2016年全国卷3文科数学高考真题

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试题类型：

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

（1）设集合A{0,2,4,6,8,10},B{4,8}，则AB= 8} （A）{4，

2，6} （B）{0，2，610}， （C）{0，

2，4，6，810}， （D）{0，（2）若z43i，则

z= |z|（A）1

（B）1

43+i55 （C）43i55 （D）

3311（3）已知向量BA=（，），BC=（，），则∠ABC=

2222（A）30°（B）45°

（C）60°（D）120°

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是

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（A）各月的平均最低气温都在0℃以上 （B）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D）平均最高气温高于20℃的月份有5个

（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

8111（A）15（B）8（C）15（D）30 1（6）若tanθ=3，则cos2θ=

4114（A）5（B）5（C）5（D）5

（7）已知，则 (A)b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

a2,b3,c25432313（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

1,BC边上的高等于BC,则sinA3（9）在ABC中，B=4

1053103(A)10 (B)10 (C)5 (D)10



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（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A）18365 （B）54185 （C）90 （D）81

（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是 （A）4π（B）

9π32π（C）6π（D） 23x2y2（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P

ab为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中

点，则C的离心率为 （A）

1123（B）（C）（D） 3234 第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

2xy10,（13）设x，y满足约束条件x2y10,则z=2x+3y–5的最小值为______.

x1,（14）函数y=sin x–cosx的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移______个单位长度得到.

（15）已知直线l：x3y60与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、

D两点，则|CD|= .

（16）已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)e_____________________________.

x1x，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式

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三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

2已知各项都为正数的数列an满足a11，an(2an11)an2an10.

（I）求a2,a3；

（II）求an的通项公式.

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：

yi17i9.32，tiyi40.17，i17(yy)ii1720.55，≈2.646.

参考公式：r(tt)(yy)iii1n(tt)(y2ii1i1nn ，2y)i回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b(tt)(yy)iii1n(tt)ii1na=ybt. ，2（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （I）证明MN∥平面PAB;

（II）求四面体N-BCM的体积.

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（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分） 设函数f(x)lnxx1. （I）讨论f(x)的单调性；

（II）证明当x(1,)时，1x1x； lnxx（III）设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xc.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，⊙O中

的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。

（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=.

（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标. （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

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已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.

（I）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；

（II）设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学正式答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A

第II卷

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）10 （14）

 （15）4 （16）y2x 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得a211,a3. .........5分 242（Ⅱ）由an(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1).

因为an的各项都为正数，所以故an是首项为1，公比为（18）（本小题满分12分）

an11. an211的等比数列，因此ann1. ......12分 22解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

t4，(tit)28，

2i172(yy)0.55， ii177(ti17it)(yiy)tiyityi40.1749.322.89，

i1i17关注公众号：《真题备考》，下载历年真题、分类汇编、题源探究

2.890.99. ........4分

0.5522.646因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟r合y与t的关系. ............6分

9.32ˆ（Ⅱ）由y1.331及（Ⅰ）得b7(ti17it)(yiy)i(ti17t)22.890.103， 28ˆt1.3310.10340.92. ˆybaˆ0.920.10t. ..........10分 所以，y关于t的回归方程为：yˆ0.920.1091.82. 将2016年对应的t9代入回归方程得：y所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得AM2AD2，取BP的中点T，连接AT,TN，由N为PC中点知TN//BC，3TN1BC2. ......3分 2又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN//平面PAB. ........6分

（Ⅱ）因为PA平面ABCD，N为PC的中点， 所以N到平面ABCD的距离为

1PA. ....9分 2取BC的中点E，连结AE.由ABAC3得AEBC，AE由AM∥BC得M到BC的距离为5，故SBCM所以四面体NBCM的体积VNBCM（20）（本小题满分12分）

AB2BE25.

1SBCM314525. 2PA45. .....12分 23关注公众号：《真题备考》，下载历年真题、分类汇编、题源探究

解：（Ⅰ）由题设F(,0).设l1:ya,l2:yb，则ab0，且

12a2b2111abA(,0),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,). 222222记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. .....3分 （Ⅰ）由于F在线段AB上，故1ab0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1abab1abbk2. 221aaabaa所以AR∥FQ. ......5分 （Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则SABFab111baFDbax1,SPQF. 222211ab由题设可得bax1，所以x10（舍去），x11.

222设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得而

2y(x1). abx1aby，所以y2x1(x1). 22当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为yx1. ....12分 （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设，f(x)的定义域为(0,)，f'(x)'11，令f'(x)0，解得x1. x'当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0. 所以当x1时，lnxx1. 故当x(1,)时，lnxx1，ln11x11，即1x. ………………7分 xxlnxx'x'（Ⅲ）由题设c1，设g(x)1(c1)xc，则g(x)c1clnc，令g(x)0，

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c1lnc. 解得x0lncln''当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减. ……………9

分

由（Ⅱ）知，1c1c，故0x01，又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0. lncx所以当x(0,1)时，1(c1)xc. ………………12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结PB,BC，则BFDPBABPD,PCDPCBBCD.

因为APBP，所以PBAPCB，又BPDBCD，所以BFDPCD. 又PFDBFD180,PFB2PCD，所以3PCD180， 因此PCD60. （Ⅱ）因为PCDBFD，所以PCDEFD180，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在

CD的垂直平分线上，因此OGCD.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2y21，C2的直角坐标方程为xy40. ……5分 解：（Ⅰ）C1的普通方程为3（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值， 即为P到C2的距离d()的最小值，d()………………8分 当且仅当2k|3cossin4|2|sin()2|.

326(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为

31(,). ………………10分 2224.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当a2时，f(x)|2x2|2.

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解不等式|2x2|26，得1x3.

因此，f(x)6的解集为{x|1x3}. ………………5分 （Ⅱ）当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|

|2xa12x|a |1a|a，

当x1时等号成立， 2所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3. ① ……7分 当a1时，①等价于1aa3，无解. 当a1时，①等价于a1a3，解得a2. 所以a的取值范围是[2,). ………………10分

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