高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为

f(x2)−f(x1)f(x1+x)−f(x1)yf ===x2−x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？

答：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limf(x0+x)−f(x0)y，则称=limx→0xx→0x函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y=f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x=x0，即f'(x0)=limf(x0+x)−f(x0)y. =limx→0xx→0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y=c y'=0 ———————— y=xn(nN*) y'=nxn−1 xn+1xdx=n+1 n y=ax(a0,a1) y'=alna xaxadx=lna xy=ex y=logaxy'=ex edx=exx (a0,a1,x0) y=lnx y=sinx y=cosx y'=1 xlna1 x———————— y'=1xdx=lnx y'=cosx y'=−sinx cosxdx=sinx sinxdx=−cosx 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 学 海 无 涯

答：若f(x)，g(x)均可导（可积），则有： 和差的导数运算 f(x)g(x)'=f'(x)g'(x) f(x)g(x)积的导数运算 '=f'(x)g(x)f(x)g'(x) 特别地：Cf(x)'=Cf'(x) 商的导数运算 f(x)f'(x)g(x)−f(x)g'(x)(g(x)0) g(x)=2g(x)'1−g'(x)特别地： '=2g(x)g(x)复合函数的导数 yx=yuux 微积分基本定理 f(x)dx=ab （其中F'(x)=f(x)） 和差的积分运算 ba[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaabb 特别地：积分的区间可加性 bakf(x)dx=kf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数f(x)的导数f'(x)

②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？

答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数f'(x)

(3)求方程f'(x)=0的根

(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

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8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f(x)在a,b上的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？

答：分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质有哪些？

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

1dx=b−a

ababb性质5 若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0

①推广：[f1(x)f2(x)afm(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaabbfm(x)

ab ②推广:f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+aac1bc1c2+f(x)dx

ckb11定积分的取值情况有哪几种？

答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识有哪些？ 答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。 （2）力的积分为功。

数学选修2-2推理与证明知识点必记

13.归纳推理的定义是什么？ 答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 ．．．．．．．

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归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ．．．．14.归纳推理的思维过程是什么？ 答：大致如图：

实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 15.归纳推理的特点有哪些？

答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义是什么？

答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 ．．．．17.类比推理的思维过程是什么？ 答：

观察、比较 联想、类推 推测新的结论 18.演绎推理的定义是什么？

答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 ．．．．19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论 20.“三段论”可以表示为什么？

答： ①大前题：M是P ②小前提：S是M ③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？

答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.什么是综合法？

答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 23.什么是分析法？ 答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24什么是间接证明？

答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 25.反证法的一般步骤是什么？

答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

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（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 ．．．26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？ 原结论词 反义词 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 一个也没有 至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个 对任意x不成立 p或q p且q 反义词 存在x使成立 对所有的x都成立 存在x使不成立 p且q p或q 27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反 ．．．．

28.如何归缪矛盾？

答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？ ．．．答：(1)证明：当n取第一个值nnN()时命题成立； 00．．．．(2)假设当n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. ．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记

30.复数的概念是什么？ 答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数集．．．．

C=a+bi|a,bR叫做复数集。

规定：a+bi=c+dia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

实数 (b=0)31．数集的关系有哪些？答：复数Z一般虚数(a0)

虚数 (b0)纯虚数(a=0)32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.什么是复平面？

答：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对

(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 34.如何求复数的模(绝对值)？

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答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模(也叫绝对值)记作

z或a+bi。由模的定义可知：z=a+bi=a2+b2

35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？

答：①复数的加、减法法则：z1=a+bi与z2=c+di，则z1z2=ac+(bd)i。

注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。 ．．②复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i。 ③复数的除法法则：

a+bi(a+bi)(c−di)ac+bdbc−ad==+i c+di(c+di)(c−di)c2+d2c2+d2其中c−di叫做实数化因子 36.什么是共轭复数？

答：两复数a+bi与a−bi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(1)z=z;2(2)z+z=2a,z−z=2bi;

2(3)zz=z=z=a2+b2;(4)z=z;(5)z=zzR

(6)i4n+1=i,i24n+2=−1,i4n+3=−i,i4n+4=1;

2(7)(1i)1+i1−i1i=i;(8)=i,=−i,=i 1−i1+i2−1+3i3n+1=,3n+2=,3n+3=1 是1的立方虚根，则1++2=0，2(9)设=