解题研究心得

——数形结合解决二次函数性质问题 临山二中 谢建科

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”可见数形结合是数学中的重要思想方法之一。在初中数学学习中，二次函数是一个难点，由于其性质较多，综合性较强，虽然老师讲解的时候也很仔细，但学生在解题过程中还是经常找不着方向，对基本性质不太理解，究其原因主要是学生没有较好地利用函数图像去解决问题。

纵观二次函数的性质，主要是指增减性，最值，正负性，对于这些性质的把握，我认为还是要从图像上入手，那么如何利用图像去把握性质呢，主要从四个方面考虑，即开口方向、对称轴、顶点和与X轴的交点坐标，不同的性质从考虑不同的方面，经过课堂实践后，发现效果较好。

问题一、运用图像解决二次函数的增减性问题

二次函数的增减性，主要看图像的开口方向和对称轴。有了这两个要素，结合草图，一下即可看出函数的增减性。

类型1：已知二次函数y=2x-4x+c，请说明它的增减性。

解析：利用公式法求出对称轴为直线x=1，a=2>0，开口向上，画出草图即可。

发现以对称轴x=1为界，当x≤1时，y随着x的增大而减小， 当x≥1时，y随着x的增大而增大 有了图像后，此类问题就轻松解决了。

x=1 类型2：已知（2，y1）,（3，y2）在二次函数y=2x2-4x+c的图像上，请比较y1 y2 的大小 解析：利用公式法求出对称轴为直线x=1，a=2>0，开口向上，画出草图(如上图)。 发现自变量2和3都在对称轴的右侧，所以直接使用增减性即当x≥1时，y随着x的增大而增大，因为2<3，所以y12

类型3：已知（-1，y1）（1，y2）（2，y3）在二次函数y=2ax-4ax+c(a>0)的图像上，试比较

y1 ，y2 ，y3的大小关系 解析：此类型的问题较类型2要复杂，不过实质上也是利用二次函数的增减性。只是这三

个点并不在图像对称轴的同侧，左右两侧都有，对于这类问题，我们又该怎么去解决呢？其实跟类型1，2做法类似，求出对称轴，画出草图即可。

对称轴为直线x=1，a>0开口向上，如图。

发现：离对称轴最近的点函数值越小，离对称轴越远的点函数值越大。 计算各自变量到对称轴的距离，-1到1距离为2，1到1距离为0，

2到1的距离为1，所以-1对应的y1 最大，2对应的y3其次，1对应的y2最小，所以是y2 x=1

问题二、运用图像解决二次函数的最值问题

二次函数的最值问题，一般在自变量没有限制的情况下，要不有最大值要不就有最小值，主要看图像的开口方向和顶点坐标，若开口向上，则顶点坐标纵坐标即为最小值，若开口向下，则顶点坐标纵坐标为最大值。如果有自变量的限制，我们则可以通过草图来确定最大值和最小值。

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类型1：求二次函数y=2x-4x+1的最小值

解析：利用配方法把解析式写成顶点式y=2（x-1）-1，顶点坐标为（1，-1） 因为a=2 >0，所以开口向上，二次函数有最小值，为-1。

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类型2：求二次函数y=2x-4x+1（2≤x≤4））的最小值和最大值

解析：在自变量有限制的情况下，我们只要结合草图，从草图中可以很容易看出此二次函数的最大值和最小值。

通过画草图发现，自变量取值范围不包括对称轴的，所以在x= ２的时候取到最小值，在ｘ=4的时候取到最大值，把x=2代入，最

小值为1，把x=4代入，最大值为17。

X=1 2

类型3：求二次函数y=2x-4x+1（-1≤x≤4））的最小值和最大值

解析：与类型2不同，此类型中自变量的取值范围是包括对称轴的，通过草图也可以很

清楚地看出函数的最大值和最小值

通过画图发现，在顶点时函数有最小值，当x=4时函数有最大值，所以最小值为－１，把x=4代入，函数的最大值为17。

X=1 问题三、运用图像解决二次函数的正负性问题

二次函数的正负性，主要看开口方向和与x轴的交点坐标，结合图像，即可求出自变量的取值范围。

类型1：当X为何值时，x2-2x-3 >0

解析：对于此类题目，看上去像一元二次不等式，我们还没有学过，但可以利用二次

函数的正负性把它轻松解决。令y= x2-2x-3，求出与x轴的交点坐标，画出草图，位于x轴上方的部分是y＞0,位于x轴下方的部分是ｙ＜０。

令ｙ＝０，解得x1=-1， x2=3，所以与x轴的交点坐标为（-1,0）（3,0），从图像我们就可以发现：当x<-1或x>3的时候y>0,即x2-2x-3 >0。

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有了图像，二次函数就更加直观。解决二次函数综合问题，只要你勤动手，多思考，也就不那么复杂了。

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