A 种，

第⼆步将4舞蹈插⼊第⼀步排好的6个元素中间包含⾸尾两个空位共有种46A 不同的⽅法,

由分步计数原理,节⽬的不同顺序共有5456A A 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个新节⽬插⼊原节⽬单中，且两个新节⽬不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插⼊策略例4.7⼈排队,其中甲⼄丙3⼈顺序⼀定共有多少不同的排法C 14A 34C 13

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常⽤也是最基本的⽅法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满⾜特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑⼀个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某⼏个元素必须排在⼀起的问题,可以⽤捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为⼀个元素,再与其它元素⼀起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进⾏排队再把不相邻元素插⼊中间和两

解:(倍缩法)对于某⼏个元素顺序⼀定的排列问题,可先把这⼏个元素与其他元素⼀起进⾏排列,然后⽤总排列数除以这⼏个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A

(空位法)设想有7把椅⼦让除甲⼄丙以外的四⼈就坐共有47A 种⽅法，

其余的三个位置甲⼄丙共有 1种坐法，则共有47A 种⽅法。

思考:可以先让甲⼄丙就坐吗?

（插⼊法)先排甲⼄丙三个⼈,共有1种排法,再把其余4四⼈依次插⼊共有 ⽅法

练习题:10⼈⾝⾼各不相等,排成前后排，每排5⼈,要求从左⾄右⾝⾼逐渐增加，共有多少排法？510C

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习⽣分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第⼀名实习⽣分配到车间有 7 种分法.把第⼆名实习⽣分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：

1． 某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个节⽬插⼊原节⽬单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层⼤楼⼀楼电梯上来8名乘客⼈,他们到各⾃的⼀层下电梯,下电梯的⽅法87六.环排问题线排策略

例6. 8⼈围桌⽽坐,共有多少种坐法?

解：围桌⽽坐与坐成⼀排的不同点在于，坐成圆形没有⾸尾之分，所以固定⼀⼈44A 并从此位置把圆形展成直线其余7⼈共有

（8-1）！种排法即7！ H FD C AA B C D E AB E GH G F

定序问题可以⽤倍缩法，还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐⼀安排各个元素的位置，⼀般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种⼀般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n

练习题：6颗颜⾊不同的钻⽯，可穿成⼏种钻⽯圈 120 七.多排问题直排策略

例7.8⼈排成前后两排,每排4⼈,其中甲⼄在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8⼈排前后两排,相当于8⼈坐8把椅⼦,可以把椅⼦排成⼀排.个特殊

元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5⼈在5

个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种

前 排后 排

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2⼈就座

规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2⼈不左右相邻，那么不同排法的种数是 346⼋.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的⼩球,装⼊4个不同的盒内,每盒⾄少装⼀个球,共有多少不同的装法.解:第⼀步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种⽅法.再把4个元素

(包含⼀个复合元素)装⼊4个不同的盒内有44A 种⽅法，根据分步计数原理装球的⽅法共有2454C A练习题：⼀个班有6名战⼠,其中正副班长各1⼈现从中选4⼈完成四种

不同的任务,每⼈完成⼀种任务,且正副班长有且只有1⼈参加,则不同的选法有 192 种九.⼩集团问题先整体后局部策略

例9.⽤1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作⼀个⼩集团与３排队共有22A 种排法，再排⼩集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.15243

⼀般地,元素分成多排的排列问题,可归结为⼀排考虑,再分段研

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? ⼩集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进⾏处理。练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅⽔彩画,４幅油画,５幅国画, 排成⼀⾏陈列,要求同⼀ 品种的必须连在⼀起，并且⽔彩画不在两端，

那么共有陈列⽅式的种数为254254A A A

2. 5男⽣和５⼥⽣站成⼀排照像,男⽣相邻,⼥⽣也相邻的排法有255255A A A 种

⼗.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班⾄少⼀个,有多少种分配⽅案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成⼀排。相邻名额之间形成９

个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每⼀种插板⽅法对应⼀种分法共有69C 种分法。

⼀

班⼆班三班四班五班六班七班练习题：

1． 10个相同的球装5个盒中,每盒⾄少⼀有多少装法？ 49C2 .100x y z w +++=求这个⽅程组的⾃然数解的组数 3103C ⼗⼀.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这⼗个数字中取出三个数，使其和为不⼩于10的偶数,不同的 取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不⼩于10的偶数很困难,可⽤总体淘汰法。这⼗个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,

只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555

C C C +。再淘汰和⼩于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班⾥有43位同学,从中任抽5⼈,正、副班长、团⽀部书记⾄少有⼀⼈在内的抽法有多少种?

⼗⼆.平均分组问题除法策略

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份⾄少⼀个元素,可以⽤m-1块隔板，插⼊n 个元素排成⼀排的n-1个空隙中，所有分法数为1

1m n C -- 有些排列组合问题,正⾯直接考虑⽐较复杂,⽽它的反⾯往往⽐较简捷,可以先求出它的反⾯,再从整体中淘汰.