广东省深圳市高级中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 文

数学（文科）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1.已知集合AxZ|1x4,B2,1,4,8,9，设C数为( )

A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 2.设复数zAIB，则集合C的元素个

1i，则|z|=（） 1iA．

123 B. C. D. 2

2223.下列全称命题中假命题的个数是( )

①2x1是整数(xR)；②对所有的xR，x3；③对任意一个xZ，2x21为奇数． A．0 B．1 C．2 D．3 4、已知a2,blog3,clog2sin0.62，则（ ） 5A.cba B.cab C.bac D. acb

5．某公司2020年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：

年份 利润x 支出y

2020 12.2 0.62 2020 14.6 2020 16 2020 18 0.89 2020 20.4 1.00 2020 22.3 1.11 0.74 0.81 根据统计资料，则 ( ) A．利润中位数是16，x与y有正相关关系 B．利润中位数是17，x与y有正相关关系 C．利润中位数是17，x与y有负相关关系 D．利润中位数是18，x与y有负相关关系

226.过点P(4,5)引圆xy2x4y10的切线，则切线长是 ( )

A．3

B．14

C．4

D．5

rrrrrrrb4，则a2b与b的夹角为（ ） 7.已知非零向量a(t,0)，b(1,3)，若agA．

2 B. C. D.

33261 D. -1 2开始 8. 执行如下图的程序框图，那么输出S的值是( ) A. 2 B.1 C. 9.点P( S2,k0k2019 否 是 1 S1S输出S 结束 kk1 8题图

,1)是函数f(x)sin(x)m(0,)的图象的一个对称中心，且点62P到该图象的对称轴的距离的最小值为.

4①f(x)的最小正周期是 ②f(x)的值域为[0,2]

5③f(x)的初相为④f(x)在[,2]上单调递增

33以上说法正确的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

10.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为 ( ) 7

A． 103 C． 5

11.若两个正实数x,y满足实数m的取值范围是（）

A．1,4 B. 4,1 C.,4U1,D.,3U0, 12.已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2，P是它们的一个交点，且F1PF2双曲线的离心率分别为e1,e2，则

3B． 102D． 5

y141，且存在这样的x,y使不等式xm23m有解，则xy43，记椭圆和

1的最大值为（） e1e2A．3 B.2 C.

4323 D. 33二.填空题：本大共4小题．每小题5分，满分20分．

y2x213.已知双曲线C：221的焦距为105，点P1,2在双曲线C的渐近线上，则双曲

aby2x21. 线C的方程为____________________ .

1002514．已知复数z满足(1i)z13i，则z________2i 15.已知函数f(x)12xalnx(aR)，若函数f(x)的图象在x2处的切线方程为2xyb0，则实数a．2

16.已知数列{an}的前n项和为Sn，a11,a22，且Snnan1(n2)，则数列{an}的2通项公式为_____________.an

n11,

2(n1),n2三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本题满分10分）

某银行对某市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：

年份x 贷款y(亿元) 2020 50 2020 60 2020 70 2020 80 2020 100 (1)将上表进行如下处理：t＝x－2 013，z＝(y－50)÷10，得到数据： t z 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 试求z与t的线性回归方程z＝bt＋a，再写出y与x的线性回归方程y＝b′x＋a′. (2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2020年房贷发放数额.

参考公式：

18(本小题满分12分)

如图，在ABC中，点D在BC边上，ADAC，

cosB6，AB32，BD3． 3A（1）求ABD的面积； （2）求线段DC的长．

19（本小题满分12分）

BDC按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20:80mg/100ml(不含80)之间，属酒后驾车；在

80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查

了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；

(2)从血液酒精浓度在70,90范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．

20（本小题满分12分）

已知等差数列an的前项和为Sn，且S39,a1,a3,a7成等比数列. （1）求数列an的通项公式；

（2）若数列an的公差不为0，数列bn满足bn0.020.0150.010.005酒精含量2030405060708090100(mg/100ml)频率组距an，求数列bn的前项和Tn. n221（本小题满分12分）已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y＝－1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值． 22．(本小题满分l2分)已知函数f(x)lnx(1)求函数f(x)的单调区间；

12axx,aR.2

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.

深圳高级中学（集团）2020学年高二年级第一学期期末考试

数学（文科）答案

命题人：辛彦瑶审题人：范铯

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1. D 2. B 3. C 4、A 5． B 6.B 7.A

8. A

【解析】当S2，k0时，执行第一次循环体：S1112，k1；

S执行第二次循环体：111(1)2，k2；

S执行第三次循环体：11122，k3；

S执行第四次循环体：1112，k4；……，

观察可知：其周期为3，且20196733， 所以输出的S2，故选A 9. D 10.A 11. C 12.D

n11,y2x2a1n2(n1),n2 13. 10025 14．2i 15.2 16.

三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本题满分10分）

[解] (1)计算得＝3，＝2.2，错误!错误!t错误!＝55，错误!错误!tizi＝45，所以b＝＝1.2，

a＝2.2－1.2×3＝－1.4，

所以z＝1.2t－1.4.

注意到t＝x－2 013，z＝(y－50)÷10， 代入z＝1.2t－1.4，整理得y＝12x－24120.

(2)当x＝2 019时，y＝108，即2020年房贷发放的实际值约为108亿元． 18(本小题满分12分) 解：（1）在ABD中，

cosB63,sinB33, 11332ABBDsinB3232232 SABD（2）在ABC中，由余弦定理得ADABBD2ABBCcosB

2221832323639AD3 6ADADsinADB3. 由正弦定理得，sinADBsinB，sinADC63cosADC3, 3 ADB+ADC=180, 

19（本小题满分12分）

ADcosADCDC, DC33 解: (1)由频率分布直方图可知：

80,90内范围内有：0.0120102人……………2分

90,100内范围内有：0.00520101人……………4分

血液酒精浓度在

血液酒精浓度在

所以醉酒驾车的人数为213人……………6分

(2)因为血液酒精浓度在

70,80内范围内有3人，记为a,b,c,80,90范围内有2人，

记为d,e,则从中任取2人的所有情况为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)，(b,c),(b,d)，(b,e)，

(c,d),(c,e),(d,e)共10种………………………………………………………8分

恰有一人的血液酒精浓度在

80,90范围内的情况有

(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e)，共6种…………………………………10分

设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则20（本小题满分12分） 【解析】 （1）由题得，

P(A)35……………12分

，设等差数列的公差为，则，

化简，得当

时，

或.

，得

，

∴

，

即当

时，由

，得

；

，即

；

（2）由（1）知bn1n12n，

23n1111Tn234Ln12222……① 所以11111Tn234Ln122222123n234n1……②

n1111111Tn2L(n1)22222由①②可得2311(n1)222nn1 n1Tn3(n3)2

21（本小题满分12分）已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4. 解：(1)设C(x，y)，|CA|－y＝4，即x＝4y.

∴动圆圆心的轨迹C的方程为x＝4y.……………5分 (2)C的方程为x＝4y，即y＝x，故y′＝x.设P(t≠0)，

2

22

2

2

2

PR所在的直线方程为y－＝(x－t)，即y＝x－，

则点R的横坐标xR＝， |PR|＝|xR－t|＝. ……………7分

PQ所在的直线方程为y－＝－(x－t)，即y＝－x＋2＋，由消去y得＋x－2－＝0，

由xP＋xQ＝－得点Q的横坐标为xQ＝－－t， ……………9分 又|PQ|＝|xP－xQ|＝＝. ……………10分

∴S△PQR＝|PQ||PR|＝.不妨设t>0，记f(t)＝(t>0)，

则当t＝2时，f(t)min＝4.由S△PQR＝[f(t)]，得△PQR的面积的最小值为16. ……………12分

3

1f(x)lnxax2x,aR.222．(本小题满分l2分)已知函数

(1)解：函数f(x)的定义域为(0,).

1ax2x1f'(x)ax1xx. ……1分

f'(x)①当a=0时，1xx，x0,f'(x)0

∴函数f(x)单调递增区间为(0,) . ……2分

ax2x10a0x②当时，令f'(x)=0得， x0,ax2x10. 14a.

(i)当0，即a14时，得ax2x10，故f'(x)0，

). ……3分 ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，(ii)当0，即a14时，方程ax2x10的两个实根分别为

x1114a114a,x22a2a. ……4分

1a0若4，则x10,x20，此时，当x(0,)时，f'(x)0. ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,)，……………5分 若a>0，则x10,x20，

此时，当x(0,x2)时，f'(x)0，当x(x2,)时，f'(x)0，

∴函数f(x)的单调递增区间为(0,114a114a)(,)2a2a，单调递减区间为. (0,114a)2a，单调递减区间为综上所述，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为114a(,)2a：

当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间．……………6分 (2)解：由(1)得当a0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)无极值；………7分

当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,114a114a)(,)2a2a，单调递减区间为；

则f(x)有极大值，其值为f(x2)lnx212114aax2x2x22a2，其中…10分而

22ax2x210，即ax2x21，……8分

f(x2)lnx2x212. h(x)lnx设函数x111h'(x)0(x0)x22，则，…………9分

h(x)lnx则x12在(0,)上为增函数．

又h(1)=0，则h(x)>0等价于x>1．

f(x2)lnx2x2102等价于x21. ………10分

2即在a>0时，方程axx10的大根大于1，

2(x)axx1，由于(x)的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴设

x102a，则只需(1)0，即a-1-1<0解得a<2，而a>0，

故实数a的取值范围为(0，2)．………12分

说明：若采用下面的方法求出实数a的取值范围的同样给1分．

114a1114114a1222aa在(0,)是减函数， a2a2a2a21．由于114a114a112a2a而时，a=2，故的解集为（0，2），

从而实数a的取值范围为(0，2)．

114a12a2．解不等式，而a>0，通过分类讨论得出实数a的取值范围为(0，2).