人教版高中数学【必修一】[知识点整理及重点题型梳理]_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

人教版高中数学必修一

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

指数函数、对数函数、幂函数综合

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．

6．知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a＞0，a≠1）． 【知识框图】

【要点梳理】

要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念

a的n次方根的定义：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1,nN*

当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为na．

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．

式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．n次方根的性质：

（1）当n为奇数时，ana；当n为偶数时，ananna,a0,

a,a0;（2）

anna

3．分数指数幂的意义：

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aamnnma0,m,nN,n1；amn1amna0,m,nN,n1

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：

a0,b0,r,sQ

（1）aaarsrsrr （2）(a)a （3）abab

rsrsr要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念

一般地，函数yaxa0,且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 2．指数函数函数性质： 函数 名称 定义 x指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 a1 y yax (0,1) O x 0a1 yaxy图象 y1y1(0,1) 1 0 OR (0,) 1 0 x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在R上是增函数 图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是减函数 ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)资料来源于网络 仅供免费交流使用

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a变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐减小．

要点三：对数与对数运算 1．对数的定义

x（1）若aN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，

N叫做真数．

（2）负数和零没有对数．

x（3）对数式与指数式的互化：xlogaNaN(a0,a1,N0)．

2．几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

3．常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）． 4．对数的运算性质

如果a0,a1,M0,N0，那么 ①加法：logaMlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNlogaM Nn③数乘：nlogaMlogaM(nR)

④alogaNN

n⑤logabMnlogaM(b0,nR) blogbN(b0,且b1)

logba⑥换底公式：logaN要点四：对数函数及其性质 1．对数函数定义

一般地，函数ylogaxa0,且a1叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,． 2．对数函数性质： 函数 名称 定义 图象 对数函数 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1 0a1 资料来源于网络 仅供免费交流使用

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yx1 ylogaxyx1 O1 0 (1,0)xO1 0 ylogax (1,0) x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 非奇非偶 在(0,)上是减函数 logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1) logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1) a变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小．

要点五：反函数 1．反函数的概念

设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表y在C中的任何一个值，

1示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf(y)，习惯上改写成

yf1(x)．

2．反函数的性质

（1）原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

1（2）函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf(x)的值域、定义域．

1'（3）若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(x)的图象上．

（4）一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

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要点六：幂函数 1．幂函数概念

形如yx(R)的函数，叫做幂函数，其中为常数． 2．幂函数的性质

（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

（2）过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

（3）单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在

[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为

减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

（4）奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中pqp，若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxp,q互质，p和qZ）

是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．

qp（5）图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

【典型例题】

类型一：指数、对数运算 例1．计算 （1） log271log212log242； （2）lg32lg353lg2lg5； 482lg0.7212（3）lg5lg8lg5lg20lg2；（4）7lg20322

【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好． 【答案】（1）1；（2）1；（3）3；（4）14． 217111212loglog2【解析】（1）原式=log2； 22432762（2）原式=lg2lg5lg2lg2lg5lg53lg2lg5

22资料来源于网络 仅供免费交流使用

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=lg10lg5lg23lg2lg53lg2lg5

2 =1-3lg2lg5+3lg2lg5=1

（3）原式=2lg52lg2lg51lg2lg22 =2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5) =2+lg5lg2=3；

1（4）令x7lg202lg0.7，两边取常用对数得

lg201lg0.7lgxlg7=1lg2lg7(lg71)(lg2)

2 =lg7lg2lg7lg2lg7lg2 =lg14

x14,即7lg2012lg0.7=14．

【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．

举一反三：

【变式1】2log510log50.25=（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C

2【解析】2log510log50.25=log510log50.25log5(1000.25)log5252．

【变式2】（1）(lg2)lg2lg50lg25；（2）(log32log92)(log43log83)． 【答案】（1）2；（2）

25． 422【解析】（1） 原式(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5 (11)lg22lg52(lg2lg5)2； （2） 原式(lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3)()()() lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg35． 2lg36lg24 资料来源于网络 仅供免费交流使用

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类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

例2．设偶函数f(x)满足f(x)x8(x0)，则x|f(x2)0= （ ）

3A．x|x2或x4 B． x|x0或x4 C． x|x0或x6 D． x|x2或x4 【答案】 B 【解析】

f(x)x38(x0)且f(x)是偶函数．

3x8,x0, f(x)3x8,x0,x20,x20,或 33x280x280x2,x2,或 x4,x0.解得x4或x0，故选B．

【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用． 举一反三：

3x1,x0,【变式1】已知函数f(x)若f(x0)3，则x0的取值范围是（ ）．

log2x,x0,A． x08 B． x00或x08 C． 0x08 D． x00或0x08 【答案】A 【解析】依题意x00,x0133或x00,x00,x00,即或，所以x08，故选A．

log2x03x011log2x0log28log2x,x0,例3．设函数f(x)log(x),x0 若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是（ ） ．

12A．1,0C．1,00,1 B．,11, 1, D．,10,1

【答案】C

【解析】解法一：①若a0，则a0，

log2alog1a，得log2alog2211，得a，解得a1． aa②若a0,则a0，

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1log1(a)log2(a)，log2()log2(a)

a2解得a1,1 由①②可知a1,0解法二：特殊值验证 令a2,f(2)log221,

1,

f(2)1，满足f(a)f(a)，故排除A、D．

令a2，f(2)1，f(2)1 不满足f(a)f(a)，故排除B．

【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用． 【幂指对函数综合377495 例1】

例4．函数ylog1(x6x8)的单调递增区间是（ ）

32A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）

【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”．

【答案】D

2【解析】函数ylog1(x6x8)是由ylog1u,ux26x8复合而成的，ylog1u是减函

3233数，ux6x8在,3上单调递增，在3,上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即

x26x80，解得x4或x2，所以原函数的单调递增区间是,2，故选D．

例5．（2016 上海模拟）已知函数f(x)a（a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数g(x)(310m)x是单调增函数，则a=________．

【思路点拨】根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f（x）的单调性，从而求出a的值． 【答案】

x1 83； 10【解析】根据题意，得3－10m＞0， 解得m资料来源于网络 仅供免费交流使用

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2当a＞1时，函数f(x)a在区间[－1，2]上单调递增，最大值为a8，解得a22，最小值为xma112223，不合题意，舍去； 410x1当1＞a＞0时，函数f(x)a在区间[―1，2]上单调递减，最大值为a8，解得a1，最小值8为ma13，满足题意； 64101综上，a．

81故答案为：．

82【总结升华】本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】已知f(x)2|x1|，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满的点集

足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成组成的图形为（ ）

A． 线段AD B． 线段AB C． 线段AD与线段CD D． 线段AB与BC

【思路点拨】由指数函数的图象和性质，我们易构造出满足条件

函数图象后

f(x)2|x1|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]的不等式组，画出函数的

与答案进行比照，即可得到答案．

【答案】C

【解析】∵函数f(x)2|x1|的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．

当x=1时，函数取最小值1， 若y2|x1|2，则x=0，或x=1

|x1||

而函数y2在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，

则a00a1或，

1b2b2组成图形为

则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点

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故选C．

【总结升华】本题考查的知识点是指数函数的性质，函数的值域，其中熟练掌指数函数在定区间上的值域问题，将已知转化为关于a，b的不等式组，是解答本题的关键．

|lgx|,0x10,【变式2】已知函数f(x)1若a,b,c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的

x6,x10.2取值范围是（ ）．

A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24） 【答案】C

【解析】由a,b,c互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设a(0,1),b(1,10),c(10,12)，由f(a)f(b)得lgalgb0,即lgab0，所以ab1，所以

abc10,12，故选C．

【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法． 类型三：综合问题

2xb例6．已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(2tt)f(ttk)0恒成立，求k的取值范围

【思路点拨】（Ⅰ）利用奇函数的定义去解。（Ⅱ）先判断函数f(x)的单调性，由单调性脱掉函数符号f，转化成二次函数问题去解决。

【答案】（Ⅰ）a2，b1；（Ⅱ）k

2213b112x0b1f(x)【解析】（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 a2a2x11112又由f（1）=－f（－1）知2a2.

a4a1资料来源于网络 仅供免费交流使用

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12x11（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知f(x)，易知f(x)在(,)上

22x122x122为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(2tt)f(ttk)0

等价于f(2tt)f(ttk)=f(ttk)，因f(x)为减函数，由上式推得： 即对一切tR有：3t22tk0， 从而判别式412k0k.

（或: 即对一切tR有：k3t2t，又3t2t3(t)∴k

222213213211 331312x解法二：由（Ⅰ）知f(x)．又由题设条件得： x1222212t2t122tk0，

t22t12t2k12222即 ：(22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)0，

13整理得 23t22tk1，因底数21，故：3t22tk0

上式对一切tR均成立，从而判别式412k0k.

【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解．

举一反三：

【变式1】已知函数f(x)logax1loga1x，（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）设a1，解不等式f（x）＞0． 2x10,【解析】（1）依题意知，解得1x1

1x0.函数f（x）的定义域为x|1x1． （2）函数f(x)是奇函数

任取x1,1，x1,1，所以

f(x)f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)

=0 所以函数f(x)是奇函数． （3）因为ax11，所以f(x)log1

1x22资料来源于网络 仅供免费交流使用

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由f(x)log1x1x10，得01

1x21x解得1x0

x|1x0．

【幂指对综合377495 例5】

12x3xa例7．设f(x)（其中a为实数），如果当x(,1]时恒有f(x)0成立，求实

3数a的取值范围．

1x2x【思路点拨】由题意知，原不等式转化成a在,1上恒成立，只要求出不等式

33右边部分的最大值就可以了．

【答案】a1

xx12xx【解析】依题意，123a0a在,1上恒成立．

331x2x则设(x),x,1

33只需求(x)的最大值 任取x1,x2,1且x1x2

1x12x11x22x2(x1)(x2)

33331x21x12x22x1 =

3333由于yax0a1是单调递减函数

(x1)(x2)，即(x)在,1上是单调递增的， (x)max(1)1

a1

【总结升华】解决本题的关键是把af(x)转化成af(x)max，af(x)转化成af(x)max，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意．

举一反三：

x22x2(b0且b1)． 【变式1】设函数f(x)logb12ax资料来源于网络 仅供免费交流使用

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（1）求f(x)的定义域；

（2）求使f(x)0在0,上恒成立的实数a的取值范围． 【解析】（1）

x22x2(x1)210，12ax0,即2ax1

若a0，则f(x)的定义域为R；

若a0，则f(x)的定义域为1,； 2a1． 2a2若a0，则f(x)的定义域为,（2）①当b1时，在f(x)的定义域内，f(x)0等价于x2x212ax，即

x211x2(1a)x1，于是问题等价于02(1a)x在0,上恒成立．

xx2令g(x)x即a0．

1，则g(x)在0,1上递减，在1,上递增，g(x)ming(1)2,2(1a)2，x另一方面要使f(x)0在0,上恒成立，则0,必是f(x)定义域的子集，由（1）可知a0. 由a0且a0可知a0．

②当0b1时，在f(x)的定义域内，f(x)0等价于2(1a)xx1，于是问题等价于

212(1a)x在0,上恒成立．

x显然这样的实数a不存在．

综上所求的a的取值范围为a0．

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