高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

第三章 导数及其应用1、变化率与导数1、定义：设在处取得一个增量yfxxx0.xx0y函数值也得到一个增量称为从到y,x0x0xx的平均变化率.若当时时，有极限存在，x0则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，yxx0fx0xfx0y记为，也称为函limlimx0xx0x数在处的导数，记作或yxx0,即f＇x0limx0f＇＇x0yxx0fx0xfx0.x说明：导数即为函数在处的瞬时变化率yfxxx0.2、几何意义:x0时，Q沿图像无限趋近于点时，切线的斜率fxPPT.即f＇x0kPT.3、导函数（简称为导数）yf＇＇＇＇yfx称为导函数，记作，即limx=y=x0fxxfxylim.xx0x2、常见函数的导数公式1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2 若f(x)x,则f(x)x1;3 若f(x)sinx,则f(x)cosx4 若f(x)cosx,则f(x)sinx;5 若f(x)a,则f(x)alna6 若f(x)e,则f(x)exxxx1xlna18 若f(x)lnx,则f(x)xx7 若f(x)loga,则f(x)3、导数的运算法则1. [f(x)g(x)]f(x)g(x)2. [f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3. [f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]2四、复合函数求导yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数，则yf(g(x))g(x)5、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增； 如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间fxf＇x=0.fx②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有f＇＇＇fx0fxfxx限个点使，其余恒有则仍为增函数f＇＇fx.0,x0其函数图像为：fxfxx3例如：在fRx上有，其余恒有，仍为f＇＇fx0,x300R上的增函数，（）求单调区间的步骤：2①求的定义域；fx②求导；f＇x③令，解集在定义域内的部分为增区间f＇x0④令，解集在定义域内的部分为减区间f＇x0..说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和“U”“”“”“”.（）一种常见的题型：3已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，“fxf＇x0fx则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！f＇x0”2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：

①若对附近的所有的点，都有x0fxfx0且，则称是函数的一个极fx0=0fx0 大值称是极大值点.x0.fx

②若对附近的所有的点，都有x0fxfx0且，则称是函数的一个极fx0=0fx0 小值称是极小值点.x0.fx说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.

（2）求函数的极值的步骤：

①确定定义区间，求导；f＇x②求方程的解；f＇x=0x0fx0fx0;;③检查左右两边的符号：x0f＇xI、如果在附近的左侧右侧那么是极大值x0f＇＇fx0,x0,II、如果在附近的左侧右侧那么是极小值x0f＇＇fx0,x0,III、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值x0fxx0.说明：在解答过程中通常用列表：

3、函数的最值与导数求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数yf(x)在(a,b)内的极值；②将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路：扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型“”1fxfx0/x/构造efxefxfxx/构造xfxxfxfx///2xf/xfx0nn/n1n1/xfxxfxnxfxxxf3xf/xnfx0构造xnfxx注意对的符号进行讨论2、关系式为减型“”1fxfx0/fxf/xexfxexf/xfx构造x2ex2exe//fxxfxfx/2xfxfx0构造xx2xnf/xnxn1fxxf/xnfxfx/3xfxnfx0构造n2nxn1xxx注意对的符号进行讨论/