1.理解三角形及三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性.
2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.了解多边形的相关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形),探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.
1.在学习三角形的有关线段时,要掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,最主要的是它们的性质以及利用它们解决实际问题.
2.三角形的内角和是学生学过的知识,可以借助复习旧知识,达到学生学习新知识的目的,不仅起到复习的作用,也可以灵活地掌握好新知识.
3.掌握多边形内角和的公式,并能利用它解决有关多边形的问题. 4.指导学生掌握好多边形内角和与外角和之间的联系,并能利用它们解决一些数学问题.
1.三角形的这部分知识在小学阶段已经学习,通过复习,可提高学生的学习兴趣,也可增加学生学习的自信心.
2.在教学中,通过同学之间的互相提问,小组的交流、研讨,提高同学们的合作精神.
3.在学习多边形的内外角和中,通过一些实物的图片,感知到数学来源于实际,也应用于实际.
三角形是一种基本的几何图形,是构建多边形知识体系的基础,也是学习各种特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形与平行四边形等图形知识的基础,在解决实际问题中有着广泛的应用.本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质.在本章中,学生将进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力.
本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为三节:
11.1节研究与三角形有关的线段.首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类.对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边,然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念,同时结合三角形的中线介绍了三角形的重心概念,最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.
11.2节研究与三角形有关的角.对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理;然后由这个定理推出直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”;最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”.
11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式.三角形是多边形的一种,本章借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都由三角形的有关概念推广而来.
【重点】
1.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,并能画出这三种线段. 2.知道三角形具有稳定性,并能利用这种性质解释生活中的一些现象. 3.知道三角形及多边形的内角和计算方法与外角和度数,并能利用它们求解出有关三角形度数的问题.
【难点】
1.对于钝角三角形的三条高线,能准确画出.
2.能利用多边形的内角和公式或外角和,求解出有关多边形的问题,如求边数、角度等问题.
3.能解决有关三角形及多边形的综合性问题.
在认识三角形的过程中,要注意让学生理解三角形的基本元素和各类三角形的特征,要鼓励学生自主探索,大胆猜想,让学生通过剪一剪、拼一拼、做一做等活动探索发现有关结论.与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度,进一步要求可通过后续学习达到.如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了.学生画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明.
要让学生在操作的过程中探索三角形的内角和与外角和.对于三角形的稳定性,要让学生通过实践去感受;待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理.对于多边形的内角和与外角和,要让学生在观察和类比中总结结论,培养学生的数学推理能力,做到合情推理和演绎推理的有机结合.
镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式,通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力.
11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边(1课时) 11.1.2 三角形的高、中线与3课时 角平分线(1课时) 11.1.3 三角形的稳定性(1课时) 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角(2课时) 11.2.2 三角形的外角(1课时) 3课时 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形(1课时) 11.3.2 多边形的内角和(1课时) 单元复习 1课时 2课时
11.1 与三角形有关的线段
1.能正确地利用三角形的三边关系,判断所给的三条线段能否组成三角形.
2.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,能画出这三条线段,并能灵活准确地应用这三条线段的性质解决问题.
3.掌握好三角形的稳定性在实际生活中的运用.
1.经历摆三角形,画三角形、测量三角形的三边长度的过程,培养学生自主、合作、探索的学习方式,并锻炼其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.
2.在学习三角形的稳定性时,可结合实际情况,让学生感受到数学与生活实际的联系.
3.三角形的重心在教学中可结合实际物体,让 学生通过观察与实践找到物体重心.
联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流、归纳,获得必需的数学知识,让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题的意义,激发学生的学习兴趣.
【重点】
1.三角形三边关系和高、中线、角平分线的运用. 2.三角形稳定性的应用. 【难点】
1.在具体的图形中不重复且不遗漏地识别所有三角形. 2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 3.钝角三角形高的画法.
11.1.1 三角形的边
1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形,以及三角形的边、角、顶点等表示方法.
2.能正确地进行三角形的分类.
3.掌握三角形的三边关系,并能利用此关系判定已知三条线段能否构成三角形.
1.通过复习以前的知识,让学生更加容易接受新知识,并能提高学习的积极性,增加学习数学的信心.
2.在讲解三角形的分类时,可结合图形,让同学们更直观地接受新知识. 3.在利用三角形的三边关系解答问题时,要注意让学生有分类讨论的思想,这也是数学思想中的一个很重要的思想.
1.通过三角形三边关系的教学,培养学生的探索精神及分类讨论的思想. 2.通过本课的教学,能够让学生们知道数学知 识体系的连贯性及继承性.
3.在教学的过程中,培养学生勇于探索,敢于质疑的精神.
【重点】 掌握三角形的分类及三角形的三边关系. 【难点】 利用三角形的三边关系解答综合性问题.
【教师准备】 三根有刻度的小棒.
【学生准备】 有刻度的直尺.
导入一:
同学们,你们看这个图案美丽吗?这个图案主要是由什么图形构成的?(学生议论后)我们本节课要继续学习三角形的相关知识. 导入二:
(老师拿出三根不能拼成三角形的小棒)同学们请看,老师手中的三根小棒能首尾相搭组成一个三角形吗?
[设计意图] 学生此时对三角形三边关系的认识还是粗浅的,容易误认为任意长度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同时老师强调首尾相搭,也暗示了对三角形定义的启发,这就为学生认识和探索三角形三边关系做了铺垫.
[过渡语] 在小学的时候,我们仅仅是从形状和角的方面去认识了三角形.如果有人问,什么是三角形?三角形又怎么表示呢?你能做出回答吗?希望大家在接下来的学习中能够解决这些问题. 一、三角形的相关概念
1.三角形的概念.
【学生活动一】 (1)在一张纸上任意画三条线段;(2)在同一条直线上任意画三条线段.
【问题思考】 任意画的三条线段都能组成三角形吗?怎样才能组成一个三角形?
[设计意图] 帮助学生初步领会构成三角形的基本条件之一,即不在同一条直线上的三条线段才能组成三角形.
【学生活动二】 判断下列由三条线段组成的图形是不是三角形.
[设计意图] 三角形概念的获得,要让学生经历其描述的过程,借此培养学生的语言表述能力,加深学生对三角形概念的理解.
三角形定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
[知识拓展] 三角形的特征:三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接.这三点表明三角形是一个封闭的图形.
2.三角形的表示方法.
“三角形”可用符号“Δ”表示,如图所示,顶点(相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点)是A,B,C的三角形,记作ΔABC,读作“三角形ABC”.∠A,∠B,∠C是ΔABC的三个角(相邻两边组成的、位于三角形内部的角叫做三角形的内角,
简称三角形的角);ΔABC的三边(组成三角形的线段叫做三角形的边)分别是
AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示,顶点A,B,C所对的边分别可用a,b, c来表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示.
二、三角形的分类
[过渡语] 三角形的形状多种多样,对多种多样的三角形,怎样进行分类呢? 思路一
【生】 锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.
【师】 刚才大家的分类是按照三角形角的特点划分的,大家还有什么别的分类方法吗?
【生】 可以按照三角形的边长进行分类.
【师】 是根据不同的三角形边的长度进行分类,还是同一个三角形的边长特点进行分类?
【生】 在同一个三角形之内.
【师】 按照边长进行分类,你想的分类标准是什么呢? 【生】 根据是否有相等的边.
【师】 按照这种分类方法,可以把三角形分为哪两大类? 【生】 三边都不相等的三角形和等腰三角形.
【师】 在等腰三角形中,什么样的边是腰呢?等腰三角形的边和角有什么特殊的称呼吗?
【生】 在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
【师】 按照有没有相等的边对三角形进行分类,等边三角形应该划到哪一类当中?
【生】 等腰三角形.
【师】 根据刚才的讨论,大家整理下三角形的分类吧!
[设计意图] 三角形的分类,在小学阶段已经学习过,只不过是比较浅显的内容,所以这里在复习以前知识的基础上进一步深入,特别要强调的是等边三角形是特殊的等腰三角形.
思路二
[过渡语] 我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,如果要按照边的大小关系对三角形进行分类,又应该如何分呢?小组之间进行交流,并说说你们的想法. 【师生活动】 通过讨论,学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类,接着引出等腰三角形及等边三角形的概念,引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系,强化学生对三角形按边分类的理解.
在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.
三角形按边分类:
三边都不相等的三角形
三底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形
等边三角形
[设计意图] 通过这一活动的设计,提高学生分类讨论和归纳概括的能力,加深学生对三角形按边分类的理解. 三、三角形三边之间的关系
[过渡语] 我们在前面把三角形按照边进行分类,其实也是在研究三角形的三边关系.现在我们换个角度,研究三角形两条边的和与第三条边的关系. 探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系.
【情境引入】 如右图三角形中,假设你要从点B出发沿着三角形的边
到点C,有几条路线可选择?各条路线的长一样吗?
【师生活动】 引导学生讨论分析,得到两条路线: (1)B直接到C,即BC.
(2)先由B到A再到C,即BA+AC.
显然,路线(1)中的BC要短一些,即BC BC [设计意图] 分成三种情况验证三角形任意两条边和与第三边之间都存在着这种关系,加深学生对三边关系具有普遍性的认识. 探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系. [过渡语] 三角形的两边的差和第三边又是什么关系呢? 【质疑1】 用测量的方法验证三角形两边之差和第三边的长度关系可以吗?这个办法有说服力吗? 【简评】 可以,但不能做到一一验证,还有不足以让人信服的地方. 【质疑2】 是不是三角形任意两边的差都小于第三边? 【简评】 在ΔABC中,BC [设计意图] 引导学生用推导的方法验证相关的结论,事实上探究二是对探究一的进一步深化,培养学生严密思维的习惯. [过渡语] 学习了三角形三边之间的关系问题,我们就可以利用它解决一些生活实际问题. (教材例题)用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么? 〔解析〕 (1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据周长列出一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明4 cm是底边长还是腰长,故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验. 解:(1)设底边长为x cm, 则腰长为2x cm. 2x+2x+x=18,解得x=3.6. 所以三边长分别为3.6 cm ,7.2 cm,7.2 cm. (2)①当4 cm为底边长时,腰长为7 cm,任意两边之和都大于第三边,故可以构成三角形. ②当4 cm为腰长时,底边长为18-4-4=10(cm), ∵4+4<10,∴不能构成三角形,故舍去. ∴能构成底边长为4 cm的等腰三角形,不能构成腰长为4 cm的等腰三角形. [知识拓展] 三角形两边之和是指任意两边之和.理论依据:两点之间线段最短. 推论:由a+b>c,根据不等式的基本性质,得c-b 已知三角形一边长为5,另一边长为3,求第三边长c的取值范围. 解:因为5-3 d=2 cm,e=3 cm,f=5 cm就不能组成三角形,因为2+3=5. [解题策略] 一般地,判断三条线段能否组成一个三角形时,只需判断两条短的线段之和是否大于最长的线段即可,无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断. 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的分类:三边都不相等的三角形和等腰三角形. 3.在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 注意:三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系.等边三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形. 1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 解析:以最长边为第三边,看其他两边之和是否大于最长边,若大于则能构成三角形;若小于或等于则不能构成三角形.∵1+2<4,∴1,2,4不可能是一个三角形的三边长;∵4+5=9,∴4,5,9不可能是一个三角形的三边 长;∵4+6>8,∴4,6,8能构成一个三角形的三边长;∵5+5<11,∴5,5,11不可能构成一个三角形的三边长.故选C. 2.如果一个三角形的两边长分别是2和4,则第三边长可能是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:本题考查了三角形的三边关系.选项A中2+2=4,不能构成三角形;选项C中2+4=6,不能构成三角形;选项D中2+4<8,不能构成三角形;只有选项B能构成三角形.本题也可以根据三角形的三边关系先确定第三边长x的取值范围是2 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:组成的三角形的情况是:①3,6,8;②3,8,9;③6,8,9三种情况.注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度,即可判定这三条线段能构成一个三角形.三角形的三边关系一般和不等式(组)联系,甚至涉及分类讨论的思想方法.故选C. 11.1.1 三角形的边 一、三角形的相关概念 二、三角形的分类 三、三角形三边之间的关系 探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系 探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系 一、教材作业 【必做题】 教材第4页练习第1,2题. 【选做题】 教材第8页习题11.1第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是 ( ) A.1,2,6 B.2,2,4 C.1,2,3 D.2,3,4 2.一个三角形的三条边长分别为1,2,x,则x的取值范围是 ( ) A.1≤x≤3 B.1 4.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长可以是 ( ) B.3 C.4 D.8 ( ) A.2 5.一个等腰三角形的两边长分别为2.5和5,求这个三角形的周长. 【能力提升】 6.已知一个三角形的两边长分别是4 cm,7 cm,则这个三角形的周长的取值范围是什么? 7.在三角形ABC中,如果AB=3x,AC=4x,BC=21,那么x的取值范围是多少? 【拓展探究】 8.已知a,b,c分别为三角形ABC的三边长,化简:|a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b|. 【答案与解析】 1.D(解析:A选项,1+2<6,故不能构成三角形;B选项,2+2=4,故也不能组成三角形;C选项,1+2=3,故也不能组成三角形; D选项,2+3>4,能构成三角形.故选D.) 2.D(解析:∵已知三角形两边的长分别是1和2,∴第三边长x的范围是1 4.C(解析:因为三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,所以第三边长的取值范围在2与8之间,注意不能等于2和8,根据选项在此之间的偶数只能是4,所以选择C.) 5.解:①若2.5为腰长,则2.5+2.5=5,两边之和等于第三边,所以不能构成三角形.②若5为腰长,则2.5+5=7.5>5,两边之和大于第三边,所以能构成三角形.所以三角形的周长为2.5+5+5=12.5. 6.解:根据构成三角形的条件得:第三边长的范围为 3 cm<第三边长<11 cm,则此三角形的周长范围是14 cm<周长<22 cm. 7.解:由三角形三边的大小关系可得3x+4x>21,且4x-3x<21,可解得3 等于它的相反数,得原式 =a+b-c-[-(b-a-c)]-(c-a+b)=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c. 本课是由日常生活情景引入的,这样有利于增强学生的学习兴趣,也能让学生知道数学来源于实际,又反作用于实际. 本节的重点与难点均是三角形的三边关系,要求学生能利用此定理判定所给的三条线段能否组成三角形,如果老师直接给出定理,学生的理解会不深.教案的设计思路是让学生通过自己的思考得出结论,不是直接去接受结论,而是让学生亲自实践,这样既增强了学生的动手能力,也能让他们更加深刻地理解三角形三边关系定理:三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边,还能让他们在解答问题时,更加游刃有余. 在刚开始阶段引入三角形的定义时,学生在画三条线段的环节中,应该对所画的线段提出不同的要求,这样更有利于学生给三角形做出严密的定义.还有此处应该添加一些简单的练习,让学生即时练习,能让他们更加深刻地接受三角形的有关定义,并能熟练地运用它们,为后续的学习打下良好的基础. 在引入三角形的定义时,要更加严谨,如“由不在同一条直线上”这句话,老师要让学生思考这样说的原因,另外在定义教学后,即时给出一些练习,让学生巩固所学的知识,在讲解三角形的分类时,也要这样,给出些练习,让学生巩固,并加深对它们的理解. 在讲解三角形的三边关系时,可让学生自己也准备一些这样的带刻度的小棒,让每一位学生都参与进来,这次参与的学生少,只起到演示的作用了,还是多多给学生参与的机会为好. 练习(教材第4页) 1.解:图中有5个三角形,分别是ΔABC,ΔBCD,ΔBCE,ΔABE,ΔCDE. 2.解:(1)不能组成三角形,因为3+4<8,即两条线段的和小于第三条线段,所以不能组成三角形. (2)不能组成三角形,因为5+6=11,即两条线段的和等于第三条线段,所以不能组成三角形. (3)能组成三角形,因为任意两条线段的和都大于第三条线段. 中学数学学习的是数学学科的基础知识,而数学作为研究数量关系和空间形式的科学,是人们实践中出现的种种数学现实的反映,也是人们不断研究、创造的知识体系,是人们在各类科研和生产实践中的有力工具,具有广泛的应用性.数学教学必须重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性,揭示数学理论是怎么从现实世界中得到并不断发展的, 必须重视数学知识体系的条理性、逻辑性,也应该重视数学在实践中的巨大作用. 长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 〔解析〕 四根木条中的三根的所有组合:9,6,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5;9,6,4和6,5,4.故选C. 〔方法指导〕 要把四根木条中的三根的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数. 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念. 2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法. 3.能利用三角形的高、中线、角平分线的性质解决问题. 1.经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念、推理能力及创新精神. 2.学会用数学知识解决实际问题,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力. 1.鼓励学生主动参与,感受成功的乐趣,体验几何知识在现实生活中的真实性,激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情. 2.通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心. 【重点】 1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线. 2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线所在直线分别交于一点. 【难点】 1.三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别. 2.钝角三角形高的画法. 3.不同的三角形三条高的位置关系. 【教师准备】 三角板、直尺、量角器、本节课的课件. 【学生准备】 三角板、直尺、量角器、三角形纸片. 导入一: 如下图,图中右侧支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢?这就涉及我们本节课所学的三角形高的问题. 导入二: 同学们,我们以前学习过了“过一点画已知直线的垂线”,谁能说一说是怎样画的?(同学们纷纷发言,老师可让几名同学到黑板上演示一下,然后让其他学生都拿出本来,过一点画已知直线的垂线,注意画法的规范性) 你们知道过三角形的一个顶点如何画三角形的高吗?这节课我们就来研究这个问题.(老师书写板书) [设计意图] 本节的知识与以前学习过的“过一点画已知直线的垂线”的画法有着非常大的联系,此导入不仅复习了旧知识,也能对以后要学习的三角形的高起到预热的作用. 导入三: (1)复习提问三角形的定义.(由三条线段首尾相接组成的图形) (2)三角形的面积公式是什么? SΔ= ah. (3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗?引出课题. [设计意图] 直接从学生已有的知识出发,既达到了复习旧知识的目的,也引入了本节的内容,此设计自然、简捷. [过渡语] 过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗?(引出三角形的高) 一、 三角形的高 【学生活动一】 让学生动手画出一个锐角三角形的高,然后找学生描述三角形的高的画法与定义. [设计意图] 借助学生对问题的解决,唤醒学生对三角形的高的认识,有助于新知识的理解,并且发展学生的观察力与语言表述能力. (教师总结三角形的高的定义并板书)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高. 如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC,点D是垂足,所以AD是ΔABC的一条高. 引导学生注意垂直符号的书写. [过渡语] 现在同学们已经会画三角形的高了,用折纸的方法也可作出三角形的高,快拿出你们的三角形纸片,动手做一做. 【学生活动二】 让学生拿出事先准备好的三角形纸片,用直尺与三角板作出这个三角形的三条高,然后用折纸的方法,观察这三条高的位置关系,你有什么发现?如果已知三角形的一条高,你知道它是哪一条边上的高吗? [设计意图] 同学们动手作出三角形的高,既培养了他们的动手操作能力,也能很方便地观察到三角形的高相交于一点的事实. 【师生共同总结】 锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部.如图所示. [过渡语] 锐角三角形的高我们可以画出了,现在试试直角三角形的高怎么画. 【学生活动三】 在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法,画出它的三条高,它们有怎样的位置关系? 将你的结果与同桌进行交流. [设计意图] 通过同学们自己动手探索、研讨,可以使他们对直角三角形的三条高有更深刻的认识,并提高同学们的合作意识. 【师生共同总结】 直角三角形的三条高交于一点,即是直角三角形的 直角顶点.如图所示. [过渡语] 就差钝角三角形的高了,同学们快试试吧! 【学生活动四】 画一个钝角三角形,让学生尝试画出它的三条高,或通过折纸的方法找到它的三条高.观察三条高,看它们有什么样的位置关系. 为强调作图,可进行投影.将BC与顶点A调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,引导学生自己作出不同三角形的高.在同学们发现作一条高时,一条边不够长的时候,教师要提示学生们,可以把所在边的线段进行延长. [设计意图] 钝角三角形的三条高,对同学们来说,画法是一个难点,为了突破难点,把幻灯片中的边与对应顶点调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,帮助同学们画出外面的两条高线. 【师生共同总结】 钝角三角形的三条高中,有两条在外面,一条在内部, 且它们所在直线交于一点. 如图所示. 表述:如图,因为AD是ΔABC的高(已知),所以AD⊥BC于D(或∠ADB=∠ ADC=90°). 因为AD⊥BC于D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知),所以AD是ΔABC的边 BC上的高.(高的定义) [知识拓展] 钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高在三角形的内部,相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形的外部,一条高在三角形内部,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点. 二、三角形的中线 [过渡语] 你能画一条线将三角形的面积平分吗? (学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引入三角形的另一条特殊的线段——三角形的中线. 思路一 【学生活动一】 学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗? 【师生共同总结】 三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线. [设计意图] 让同学们自己动脑思考,这样得出的结论,学生印象更深刻,对于知识的理解与掌握更全面. 【学生活动二】 让学生任意画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨. (老师可多让几名同学发言,分别指出他们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了) 【师生共同总结】 任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. [设计意图] 让同学们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论,并且在与同桌的研讨中,体验学习的乐趣与分享的快乐. 思路二 指导学生阅读教材第4~5页的内容,思考如下问题: (1)什么是三角形的中线? (2)三角形的中线有几条? (3)三角形的三条中线是否相交于一点? (4)什么是三角形的重心? (5)一块三角形的玻璃,利用圆规的尖脚,你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗? 表述:如图,AD是ΔABC的边BC上的中线(已知),所以BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC或D为BC的中点. 因为BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点(已知),所以线段AD为BC上的中线(中线定义). [知识拓展] (1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形内部,相交于一点. (2)三角形的中线是一条线段. (3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 三、三角形的角平分线 [过渡语] 三角形中除了三角形的高,三角形的中线之外还有没有特殊的线段呢?答案是肯定的,还有一类线段就是三角形的角平分线.角的平分线同学们都已经会画了,那你能不能画出一个三角形的三个角的平分线呢?同学们快动手试试吧! 【学生活动】 同学们先画出一个任意三角形,分别画出一个三角形中的三个角的平分线,同时观察这三条角平分线的位置有哪些特点. (要提醒学生三角形形状的多样性,同时要注意作图的规范性,可用量角器量) 【师生共同总结】 三角形的角平分线定义:连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线. (最后老师要强调三角形的角平分线是三条线段,而一个角的平分线是一条射线) [设计意图] 通过与以往角的平分线的画法比较,学生会比较容易接受此定义,既复习了旧知识,也能促进对新知识的理解. 表述:如图,因为BD是ΔABC的角平分线(已知),所以∠ABD=∠CBD=∠ ABC. 因为∠ABD=∠CBD或∠CBD=∠ABC,或∠ABD=∠ABC(已知),所以线段BD是ΔABC的角平分线.(三角形的角平分线定义) [知识拓展] (1)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形内部,相交于一点. (2)三角形的角平分线是线段,而角的平分线是一条射线. 如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰 三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长. 〔解析〕 由题意可知,中线BD将ΔABC的周长分成AB+AD和BC+CD两部分(注意不是AB+AD+BD和BC+CD+BD两部分),故有两个可能:(1)AB+AD=15且BC+CD=6;(2)AB+AD=6且BC+CD=15.再由 AB=AC=2AD=2CD及三角形三边关系知(1)成立,(2)不成立. 解:设AB=AC=2x,则AD=CD=x. (1)当AB+AD=15,BC+CD=6时, 有2x+x=15, 所以x=5,2x=10,BC=6-5=1. (2)当AB+AD=6,BC+CD=15时, 有2x+x=6. 所以x=2,2x=4,所以BC=13. 因为4+4<13,所以不能组成三角形. 答:三角形的腰长为10,底边长为1. [解题策略] 涉及等腰三角形边的问题时,常要分情况讨论,然后看它们是否满足三边关系,不满足的要舍去. [知识拓展] (1)三角形三条高线所在直线交于一点,这一点常被称为这个三角形的垂心. (2)三角形三条中线交于三角形内的一点,这一点叫做三角形的重心,取一块质地均匀的三角形木板,用手指向上顶住三角形重心,木板会保持平衡. (3)三角形三条角平分线交点在三角形内部,它被称为三角形内心. 1.三角形的高、中线、角平分线都是线段. 2.三角形的高(所在直线)、中线、角平分线都相交于一点,钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外一点. 1.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:锐角三角形三条高交于三角形的内部,钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部,只有直角三角形的高的交点在直角顶点.故选C. 2.在ΔABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且SΔABC=4 cm2,则SΔAEF的值为( ) A.2 cm2 B.1 cm2 C. cm2 D. cm2 解析:利用中线平分三角形的面积来做.故选C. 3.如图所示,在ΔABC中,D,E是BC,AC上的两点,连接BE,AD交于F. (1)图中有几个三角形?并表示出来. (2)ΔBDF的三个顶点是什么?三条边是什么? (3)AB边是哪些三角形的边? (4)F点是哪些三角形的顶点? 解:(1)图中共有8个三角形,分别是ΔBDF,ΔBDA,ΔBFA,ΔAEF,ΔAEB,Δ ADC,ΔBCE,ΔABC. (2)ΔBDF的三个顶点是B,D,F,三条边是BD,DF,BF. (3)AB边是ΔABF,Δ ABD,ΔABE,ΔABC的边. (4)F点是ΔBDF,ΔABF,ΔAEF的顶点. 4.在ΔABC中,AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24和30两个部分,求三角形的三边长. 解析:分两种情况讨论:AB+AD=30,BC+DC=24或 AB+AD=24,BC+DC=30,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可 求得三边长. 解:设三角形的腰AB=AC=x,若AB+AD=24,则:x+x=24,所以x=16.又三 角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为16,16,22.若AB+AD=30,则:x+x=30,所以x=20.因为三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为 20,20,14.因此,三角形的三边长为16,16,22或20,20,14. 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 一、三角形的高 二、三角形的中线 三、三角形的角平分线 一、教材作业 【必做题】 教材第5页练习第1,2题. 【选做题】 教材第8页习题11.1第3,4题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下面判断正确的有 ( ) ①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线;②三角形的中线、角平分线、高都是线段;③一个三角形有三条角平分线和三条中线;④直角三角形只有一条高;⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.如图所示,在ΔABC中,D是BC边上的任意一点,AH⊥BC于H.图中以AH为高的三角形个数为 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ( ) 3.如图所示,下列说法正确的是 ( ) A.如图甲,由AB,BC,DE三条线段组成的图形是三角形 B.如图乙,已知∠BAD=∠CAD,则射线AD是ΔABC的角平分线 C.如图丙,已知点D为BC边上的中点,则射线AD是ΔABC的中线 D.如图丁,已知ΔABC中,AD⊥BC于D,则线段AD是ΔABC的高 4.如图所示,在ΔABC中,EF∥AC,BD⊥AC于D,BD交EF于G,则下面说法中 错误的是 ( ) A.BD是ΔABC的高 B.CD是ΔBCD的高 C.EG是ΔBEG的高 D.BE是ΔBEF的高 5.在ΔABC中,∠A=80°,I是∠B,∠C的平分线的交点,则∠ BIC= . 【能力提升】 6.如图所示,BD是ΔABC的中线,AD=2,AB+BC=5,则ΔABC的周长是 . 7.直角三角形中,两锐角的平分线所夹的锐角是 度. 【拓展探究】 8.如图所示,AD为ΔABC的中线,BE为三角形ABD中线. (1)在ΔBED中作BD边上的高; (2)若ΔABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少? 【答案与解析】 1.A 2.D 3.D(解析:A项错在三角形是由三条线段首尾顺次相接而成的,B项错在三角形的角平分线应该是线段;C项错在三角形中线应该是线段.故选D.) 4.D 5.130°(解析:由∠A=80°可知∠ABC+∠ACB=100°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,可求∠IBC+∠ICB的度数,再利用三角形内角和定理求∠BIC.∵∠ A=80°(已知),∴∠ABC+∠ACB=100°(三角形内角和定理),又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,∴∠IBC+∠ICB =(∠ABC+∠ACB)=50°,∴∠BIC=180°-(∠ IBC+∠ICB)=130°.故填130°.) 6.9(解析:∵BD是ΔABC的中线,∴D是AC的中 点,∴DC=AD,∵AD=2,∴AC=AD+DC=4,∵AB+BC=5,∴ΔABC的周长=AB+BC+AC=5+4=9.) 7.45(解析:如图所示,ΔACB为直角三角形,AD,BE分别是∠CAB和∠ABC的平分线,AD,BE相交于一点F.∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.∵AD,BE分别是∠CAB和∠ABC的平分线,∴∠FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45°.从而可 知所求角为45°.故填45.) 8.解:(1)如图所示,EF即是ΔBED中BD边上的高. (2)∵AD为ΔABC的中线,BE为三角形ABD中线,∴SΔBED=SΔABC=×60=15.∵BD=5,∴EF=2SΔ BED÷BD=2×15÷5=6,即点E到BC边的距离为6. 本节的教学以定义为主,图形是同学们非常熟悉的三角形.以前同学们都接触过高线,钝角三角形高线的画法是本节的难点,为了突破难点,在教学设计上,以同学们思考、研讨为主,老师利用课件中的图形闪烁来提示同学们.这样,比老师单纯教要好得多,同学们可以对高线的画法印象更深刻.在与同学们的交流中,也可得到认同感,提高学生学习数学的信心与兴趣. 三角形的中线及角平分线的教学中,为了让学生更能感觉到一个三角形中的三条高线(所在直线)、中线、角平分线都相交于一点,教师让同学们用折纸的方法,实物验证,从而让学生在实际操作中感受到这些线的特点. 通过同学们的互动及老师的讲解,同学们对三角形的中线、角平分线及高线的画法都掌握得不错,为了能对知识有更牢固的印象,应该在讲授新课的同时,增加一些当堂小练习,让同学们更加牢固地掌握. 为了让同学们对三角形的中线、角平分线、高线的知识掌握得更深刻,增加一些小练习,即在每讲完一个知识点后,给出一些基本的小练习.本节的难点是钝角三角形高线的画法,可多增加些时间,让学生们多练习一下,教师可增加些判断题、选择题和操作题的题型,以增加学生对知识的巩固和提高. 练习(教材第5页) 1.解:(1)中∠B是锐角,高AD在ΔABC内部. (2)中∠B是直角,高AD与边AB重合. (3)中∠B是钝角,高AD的垂足在CB的延长线上,即高AD在ΔABC的外部.规律:当∠C是锐角时,如果∠B是锐角,高AD在ΔABC的内部,如果∠B是直角,高AD与边AB重合,如果∠B是钝角,高AD的垂足在CB的延长线上,即高AD在ΔABC的外部. 2.(1)AF(或BF) CD AC (2)∠2 ∠ABC ∠4(或∠ACF) 如图所示,在ΔABC中,AD是角平分线,∠B=60°,∠C=45°,求∠ADB和∠ADC的度数. 〔解析〕 在ΔABC中,由∠B与∠C的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数,由AD为∠BAC的平分线,利用角平分线定义求出∠BAD的度数,在ΔABD中,由∠B与∠BAD的度数求出∠ADB的度数,即可求出∠ADC的度数. 解:∵∠B=60°,∠C=45°, ∴∠BAC=180°-60°-45°=75°, ∵AD为∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°, 在ΔABD中,∠ADB=180°-∠BAD-∠B=82.5°, 则∠ADC=180°-∠ADB=97.5°. 如图,在ΔABC中,AD是BC边上的中线,ΔABD的周长比ΔACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗? 〔解析〕 由AD是BC边上的中线,可得BD=CD,分别求出ΔABD的周长和ΔACD的周长,根据ΔABD的周长比ΔACD的周长小5列方程求解. 解:能. ΔABD的周长=AB+BD+AD, ΔACD的周长=AC+CD+AD, 因为AD是BC边上的中线, 所以BD=CD. 因为ΔABD的周长比ΔACD的周长小5, 所以AC+CD+AD-(AB+BD+AD)=AC-AB=5. 如图所示,在ΔABC中,AD,BE,CF是三条中线,它们相交于同一点 O,则ΔAOF的面积和ΔAOE的面积是否相等?为什么? 〔解析〕 三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分,本题中除了AD,CF,BE可以看作中线外,OF,OE,OD也可以看作中线. 解:这两个三角形的面积相等.理由如下: ∵AD,BE,CF是三条中线, ∴SΔABD=SΔADC=SΔACF=SΔBCF=SΔABE=SΔBCE=SΔABC, ∴SΔBOD=SΔAOE,SΔAFO=SΔCOD, ∵BD=CD,∴SΔBOD=SΔCOD, ∴SΔAOE=SΔAFO. 即ΔAOF的面积与ΔAOE的面积相等. 〔解题策略〕 寻找这两个三角形面积的关系,需知面积公式,即三角形的面积=×底×高.这道题运用了“同高等底的两个三角形的面积相等” .要知 道这个结论,并且会运用它. 11.1.3 三角形的稳定性 1.通过观察、实践、想象、推理、交流等活动,了解三角形具有稳定性和四边形不具有稳定性. 2.能判断一般的图形是否具有稳定性. 1.通过提问,让学生通过小组交流等方式探究三角形的稳定性. 2.在实物演示的过程中,激发学习兴趣,活跃课堂气氛. 1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性和四 边形的不稳定性,培养其独立思考的学习习惯和动手能力. 2.通过合作交流,使学生养成互助合作意识,提高数学交流表达能力. 【重点】 了解三角形稳定性和四边形的不稳定性在生产、生活中的应用. 【难点】 能正确利用三角形的稳定性解决实际问题. 【教师准备】 木条(用硬纸条代替)若干、小钉若干;划分学习小组. 【学生准备】 复习三角形的相关知识. 导入一: 【问题】 通过观察,你发现生活中哪些物体的形状是三角形的? 【师生活动】 学生汇报观察结果:房梁、建筑工地的脚手架、自行车车架、乐谱架、起重机的起重臂等. 【师】 生活中有很多物体的形状是三角形的,为什么要把它们做成三角形呢?我们这节课就来研究三角形的稳定性. [设计意图] 通过实例,让学生感受到三角形的稳定性在实际中的应用,也尽量启发学生,想到三角形的稳定性. 导入二: 【师】 如图,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 【生】 为了让它更牢固. 【师】 这节课我们就来研究三角形的这种稳定性. [设计意图] 让同学们产生好奇感,在下面的教学中,学生的精力会更专注,更愿意去探索问题,找到答案. 导入三: 教师拿出三根木条,用钉子把三个顶点固定好,让同学们猜测,此三角形能不能变形?这说明什么问题呢? [设计意图] 让同学们体会到三角形具有稳定性这个性质是真实存在的,是与我们的生活息息相关的. [过渡语] 通过刚才的学习,同学们对三角形有没有什么特殊的认识了呢? 一、三角形具有稳定性 【学生活动一】 把同学们四人分成一组,发给3张硬纸条,3枚钉子,分组合作探究实验.如图所示,把三张硬纸条用钉子钉成一个三角形,然后扭动它,它的形状会改变吗?这说明什么问题? (教师巡回检查并指导,指定个别同学归纳结论) 【师生共同总结】 如果一个三角形的三条边固定了,那么三角形的形状和大小也就完全确定了,在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. 【学生活动二】 同学们想一想,在现实生活中,三角形的稳定性有哪些方面的应用呢?举例子说明.(对于学生的发言,只要符合实际,教师都要给予肯定) [设计意图] 通过此活动,既让学生掌握了三角形的稳定性的性质,也让学生感受到三角形的稳定性在实际生活中的应用. 二、四边形不具有稳定性 [过渡语] 三角形具有稳定性同学们都知道了,你们想知道四边形是否具有稳定性吗?五边形呢? 【学生活动一】 如图所示,4张硬纸条,4枚钉子钉成一个四边形,然后扭动它,看看它的形状会不会改变. [设计意图] 让同学们通过动手实验,感受到四边形的不稳定性,通过小组合作,也能让同学们借鉴好的学习方法,增加学习的信心与热情. [过渡语] 能不能让不稳定的四边形变稳定呢?假如利用四根小木条钉成了一个四边形,想一想怎么办?比一比哪组的学生最聪明? 【学生活动二】 学生以组来汇报讨论结果,并展示其成果.可能出现多种方法: 方法一:在木条衔接处用粗钉子钉牢; 方法二:沿四边形的对角线加一根木条,如图①; 方法三:在对边之间加一根木条,如图②; 方法四:加两根木条,如图③. 学生自己评说各小组的加固方法. 教师适当引导,让学生给“加固”后的四边形框架施加较大外力,验证其牢固程度. 说明:(1)当给四边形加一根支架,出现了三角形时,四边形就能稳定.如方法二,但当四边形没有出现三角形时,还不会稳固,如方法一、三. (2)方法四的四边形虽然稳定,但多加了木条,会浪费材料的. 【师生共同总结】 在四边形木架上最少再钉上一根木条,将它的相对顶点连接起来,它的形状就不会改变. 【学生活动三】 让小组同学用5张硬纸条,5枚钉子钉成一个五边形纸架,看看它的形状会不会改变?如果能改变的话,至少要用几张硬纸条能使它变稳定?要是其他的多边形呢?有什么规律?你有什么发现吗? 【师生共同总结】 要使四边形具有稳定性至少用一根木条,五边形至少用两根,六边形至少用三根,…,n边形至少用(n-3)根. 三、四边形不稳定性的应用 [过渡语] 同学们,我们现在都知道了四边形不具有稳定性,那么这种性质是不是就没有可用之处了呢?我们能不能令这种不稳定性为我们所用呢?想一想,现实生活中,有没有这方面的应用呢? (教师举例后让学生进行交流) 活动挂架 [设计意图] 通过对四边形不稳定性的应用,可让同学们知道凡事都有两面性,要用一分为二的观点看问题,用其所长. [知识拓展] 四条边以及四条边以上的物体不具有稳定性.要使一个图形具有稳定性,就是要使它的基本组成部分构成三角形. 小明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF(如图所示), 为使这一钢架稳固,他计划用三根钢管连接使它不变形.你能帮助小明想办法来解决这个问题吗? 〔解析〕 把此六边形分割成几个小三角形即可. 解:如图所示都可以,答案不唯一. 1.三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性. 2.三角形的稳定性和四边形的不稳定性都有各自的应用. 1.下列图形中,具有稳定性的是 ( ) 解析:只有三角形具有稳定性.故选C. 2.铁栅门和多功能衣架能够伸缩自如,是利用四边形的 . 答案:不稳定性 3.要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少要钉上 根木条. 解析:n边形木架要想不变形,必须添加(n-3)根木条.故填2. 4.起重机的底座、人字架、输电线路支架等,在日常生产、生活中,很多物体都采用三角形结构,是利用三角形的 . 答案:稳定性 11.1.3 三角形的稳定性 一、三角形具有稳定性 二、四边形不具有稳定性 三、四边形不稳定性的应用 一、教材作业 【必做题】 教材第7页练习. 【选做题】 教材第8页习题11.1第5,8题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列图形具有稳定性的是 ( ) A.梯形 B.五边形 C.三角形 D.正方形 2.在建筑工地我们常常可以看到右图,用木条EF固定矩形门框ABCD的情 形,这种做法根据 ( ) A.两点间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形具有稳定性 D.矩形的四个角都是直角 3.有下列图形:①正方形;②长方形;③直角三角形;④平行四边形.其中具有稳定性的是 .(填序号) 4.如图,一扇窗户打开后,用窗钩BC可将其固定,这里所运用的几何原理是 . 5.要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形,至少钉上几根木条?五边形和六边形木架呢?(画图并回答) 【能力提升】 6.五边形ABCDE是一个形状不稳定的图形,怎样使其形状稳定?并说明理由. 7.如图,是一种衣帽架,它是用木条构成的几个连续的菱形(四条边都相等),每一个顶点处都有一个挂钩,不仅美观,而且实用,你知道它能收缩的原因吗? 【拓展探究】 8.(1)下列图形中具有稳定性的是 ;(填序号) (2)对不具有稳定性的图形,请适当地添加线段,使之具有稳定性; (3)图⑤所示的多边形共有 条对角线. 【答案与解析】 1.C 2.C 3.③ 4.三角形的稳定性 5.解:四边形木架至少钉一根木条;五边形木架至少钉两根木条;六边形木架至少钉三根木条. 6.解:可利用三角形的稳定性,想办法把其转化为三角形即可,即从一个顶点出发,向与其不相邻的顶 点引线段,分割成三角形即可.(答案不唯一) 7.解:这种衣帽架能收缩是利用了四边形的不稳定性. 8.解:(1)①④⑥ (2)如图所示(答案不唯一). (3)9 本节是与实际生活联系非常紧密的一节课,知识性的道理也很浅显,所以在教学设计上,注重学生动手实践,这样他们既能很好地理解与接受知识,也能增加他们对数学的兴趣,加强数学与实际生活的联系.通过小组合作,同学们也能增加合作意识,为以后的学习生活打下良好的基础.在介绍完三角形的稳定性之后,教师适时地让学生感受四边形的不稳定性,使学生深刻地认识到四边形的不稳定性在生活中的应用,增强了学生对知识的理解. 本节课虽然从整体上来说教学难度不大,学生 非常容易接受、理解,但这里也有一个难点,就是如何利用三角形的稳定性让多边形牢固,让学生探究怎样加最少的木条.在难点突破上,虽然有所设计,但是还不够,时间有些短,另外学生动手操作也少. 为了能突破难点,以后的教学中,可在此处多花费些时间,多给学生动手、交流、讨论的机会,让他们自己探索,找到问题的答案,这样同学们掌握起来也会非常顺利,并且印象深刻. 在小组总结时,可选出一位代表,如果其他小组没有总结出,也没关系,让他们听听其他小组的总结,得到答案,因为同学们的思想容易交流、接受,同学们之间的交流要比老师的直接灌输要强很多. 练习(教材第7页) 解:图形(1),(4),(6)具有稳定性. 习题11.1(教材第8页) 1.解:图中有6个三角形,分别是ΔABD,ΔABE,ΔABC,ΔADE,ΔADC,ΔAEC. 2.解:有2种选法,三根木条的长度分别为10,7,5或7,5,3.因为三角形的三边关系是:三角形任意两边的和大于第三边. 3.解:如图所示,其中AD为中线,AE为角平分线,AF为高. 4.(1)CE BC (2)∠CAD ∠BAC (3)∠AFC (4)BC·AF(提示:利用三角形 的中线、高、角平分线的定义来解答.) 5.C(提示:正方形、长方形和平行四边形都是四边形,不具有稳定性,只有直角三角形具有稳定性.故选C.) 6.解:若腰长为6 cm,则底边长为20-6×2=8(cm);若底边长为6 cm,则腰长为(20-6)×=7(cm).答:其他两边的长为6 cm,8 cm或7 cm,7 cm. 7.解:(1)若腰长为5,则周长为5+5+6=16;若腰长为6,则周长为5+6+6=17. (2)若腰长为4,由于4+4<9,不能组成三角形,因此腰长不能为4;若腰长为9,则周长为9+9+4=22. 8.解:由三角形的面积公式,得BC·AD=AB·CE,即BC·AD=AB·CE,因为 AB=2,BC=4,所以4AD=2CE,所以AD∶CE=1∶2. 9.解:∠1与∠2相等,因为DE∥AC,所以∠1=∠CAD.因为DF∥AB,所以∠2=∠BAD.因为AD是ΔABC的角平分线,所以∠BAD=∠CAD,所以∠1=∠2. 10.解:要使四边形木架不变形,至少要再钉上1根木条,要使五边形木架不变形,至少要再钉上2根木条,要使六边形木架不变形,至少要再钉上3根木条. (1)在所有的多边形中,只有三角形具有稳定性.在现实生活中,三角形的稳定性和其他多边形的不稳定性都有各自的应用. (2)①“三角形的稳定性”与②“两点之间线段最短”及③“两点确定一条直线”的应用容易混淆.应用时要注意把握它们的特点:①是用在固定某些物体;②是使路线最短;③是确定一条直线. (3)使四边形乃至多边形具有稳定性的方法是把它们分割成三角形. 如图,推拉门利用平行四边形的 . 〔解析〕 由平行四边形的特性可知,平行四边形具有不稳定性,容易变 形. 〔答案〕 不稳定性 〔解题策略〕 四边形的一个很大特征是具有不稳定性,此性质在实际中的一些应用要求同学们理解. 11.2 与三角形有关的角 1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单运用. 2.掌握三角形的外角的定义,三角形内角和定理的两个推论及其证明. 3.体会几何中不等关系的简单证明. 1.通过探索“三角形内角和定理”及其推论,培养学生的探索能力和实践操作能力. 2.在学习了三角形的内角和外角后,能运用所学知识解决简单的问题,训练学生对所学知识的运用能力. 1.通过让学生积极参与数学学习活动,培养学生对数学的好奇心与求知欲. 2.由具体实例的引导,让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,体验数学活动充满着探索与研究. 【重点】 1.三角形内角和定理. 2.三角形的外角的性质. 【难点】 三角形的内角和定理以及三角形外角性质的应用. 11.2.1 三角形的内角 1.理解三角形内角和定理的内容,能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题. 2.掌握直角三角形的两个锐角互余,能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形形状进行判定. 经历探究活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理. 在动手操作,活动探究中培养学生的学习兴趣. 【重点】 1.三角形内角和定理. 2.直角三角形的两个锐角的关系. 【难点】 三角形内角和定理的推理过程. 第 课时 1.理解“三角形的内角和等于180°”及其推理过程. 2.能运用三角形内角和定理解决问题. 1.通过测量、猜想、推理等数学活动,探索三角形的内角和,感受数学思考过程的条理性,发展合情推理能力和语言表达能力. 2.理解三角形内角和的计算、验证,掌握把三个内角集中在一起转化为一个平角的方法. 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展同学们的合情推理能力,逐步养成和获得数学说理的习惯与能力. 【重点】 三角形内角和定理的推导及应用. 【难点】 三角形内角和定理的推导、验证过程. 【教师准备】 课前布置学生预习. 【学生准备】 硬三角形纸板,量角器. 导入一: (展示情境)如图所示,在一个直角三角形里住着三个内角,平时三兄弟非常团结,可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!”老大说:“不行啊!这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了……”“为什么?” 老二很纳闷. 同学们,你们知道其中的道理吗? [设计意图] 通过富有情趣的故事引入,激发学生学习的兴趣,能够引导学生积极投入思考中,为新知的学习做好设疑. 导入二: 【提出问题】 1.三角形有几个内角呢? 2.三角形按角分类有哪几种呢? 3.三角形的内角和是指什么呢? [设计意图] 由学生熟知的知识引入课题,不仅复习回顾旧知,也为学习新知做好知识储备,为学习新知奠定基础. [过渡语] 在小学我们学习过,三角形的内角和为180°,那么我们用什么方法进行验证或证明呢? 一、三角形内角和定理的验证 1.量一量:一副三角板的每个角各是多少度?一副三角板三个内角的和各是多少? 2.猜一猜:任意一个三角形的三个内角和都相等吗?是多少度呢? 3.动动手,仔细观察: (1)拼拼看,将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角? (2)观察,小组内观察比较,会得出什么结论? 【学生活动】 学生根据探究步骤,依次进行猜想、测量、拼接等活动,获得对于三角形内角和的认识,同时小组内进行讨论,全班展示,如图所示. 【结论】 三角形的内角和是180°. 【教师活动】 教师深入参与活动,指导、倾听学生交流,引导学生通过多种方法说明三角形的内角和为180°,通过多媒体进行展示拼接过程. [设计意图] 通过动手操作,使学生从中体验数学学习的乐趣,并在教师的引导下,从动手操作中发现三角形内角和定理的证明方法. 二、三角形内角和定理的证明 思路一 [过渡语] 如果我们不用测量、剪拼的办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢? 【师生活动】 教师引导学生借助拼接方法,进行小组讨论,借助辅助线进行解答,学生依据拼接的方法进行讨论、交流,教师做好引导和指导工作. 【师生共同完成证明过程】 证明:如图所示,过点A作DE∥BC, ∵DE∥BC, ∴∠B=∠1,∠C=∠2(两直线平行,内错角相等), ∵∠BAC+∠1+∠2=180°, ∴∠BAC+∠B+∠C=180°, 即三角形的内角和为180°. 教师强调:辅助线的添加方法,证明思路为将三角形的三个角转化为一个平角,利用平行线的性质进行证明. [设计意图] 使学生对三角形内角和的感性认识上升到理性认识,由于学生刚刚开始接触证明,所以教师必须要有规范性示范,使学生逐步掌握推理的方法步骤. 思路二 [过渡语] 结合其他的拼接方法,你还能得到怎样的证明方法?还有其他的证明方法吗? 【师生活动】 学生根据已有的证明方法和拼接经验,自主思考三角形内角和定理的证明过程,最后小组讨论,师生交流得到证明方法,学生书写证明过程. 辅助线的作法:(1)如图所示,延长BC,过点C作CN∥AB. ∵CN∥AB, ∴∠ACN=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠NCM=∠B(两直线平行,同位角相等). ∵∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°, ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. (2)如图所示,在BC边上任取一点D,作DE∥AB,交AC于E,DF∥AC,交 AB于F. 因为DF∥AC(已作), 所以∠1=∠C(两直线平行,同位角相等), ∠2=∠DEC(两直线平行,内错角相等). 因为DE∥AB(已作), 所以∠3=∠B,∠DEC=∠A(两直线平行,同位角相等). 所以∠A=∠2(等量代换). 又因为∠1+∠2+∠3=180°(平角定义), 所以∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). (3)如图所示,过A点任作直线l1, 过B点作l3∥l1,过C点作l2∥l1. 因为l1∥l2(已作), 所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等). 同理,∠3=∠4. 又因为l1∥l3(已作), 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补), 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°(等量代换). 又因为∠2+∠3=∠ACB, 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(等量代换). 【师生总结并板书】 三角形内角和定理:三角形内角和为180°. [知识拓展] 本定理尽管证明思路很多,但其基本思想主要是设法将三个角拼合在一起,组成一个平角.上述探索的意义旨在锻炼发散思维能力,证明的关键在于要善于联想,不断地总结、归纳规律,利用已有知识分析和解决问题. [设计意图] 通过运用多种方法证明三角形内角和定理,让学生体验作辅助线的重要性,同时对于证明问题有一定认识,培养多元化的思维. 三、例题讲解 [过渡语] 在学习了三角形的内角和定理之后,那么三角形内角和定理有什么应用呢?我们看一下下面几个问题. (教材例1)如图所示,在ΔABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是ΔABC的角平分线.求∠ADB的度数. 〔解析〕 根据角平分线的定义求出∠DAB,根据三角形的内角和定理得到∠ADB=180°-∠DAB-∠B,代值求出即可. 解:因为AD平分∠CAB,∠BAC=40°, 所以∠DAB=20°, 因为∠B=75°, 所以∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°. [解题策略] 对于求某个角的度数的问题,一般是分析这个角是哪一个三角形的内角,其他两个角是否已 知度数或已知三角之间的数量关系,然后利用三角形的内角和定理进行求解. (教材例2)如图所示的是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏 东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40° 方向, 从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢? 〔解析〕 A,B,C三岛的连线构成ΔABC,所求的∠ACB是ΔABC的一个 内角,如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB的度数. 解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=30°, 因为AD∥BE,所以∠BAD+∠ABE=180°, 所以∠ABE=100°,所以∠ABC=60°, 所以在ΔABC中,∠ACB=90°. 〔解题策略〕 解答本题关键是明确方向角的定义,知道题目所给出的角的度数,再运用平行线的性质和三角形的内角和定理解答问题. 1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180°. 2.三角形内角和定理的证明:思路是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角,在转化过程中借助平行线. 3.三角形内角和定理的应用:直接根据三角形中角的关系,用代数方法求三个角. 1.在ΔABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠B的度数为 ( ) A.50° B.40° C.10° D.45° 解析:根据三角形内角和定理可知,∠A+∠B+∠C=180°,因为∠A=80°,所以∠B+∠C=100°,因为∠B=∠C,所以∠B=50°.故选A. 2.已知在ΔABC中,∠A+∠B=∠C,那么ΔABC的形状为 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.以上都不对 解析:根据三角形内角和定理可知,∠A+∠B+∠C=180°,因为∠A+∠B=∠C,所以2∠C=180°,所以∠C=90°,所以ΔABC为直角三角形.故选A. 3.在ΔABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°,求ΔABC各内角的度数. 解:因为∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°,所以代入得:∠A+∠ A+10°+∠A+10°+10°=180°,即3∠A=150°,所以∠A=50°,所以∠B=60°,∠C=70°. 第1课时 一、三角形内角和定理的验证 二、三角形内角和定理的证明 三、例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第13页练习第1,2题. 【选做题】 教材第16页习题11.2第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在ΔABC中,∠A=50°,∠B=60°,则∠C的度数为 ( ) A.60° B.70° C.80° D.110° 2.已知ΔABC中,∠A=20°,∠B=∠C,那么ΔABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.如图所示,在ΔABC中,∠A=70°,∠B=50°,CD平分∠BCA,则∠ADC的度数 为 . 4.如图所示,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=35°,∠AOB=75°,则∠ C= . 【能力提升】 5.若一个三角形三个内角度数的比为4∶5∶9,请求出这个三角形各角的度数,并说出它属于哪类三角形? 6.如图所示,解答下列问题. (1)已知∠ABD=∠ACD=30°,∠A=40°,求∠BDC的度数; (2)若BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠A=40°,求∠BDC的度数; (3)若BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠BDC=α,求∠A的度数. 【拓展探究】 7.如图所示,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律, 并说明你发现的规律是正确的. 【答案与解析】 1.B(解析:根据三角形的内角和为180°,可知∠C=180°-∠A-∠ B=180°-50°-60°=70°.) 2.A(解析:因为三角形内角和为180°,所以∠A+∠B+∠C=180°,因为∠A=20°,所以∠B+∠C=160°,因为∠B=∠C,所以∠B=∠C=80°,所以ΔABC为锐角三角形.) 3.80°(解析:因为∠A+∠B=120°,所以∠ACB=60°,因为CD平分∠BCA,所以∠ ACD=30°,所以∠ADC=180°-∠A-∠ACD=80°.) 4.70°(解析:因为∠A+∠AOB=110°,所以∠B=70°,因为AB∥CD,所以∠C=∠ B=70°.) 5.解:设三角形三个角的度数为4x,5x,9x,列方程得4x+5x+9x=180°,解得 x=10°,所以三角形三角的度数分别为40°,50°,90°,此三角形为直角三角形. 6.解:(1)因为∠A=40°,所以∠ABC+∠ACB=140°,因为∠ABD+∠ACD=60°,所以∠CBD+∠BCD=80°,所以∠BDC=100°. (2)因为∠A=40°,所以∠ABC+∠ ACB=140°,因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,所以∠CBD+∠BCD=70°,所以 ∠BDC=110°. (3)因为∠BDC=α,所以∠CBD+∠BCD=180°-α,因为BD平分∠ ABC,CD平分∠ACB,所以∠ABC+∠ACB=2(180°-α),所以∠A=2α-180°. 7.解:∠1+∠2=2∠A.理由是:因为∠1=180°-2∠AED,∠2=180°-2∠ADE,所以∠1+∠2=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-2(180°-∠A),即∠1+∠2=2∠A. 本节主要是学生在小组中合作探究,通过量一量、剪一剪、折一折等方法验证三角形的内角和是180°,并指导学生通过以上的拼接方法作辅助线证明三角形的内角和定理,得到推理验证,最后运用所得的结论解决实际生活中的一些问题.在此过程中,教师让学生进行实验、动手操作、自主探索,使学生主动积极地参加到数学活动中来! 如果引入部分的问题换成求出破损的角的度数,这个问题会和本节的联系更紧密一些. 在教学过程中要放手让学生去实验、讨论、归纳,干脆利落地得到三角形内角和定理,避免出现混淆、模糊,导致学生思维混乱. 练习(教材第13页) 1.解:在ΔACD中,因为∠CAD=30°,∠D=90°,所以∠ACD=180°-90°-30°=60°.在ΔBCD中,因为∠CBD=45°,∠D=90°,所以∠BCD=180°-90°-45°=45°,所以∠ ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°. 2.解:∵∠CAD=∠BAD=×150°=75°,∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ D=180°-75°-40°=65°,∴∠BCD=2∠ACD=130°. 本节内容是在学生前面认识了三角形的稳定性、三角形任意两边之和大于第三边、三角形的分类之后进行的.这节课主要探究三角形的内角和是180°,并运用这一特性解决一些数学题.它是掌握多边形内角和及其他实际问题的基础,因此,掌握“三角形的内角和是180°”这一性质具有重要意义. 教师通过引导学生量一量、拼一拼等多种方法探究三角形三个角的度数和,真正体现了学生的自主学习.这一课时通过量、剪、拼、折等数学活动,让学生亲自实践操作,发现规律,主动推导并得出“三角形内角和是180°”的结论,会应用这一结论进行计算.在操作、验证三角形内角和定理的过程中,体验解决问题方法的多样性,发展空间观念,提高初步的逻辑思维能力. 如图所示,在ΔABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于 D,AE平分∠BAC.试说 明∠EAD=(∠C-∠B). 〔解析〕 要想说明∠EAD=(∠C-∠B),由图可知∠EAD=∠EAC-∠CAD,因此只要找到∠EAC,∠CAD与∠C,∠B的关系即可.在三角形中考虑与角有关的问题时,通常利用三角形的内角和等于180°. 解:因为AD⊥BC(已知),所以∠ADC=90°(垂直的定义). 因为∠CAD=180°-∠C-∠ADC(三角形的内角和等于180°), 所以∠CAD=180°-∠C-90°=90°-∠C(等量代换). 因为AE平分∠BAC(已知), 所以∠EAC=∠BAC(角平分线的定义). 因为∠BAC=180°-∠B-∠C(三角形的内角和等于180°), 所以∠EAC=×(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C. 所以∠EAC-∠CAD=90°-∠B-∠C-(90°-∠C) =90°-∠B-∠C-90°+∠C=(∠C-∠B)(等量代换). 即∠EAD=(∠C-∠B)(等量代换). 〔方法指导〕 此类题目要围绕三角形的内角和等于180°这个条件来列等量关系式,求其他的量,然后再做相应的判断. 第 课时 1.会用符号和字母表示直角三角形. 2.掌握“直角三角形的两个锐角互余”的性质. 3.会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形及证明几何中的垂直问题. 学生通过观察、实验,学会用几何语言表述简单的推理,在三角形内角和定理的基础上论证直角三角形的性质与判定,发展自己的类比推理能力和解决问题的能力. 通过对知识的探究和问题的解决,使学生获得成就感,同时培养学生的团结合作精神,树立学生的学习信心. 【重点】 探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 【难点】 有关推理表述及性质定理和判定定理的应用. 【教师准备】 布置学生预习内容. 【学生准备】 复习三角形内角和定理及其相关应用. 导入一: 1.要求学生观察图形,找出图中所包含的直角三角形. 2.回顾已学习的直角三角形知识,如:直角三角形及相关概念——直角边、斜边等. 【板书】 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. [设计意图] 通过回顾直角三角形的相关知识,引发学生已有的经验,为学习新的知识做好铺垫,激发学生的学习兴趣. 导入二: 【提出问题】 问题1 复习:三角形的内角和为多少? 问题2 在ΔABC中,∠C=90°,∠A与∠B有什么关系?请说明理由. [设计意图] 通过设计两个问题直接开门见山引入课题,使学生直接进入学习状态,有利于对知识的学习有针对性. [过渡语] 我们已知道,“三角形ABC”可以用符号“ΔABC”表示,那么直角三角形该如何表示呢? 一、直角三角形的表示方法 【问题】 三角形ABC表示成ΔABC,直角三角形应该如何表示呢? 【师】 直角三角形可以用符号“RtΔ”表示. 如图所示,直角三角形ABC表示方法:RtΔABC,直角的两边叫做直角边, 直角所对的边叫做斜边. [设计意图] 为表示直角三角形的性质和判定做铺垫. 二、探究直角三角形的性质 [过渡语] 在RtΔABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,∠A等于多少度?有没有简单的方法计算这道题呢?下面我们来研究直角三角形的性质. 思路一 【活动一】 根据以上问题,教师指导学生借助三角板进行分析、计算,学生能够得到∠A=60°,教师引导学生总结∠A和∠B之间的关系. 【活动二】 请同学们画一个直角三角形ABC,其中∠C= 90°,用量角器分别量出∠A,∠B的度数,并且求出∠A+∠B的值. 【追问】 通过对问题的计算你发现∠A和∠B有什么关系? 【师生活动】 学生讨论后,小结得出:直角三角形的两个锐角互余. 【追问】 结合图形你能写出已知、求证和证明吗? 【师生活动】 学生回答,教师板书,师生共同完成证明过程.同时教师指出,经过证明的这个结论被称为“直角三角形性质定理”. 【追问】 此直角三角形性质用几何语言该怎样表示? 几何推理过程: 如图所示, 在RtΔABC中, ∵∠A+∠B +∠C= 180°(三角形内角和定理), 而∠C= 90°, ∴ ∠A+∠B= 90°, 即直角三角形的两个锐角互余. [知识拓展] 直角三角形中的直角为90°,而三角形的内角和为180°,故另外两个锐角的和为90°.以后我们在求直角三角形中锐角的度数时,就可以直接利用直角三角形的这个性质进行解答,而不必再去用三角形的内角和定理. [设计意图] 让学生亲历推理过程,理顺证明思路,通过严格的逻辑推理证明,感悟几何证明的严密性、规范性,从而写出证明过程. 思路二 1.算一算:直角三角形的两个锐角有怎样的数量关系? 2.直角三角形性质定理:直角三角形的两个锐角互余.结合图形给出定理的几何语言. 如图,∠A和∠B是RtΔABC的两个锐角,则∠A+∠B=90°. 【练习】 1.在ΔABC中,∠C=90°,∠A= 54°,则∠B= 度 . 2.在三角形中,有一个锐角为42.5度,能求出另一个锐角度数吗? [答案] 1.36 2.不能,没有给出直角三角形这个条件,不能运用性质. 找一找:已知:如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高. (1)图中有几对互余的角? (2)有几对相等的锐角? 根据性质定理找到三对互余的角,分别是∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∠ BCD+∠B=90°.还可以根据∠ACB=90°,得到∠ACD+∠BCD=90°.故图中共有 四对互余的角. 从而根据同角的余角相等得到两组相等的角,∠A=∠BCD,∠B=∠ACD. [设计意图] 让学生逐步体会从特殊到一般来研究问题,给学生思考空间,合作完成证明的过程,提高学生运用直角三角形性质定理解决实际问题的能力. (教材例3)如图,∠C=∠D=90° ,AD,BC相交于点E,∠CAE与∠DBE有什么关系?为什么? 【师生活动】 (1)要想找出∠CAE与∠DBE有什么关系,它们不在同一个三角形中,通过观察知它们是在两个不同的直角三角形中的锐角,只要找另外两个锐角的关系即可;(2)学生独立完成解题过程,一名学生板书;(3)师生共同分析板书学生解题过程是否合理规范. 解:在ΔACE中,∠C=90°,所以∠CAE+∠AEC=90°, 在ΔBDE中,∠D=90°,所以∠DBE+∠BED=90°, 因为∠AEC=∠BED(对顶角相等), 所以∠CAE=∠DBE. [设计意图] 使学生能正确应用“直角三角形两锐角互余”,同时推理得到“同角(或等角)的余角相等”,促进学生进一步巩固定理内容,并获取新知识. 三、探究直角三角形的判定 [过渡语] 我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形两锐角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗? 【师生活动】 学生独立思考,然后小组讨论、交流,形成结论,汇报交流结果,教师做好指导和评价. [设计意图] 能够独立思考获得解决问题的思路,乐于与他人合作,与同伴交流,从中受益,培养学生团结协作的精神. 【教师提出问题】 参照直角三角形性质的几何推理过程,判定定理几何推理过程又该怎样表示呢? 【学生书写推理过程】 推理过程如下: 如图,在ΔABC中, ∠A+∠B+∠C= 180°(三角形内角和定理), ∵ ∠A+∠B=90°(已知), ∴ ∠C=90°, ∴ ΔABC是直角三角形(直角三角形定义). 【师生活动】 学生独立思考,然后小组交流,并相互批改. 【总结】 有两个锐角互余的三角形是直角三角形. [设计意图] 能够主动积极参与学习活动,使用数学语言有条理地表达自己的思考过程. 如图(1)所示,在ΔABC中, 若∠ACD=∠B,CD⊥AB于D,ΔABC为直 角三角形吗?为什么? 解:因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°, 所以∠A+∠ACD=90°, 因为∠ACD=∠B,所以∠A+∠B=90°, 所以ΔABC为直角三角形. [解题策略] 本题综合考查了直角三角形的性质和判定,根据已知,通过角与角之间的转化关系,获得三角形中两个锐角之和为90°,从而证明是直角三角形. 变式:如图(2)所示,在RtΔABC中∠ACB=90°,D,E分别在AB,AC上,若∠ AED=∠B,ΔAED为直角三角形吗?试说明理由. 在教师完成例题的证明后由学生独立完成本题,重在锻炼学生知识迁移能力. 1.直角三角形的表示方法:RtΔ. 2.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余. 3.直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形. 1.一个三角形三个内角度数之比为1∶1∶2,则三角形的形状是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”). 解析:设三角形三个内角的度数分别为x,x,2x,则x+x+2x=180°,解得 x=45°,所以三角形三个内角分别为45°,45°,90°,故此三角形为直角三角形.故填直角. 2.如图所示,在ΔABC中,∠B=∠ACB=2∠A,CD⊥AB于D,求∠ACD和∠ BCD的度数. 解:设∠A为x°,则5x=180,解得x=36,所以∠A=36°,∠B=∠ACB=72°,因为 CD⊥AB,所以∠ACD=90°-36°=54°,∠BCD=90°-72°=18°. 3.如图所示,从观测点C处看高山顶点A的仰角为30°,走近一段距离后再在D处观测仰角为45°,请你求出从A处观测 C,D两处视角∠CAD的度数. 解析:过点A作AB⊥CD,交CD的延长线于点B,构造直角三角形,然后利用直角三角形中两个锐角互余求∠CAB和∠DAB的度数,再利用角的差即可求出∠CAD. 解:过点A作AB⊥CD,交CD的延长线于点B,因为∠ACD=30°,所以∠ CAB=60°,因为∠ADB=45°,所以∠DAB=45°,所以∠CAD=∠CAB-∠DAB=15°. 第2课时 一、直角三角形的表示方法 二、探究直角三角形的性质 三、探究直角三角形的判定 一、教材作业 【必做题】 教材第14页练习第1,2题. 【选做题】 教材第16页习题11.2第7题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在具备下列条件的ΔABC中,不是直角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=4∠C 2.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 3.在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的2倍,则这两个锐角的度数 为 . 4.如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,则∠2的度数是 . 【能力提升】 5.如图所示,在ΔABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数. 6.如图所示,在ΔABC中,∠B=∠C,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,∠AFD=158°,求∠ EDF的度数. 【拓展探究】 7.如图所示,在ΔABC中,O是高CD和BE的交点,猜想:∠DOE与∠A之间具 有怎样的数量关系?并说明理由. 【答案与解析】 1.D(解析:D选项,设∠C=x,则∠A=∠B=4x,所以x+4x+4x=180°,解得x=20°,所以4x=80°,所以∠A=∠B=80°,∠C=20°,不是直角三角形.) 2.C(解析:设三角形三个内角为∠A,∠B,∠C,根据题意,得∠A-∠B=∠C,所以∠A=∠B+∠C,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°,所以是直角三角形.) 3.30°和60°(解析:设一个锐角为x,则另一个锐角为2x,2x+x=90°,所以x=30°,则2x=60°.) 4.50°(解析:因为AB∥CD,所以∠1=∠BCD=40°,因为∠CBD=90°,所以∠2=90°-40°=50°.) 5.解:因为∠B=65°,∠C=45°,所以∠BAC=70°,因为AE平分∠BAC,所以∠ BAE=35°,结合AD⊥BC,可知∠BAD=25°,所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-25°=10°. 6.解:因为∠AFD=158°,所以∠CFD=22°,因为FD⊥BC,所以∠FDC=90°,所以∠ C=68°,因为∠B=∠C=68°,DE⊥AB,所以∠BDE=90°-∠B=22°,所以∠EDF=90°-∠BDE=90°-22°=68°. 7.解:∠DOE+∠A=180°.理由如下:连接AO,因为CD,BE是三角形的高,所以∠ ADC=∠AEB=90°,根据直角三角形的性质可知∠DAO+∠AOD=90°,∠OAE+∠AOE=90°,从而可知∠DOE+∠A=180°. 这节学生经历猜想、实验、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.(1)创设问题情境,引导学生发现问题,思考问题.本节课借助特殊三角形(三角尺)初步感知直角三角形的两个锐角的关系,学生初步建立一个表象,通过设置问题为后面的猜测和验证做了铺垫,引发思考,激发学习兴趣,引导学生从特殊直角三角形过渡到一般直角三角形的验证规律;(2)创造解决问题的环境,给充分的机会和时间让学生解决问题. 学生能够总结得到直角三角形的性质和判定,但是语言表达能力欠佳,思维比较定势,不敢大胆尝试不同的方法去验证自己的猜想.评价语言和方法都太单一,激励性评价没有层次. 新课程将探究式学习作为学生学习的主要方式之一,着重点放在让学生在主动参与的过程中进行学习,在探究问题的活动中获取知识并主动建构新 的认知结构,了解获取知识的途径和技巧.同时要把握在课堂上出现的一些“生成”的资源,如何加以好好地利用,这也是我们在今后教学中要不断学习和总结的. 练习(教材第14页) 1.解:∠ACD=∠B.理由如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCD=90°,因为CD⊥AB,所以∠BCD+∠B=90°,所以∠ACD=∠B. 2.解:ΔADE是直角三角形.理由如下:因为∠C=90°,所以∠A+∠2=90°.因为∠1=∠2,所以∠A+∠1=90°,所以∠ADE=180°-(∠A+∠1)=90°,所以ΔADE是直角三角形. 本课时的主要知识是直角三角形的性质和判定方法.在学习了三角形内角和定理的基础上,已知一个内角为90°,则得到另外两个角的和为90°.从学生熟知的三角形内角和的计算开始,通过特殊值的计算也可以使学生感知直角三角形的性质.直角三角形的判定,亦可以采用由特殊到一般的教学思路进行设计. 如图所示,在ΔABC中,∠A=38°,∠ABC=70°,CD⊥AB于点D,CE平 分∠ACB, DP⊥CE于点P,求∠CDP的度数. 〔解析〕 利用三角形的内角和定理列式求出∠ACB,再根据角平 分线的定义求出∠BCE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数,然后求出∠DCE,再根据直角三角形的性质求解即可. 解:因为∠A=38°,∠ABC=70°, 所以∠ACB=72°, 因为CE平分∠ACB, 所以∠ACE=∠BCE=36°, 因为CD⊥AB,∠ABC=70°, 所以∠BCD=20°, 所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=16°, 因为DP⊥CE, 所以∠CDP=90°-∠DCP=74°. 〔方法指导〕 本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余等知识,熟记定理与概念并准确识图是解答问题的关键. 11.2.2 三角形的外角 1.理解外角的定义并能够识别三角形的外角. 2.理解三角形外角的性质,能够用三角形外角性质求与三角形有关的角的度数. 3.能够用三角形的外角性质解决生活中的实际问题. 在学习外角及外角性质中体会数学中的“转化”思想,通过探究三角形外角性质的过程培养自主探究和小组合作的意识. 通过猜想问题到结论的证实,让学生体验到探索问题成功的喜悦和成就感,让学生在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满着探索和创造. 【重点】 三角形外角的识别及外角性质的运用. 【难点】 运用三角形外角性质进行有关计算时,能准确地表达推理的过程和方法,并能够迁移到生活中. 【教师准备】 比较大的纸板. 【学生准备】 硬三角形纸板,量角器. 导入一: (提出问题) 1.三角形的内角和定理是什么?那么你是用什么方法得到这个结论的呢?怎样用硬纸板证明这一结论呢? 2.学生根据要求完成操作. 3.把学生的拼图在黑板上展示,学生观察. 学生回忆三角形的内角和定理,并说出证明的方法:拼图、推理、画出图形,进行表述. [设计意图] 通过回忆旧知,为本课内容做好知识铺垫,同时为利用拼图继续探究三角形的外角性质提供基础. 导入二: 两只猎豹在如图所示的A处发现一只野牛独自在O处,猎豹打算用迂回的方式,先由一只从A前进到C处,然后再折回在B处截住野牛,另一只直接从A处扑向野牛,已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,则猎豹从C处要转多少度才能 直达B处? [设计意图] 通过富有情趣的故事引入,激发学生学习的情趣,能够引导学生积极投入思考中,为新知的学习做好设疑. [过渡语] 三角形的内角和为180°,内角和哪些角还有关系呢?还能得到哪些推论呢?我们进一步研究三角形的有关角. 一、三角形外角的定义 (教师提出问题) 1.观察图形,∠ACD与∠ACB在位置上有什么关系? 2.对于∠ACB而言,∠ACD在ΔABC的内部还是外部? 学生回答教师问题,继而师生共同总结三角形外角的定义. 板书:像∠ACD这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 二、三角形外角性质的探究 [过渡语] 在我们对三角形外角的概念认识之后,那么三角形的外角和内角之间有什么关系呢?我们继续探究. 思路一 问题1 如图,在ΔABC中,分别度量∠A和∠B的大小,并且度量∠ACD的大小. 问题2 ∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系?再画一个图形试一下! 【师生活动】 学生进行操作、探究、交流后,得到结论:∠ACD=∠A+∠ B;教师引导学生用自己的语言总结三角形外角的这一性质. 【结论】 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.老师引导学生回顾三角形内角和定理的证明方法. 【师】 我们是否可以不加辅助线证明三角形外角的性质? 【生】 用等量代换. 【师】 在证明三角形外角性质时,采用了等量转化. 学生小组讨论,尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质,并进行汇报.教师根据学生汇报的情况有针对性地讲解并点名学生进行板演. 已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 证明:因为∠A+∠B+∠ACB=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠A+∠B=180°-∠ACB, ∠ACD=180°-∠ACB, 所以∠ACD=∠A+∠B. 【教师板书】 三角形外角性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. [设计意图] 当∠A和∠B变化时,采用测量的方式进行直观感受,再用一般的方法来计算∠ACD,使学生产生认知上的冲突,为本课的探究提供内驱力,通过学生的推导,来培养学生的合情推理能力. 思路二 教师布置学生自学教材第15页思考的内容,然后同学间进行交流、讨论,归纳三角形的外角有什么性质,并提出以下问题: 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质?让学生先自己去尝试说一说,互相讨论交流,然后安排学生当堂发言,师生共同纠正过程中的不当之处,学生归纳得出三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. [设计意图] 三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的,根据探究中的提示,学生能够发现它们之间的关系,学生能自己学会的教师就不必讲,要充分调动学生的学习主动性,这也正是这里安排学生自学的目的所在.进一步提出要求,让学生用证明的方法去说明,培养学生的推理论证能力,同时更严谨地说明三角形外角的性质. [知识拓展] 因为三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,所以可以得到三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角. 利用以上的关系证明角之间的不等关系时,应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上,把小角放在内角位置上,也可以把它们的一部分放在外角或内角的位置上. [过渡语] 在学习三角形的外角性质后,那么有什么应用呢?我们看一下几个问题. 根据下列图形,分别求出各图中的∠1的度数. 〔解析〕 根据图形中∠1的位置,判断∠1是三角形的内角还是外角,选择运用三角形的内角和定理或外角的性质进行解答. 解:图(1)中,∠1+30°+60°=180°,所以∠1=180°-30°-60°=90°. 图(2)中,120°=∠1+35°,所以∠1=120°-35°=85°. 图(3)中,∠1=45°+50°=95°. (教材例4)如图所示,∠BAE,∠CBF,∠ACD是ΔABC的三个外角,它 们的和是多少? 〔解析〕 由图形可知,所求三角均为ΔABC的外角,所以利用三角形外角的性质,把外角转化为三角形内角和进行计算. 解:由三角形外角性质得: ∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2, 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°. 【师生总结】 三角形的外角和为360°. [解题策略] 求三角形的外角可以转化为求三角形的内角,再根据三角形内角和知识进行解答. 1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 2.三角形外角的性质:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. 1.如图所示,∠α与∠β的度数之和为 ( ) A.90° B.130° C.180° D.270° 解析:根据三角形外角的性质可得,∠α等于三角形的一个锐角与直角的和,∠β等于另一个锐角与直角的和,所以∠α与∠β的度数之和即为直角三角形两个锐角之和与两个直角的和,即为270°.故选D. 2.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 (用“>”将它们连接起 来). 解析:在ΔACD中,∠1为外角,所以∠1>∠A,在ΔECD中,∠2为外角,所以∠ 2>∠1,所以∠2>∠1>∠A.故填∠2>∠1>∠A. 3.如图所示,ΔABC中,BD,CD分别平分∠ABC和外角∠ACE,若∠D=24°, 则∠A= . 解析:因为∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBC=2(∠DCE-∠DBC),∠D=∠ DCE-∠DBC,所以∠A=2∠D=48°.故填48°. 4.已知,如图所示,在ΔABC中,D为BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠ BAC=120°,求∠DAC的度数. 解析:根据三角形的外角的性质进行解答. 解:因为∠BAC=120°,所以∠2+∠3=60°,设∠2=x,则∠1=x,根据三角形外角的性质,得∠3=∠4=2x,所以x+2x=60°,解得x=20°,所以∠3=∠4=40°,所以∠ DAC=100°. 11.2.2 三角形的外角 一、三角形外角的定义 二、三角形外角性质的探究 一、教材作业 【必做题】 教材第15页练习. 【选做题】 教材第16页习题11.2第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下面说法正确的是 ( ) A.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和 B.三角形的一个外角小于它的一个内角 C.三角形的一个外角大于这个三角形的内角 D.以上说法均不正确 2.如图所示,已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED的度数是 ( A.63° B.83° C.73° D.53° 3.如图所示,已知AD是∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAC=55°,则∠ ACD= . 4.一个三角形的三个内角度数之比是2∶3∶4,则相应的外角度数之比是 . 【能力提升】 ) 5.如图所示,在ΔABC中,BE与CD相交于点O,∠A=62°,∠ACD=34°,∠ ABE=20°.求: (1)∠BDC的度数; (2)∠BOC的度数. 6.如图所示,请求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 【拓展探究】 7.如图所示,在ΔABC中,外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1,∠ A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2. (1)∠A1与∠A有怎样的数量关系? (2)继续作∠A2BC的平分线与∠A2CD的平分线可得∠A3,如此下去可得∠A4,∠ A5,…,∠An,那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系,并求出当∠A=64°时,∠A4 的度数. 【答案与解析】 1.D(解析:根据三角形外角的性质:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.) 2.A(解析:因为∠CAE=∠C+∠B=26°+37°=63°,且AC∥ED,所以∠E=∠ CAE=63°.) 3.100°(解析:因为AD平分∠CAE,所以∠CAD=∠DAE=55°,因为∠DAE=∠B+∠ D,所以∠D=25°,所以∠ACD=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-55°=100°.) 4.7∶6∶5(解析:设三个角度数为2x,3x,4x,则2x+3x+4x=180°,所以x=20°,所以三个内角分别为40°,60°,80°,所以三个外角分别为140°,120°,100°,所以它们之比为7∶6∶5.) 5.解:(1)因为∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=62°,∠ACD=34°,所以∠BDC=96°. (2)因为∠BOC=∠ABE+∠BDC,所以∠BOC=116°. 6.解:设BE与AC,AD分别相交于点M,N,则∠AME=∠E+∠C,∠ANB=∠B+∠D,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AME+∠ANB+∠A=180°. 7.解:(1)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A,因为∠ ACD=180°-∠ACB,CA1平分∠ACD,所以∠A1CD= ∠ACD= (180°-∠ACB)=90°- ∠ACB,因为BA1平分∠ABC, 所以∠A1BC= ∠ABC ,因为∠A1CD是ΔA1BC的外角,所以∠A1CD=∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC,所以∠A1+∠ ABC=90°- ∠ACB ,所以∠A1=90°- (∠ABC+∠ACB)=90°- (180°-∠A)= ∠A. (2)由(1)同理可得: ∠A2=∠A1=∠A, 即∠A2= ,依次类推:∠An= ,则当∠ ∠ ∠ A=64°,n=4时,∠A4= ∠ =4°. 本节的教学,教师重在引导学生形成解决问题的一些基本策略,在体验解决问题多样性的同时,进行发散思维训练.通过对三角形外角的性质的方法证明,拓展学生的思维角度,激发了学生的学习兴趣,让学生在不同角度解决问题的过程中,感受几何问题的解题策略多样化,体会数学的魅力. 整体来说,本堂课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开,通过言简意赅的定义讲解,及时提醒易错问题,并结合图形进行分析等使本节课的重点得到了突出,难点得到了突破;并且对学生学习中的情况进行了点评和分析,对有较多学生存在的问题作出了反馈;教育了学生要善于总结解题思路和方法,效果较好. 在练习的设计上,尤其在对三角形外角的定义的理解上,教师没有设计相应的习题加以练习,这样会使学生在找外角时不会找,尤其是对于稍复杂的图形. 教师在教学过程中要做到讲练结合,对于三角形外角的认识应该是一个难点,教师在这方面要设计一些题进行练习,让学生通过辨析确定外角.这样使学生不但从定义上加以理解,更能够在练习的过程中,进一步掌握外角的判断方法,从而为学习和应用三角形外角的性质打下基础. 练习(教材第15页) 解:(1)∠1=40°,∠2=140°. (2)∠1=110°,∠2=70°. (3)∠1=50°,∠2=140°. (4)∠1=55°,∠2=70°. (5)∠1=80°,∠2=40°. (6)∠1=60°,∠2=30°. 习题11.2(教材第16页) 1.解:(1)由三角形内角和定理得x+39+108=180,解得x=33. (2)由三角形内角和定理得x+x+x=180,解得x=60. (3)由三角形内角和定理得 x+x+72=180,解得x=54. (4)由三角形内角和定理得x+(x+36)+(x-36)=180, 解得x=60. 2.解:(1)一个三角形最多有一个直角.因为如果一个三角形有两个或三个角是直角,那么三角形的内角和大于180°,这个结果与三角形的内角和定理相矛盾,所以一个三角形最多有一个直角. (2)一个三角形最多有一个钝角,如果一个三角形有两个或三个角是钝角,那么三角形的内角和大于180°,这个结果与三角形内角和定理相矛盾,所以一个三角形最多有一个钝角. (3)直角三角形的外角不可以是锐角,如果有一个外角是锐角,那么与它相邻的内角是钝角,这时直角三角形的内角和大于180°,这个结果与三角形内角和定理相矛盾,所以直角三角形的外角不可以是锐角. 3.解:把∠B=∠A+10°代入∠C=∠B+10°,得∠C=∠A+10°+10°=∠A+20°,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+(∠A+10°)+(∠A+20°)=180°,解得∠A=50°,所以∠ B=60°,∠C=70°. 4.解:由AD⊥BC可得∠ADB=90°,所以∠1+∠2=180°-∠ADB=180°-90°=90°.又因为∠1=∠2,所以∠2=45°.由∠BAC+∠2+∠C=180°,可得∠BAC=180°-∠2-∠ C=180°-45°-65°=70°. 5.解:由AB∥CD,可得∠1=∠A=40°,所以∠2=∠1+∠D=40°+45°=85°. 6.解:因为AB∥CD,∠A=45°,所以∠C+∠E=45°,因为∠C=∠E,所以∠C=22.5°. 7.解:由题意知∠BAC=45°+15°=60°,∠ABC=80°-45°=35°,由三角形内角和定理得∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-35°=85°. 8.解:∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°,∠BFD=180°-∠BDF-∠ ABE=180°-97°-20°=63°. 9.解:由三角形内角和定理得100°+∠1+∠2+∠3+∠4=180°.因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以100°+2(∠2+∠4)=180°,所以∠2+∠4=40°.由三角形内角和定理得∠2+∠4+x°=180°,所以x°=140°,即x=140. 10.180° 90° 90° 11.证明:因为∠BAC是ΔACE的外角,所以∠BAC=∠E+∠ECA.因为CE平分∠ ACD,所以∠ECA=∠ECD,所以∠BAC=∠E+∠ECD.因为∠ECD是ΔBCE的外角, 所以∠ECD=∠B+∠E,所以∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E. 三角形外角的性质是在学生学习了三角形的内角和定理之后的学习内容,是三角形内角和特性的具体应用.体现了教学知识的应用性的需要,也使学生体会到数学知识之间的相互联系. 本节内容是学生今后解答几何问题中寻找角度相等的常用方法,对于今后数学知识的学习有很大的作用.另外,三角形外角性质的研究过程为学生展示了几何图形探究的模式,研究几何图形不仅要研究图形内部的角度及线段,还需要研究图形的外部元素,这对于培养学生全面分析问题的能力有较大的帮助,也为学生研究多边形提供了研究的模式与知识基础. (1)如图(1)所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交 于点O,求证∠BOC=90°+∠A; (2)如图(2)所示,在ΔABC中,BP,CP分别是ΔABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线,试探究∠BPC与∠A的关系. 〔解析〕 (1)先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB, 则2∠BOC=360° -2∠OBC-2∠OCB,再根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB,易得∠BOC=90°+ ∠A.(2)结合三角形外 角的性质,可得∠BCP=(∠A+∠ABC),∠PBC=(∠A+∠ACB),根据三角形内角和 定理可得∠BPC=90°-∠A. 证明:(1)在ΔBOC中, 因为∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB, 所以2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB. 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB, 所以2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB), 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 所以2∠BOC=180°+∠A, 即∠BOC=90°+∠A. 解:(2)∠BPC=90°-∠A. 因为BP,CP为∠DBC,∠ECB的平分线, 所以∠BCP=(∠A+∠ABC), ∠PBC=(∠A+∠ACB), 由三角形内角和定理得: ∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°-[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)] =180°-(∠A+180°)=90°-∠A. 〔解题策略〕 解答此类题目的关键是围绕三角形的内角和定理、三角形外角的性质进行求解. 11.3 多边形及其内角和 1.掌握多边形的有关概念,能根据公式求多边形的内角和. 2.理解和掌握正多边形的概念,了解其特点. 3.能确定多边形的对角线. 1.通过对多边形概念的探究,使学生体会从特殊到一般的认识问题的方法. 2.让学生通过探索多边形的内角和与外角和,尝试从不同角度寻求解决问题的方法,并能有效地解决问题. 通过学生间的交流、探索,进一步激发学生的学习热情与求知欲望,养成良好的数学思维品质. 【重点】 1.多边形的有关概念. 2.多边形的内角和与外角和. 【难点】 多边形内角和与外角和的推导与应用. 11.3.1 多边形 1.正确识别多边形及其顶点、边、内角、外角、对角线,而且牢固掌握这些概念. 2.能够对多边形进行分类,并且了解正多边形的相关概念. 3.掌握多边形对角线条数计算公式,并进行简单的应用. 经历直观感知→探索归纳→应用创新的认知过程,建立多边形的有关概念,加深对图形的认识与感受,培养学生由具体到抽象进行归纳概括的能力.通过动手操作、探究思考、交流互动,培养学生的实践能力、协作能力及创新意识. 体验数学与现实生活的紧密联系,培养学生的参与意识和集体主义观念,激发学生学习数学的兴趣与热情. 【重点】 1.多边形的有关概念:多边形的边、内角、外角、顶点、对角线. 2.多边形对角线条数公式. 【难点】 1.归纳得到多边形对角线条数公式. 2.灵活运用多边形的对角线条数公式进行计算. 【教师准备】 多媒体课件(1~4). 【学生准备】 学习卡、练习纸. 导入一: 复习,提出以下问题: (1)什么是三角形? (2)与三角形有关的线段有哪些? (3)与三角形有关的角有哪些? 学生抢答,教师指导点评,通过类比教学,由三角形的概念推出四边形的概念. 导入二: 多媒体(课件1)展示,生活方面、建筑方面等的图片(包含一个或多个明显的多边形). 【问题】 请学生观察图片,在图中能找出哪些多边形? 【学生活动】 观察图形,然后交流,发表看法. 【教师活动】 长方形、正方形、平行四边形等都是四边形,还有边数很多的图形,它们在日常生活、工农业生产中都有应用.引出本节课课题:多边形. [设计意图] 为了激发学生的学习兴趣,开拓学生视野,培养学生的审美情趣,呈现了包含大量多边形的图片,请同学们观察、讨论、分析,把学生思维的兴奋点和活跃点引到图形上来,形成多边形的概念. 一、多边形的定义 [过渡语] 根据三角形的定义,如何给多边形下一个定义呢?大家讨论后进行总结. 思路一 【师生活动】 学生边观察图片边讨论,教师引导学生回忆三角形的定义,并仿照三角形的定义给多边形下定义.如果学生回答不完整、不准确,老师给予指正、鼓励.最后板书定义. 多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 【教师质疑】 在定义中,为什么要有“在平面内”这一条件呢? 教师展示空间图形给予解释. 【追问】 多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. [设计意图] 让学生类比三角形的定义给多边形下定义,感悟类比方法的重要作用. 思路二 问题1 观察下列图片,它们由哪些基本图形组成? 问题2 你能说出生活中的多边形吗? 教师利用投影出示图片,学生观察图片并进行讨论、交流,之后学生自由发言.这一过程中教师应当关注学生能否积极地参与到活动中,是否能认真观察、敢于发言.最后教师指明相关的概念. 多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形. 【教师说明】 我们知道,三角形中有三条线段,多边形中有不止三条线段,其定义中还加了一个条件“在平面内”,这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一平面内,而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内,也有可能不在同一平面内,而我们初中阶段主要探讨的是平面图形,所以应在前面加上条件“在平面内”. 对于定义应抓住以下四点:①在同一平面内;②一些线段;③首尾顺次相接;④封闭图形. [设计意图] 让学生认识生活中的多边形,感受数学与生活的联系.让学生自由发言,培养学生敢于展示自我,敢于自我肯定的意识. 二、多边形的相关概念 [过渡语] 在三角形中,我们专门研究了它的内角、外角,类似地,你能结合下图(课件2)指出这个多边形的内角和外角吗? 【学生活动】 学生观察老师给出的图形,然后思考回答.∠A,∠B,∠BCD,∠D,∠E,∠F是六边形的内角,∠DCM是六边形的一个外角. 教师进而指出,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. [设计意图] 让学生了解多边形的概念,并通过类比的方法,了解多边形的内角、外角. 【问题】 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做对角线,如右图(课件3)所示,CF为对角线,那么从六边形的一个顶点出发可以得到几条对角线 呢?六边形一共有多少条对角线? 【师生活动】 教师介绍对角线的概念,学生通过画图、自主思考、讨论交流等总结n边形对角线的条数计算公式为 - . [知识拓展] 多边形的有关问题都是将多边形转化为三角形问题来解决的,体现了转化的思想方法.从多边形的一个顶点出发引对角线时,这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线,那么还剩下(n-3)个顶点,就能引出(n-3)条对角线,从而得出结论:从n边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线.从一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线,有n个顶点,共有n(n-3)条对角线,但每条对角线都多计算一次,所以n边形对角线的条数为 - . [设计意图] 让学生了解对角线的概念,通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线,为研究n边形的内角和作铺垫. 三、多边形的分类 [过渡语] 你能说出下图(课件4)中两个四边形的异同点吗? 【师生活动】 教师引导学生分析得出:图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个四边形都在这条直线的同一侧;图(2)中,画出边 CD所在的直线,整个四边形不都在这条直线的同一侧.教师介绍,学生总结, 得出凸多边形和凹多边形的定义. 凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同侧,那么这个多边形就是凸多边形. 凹多边形:画出多边形的某一条边所在的直线,如果整个多边形不都在这条直线的同侧,那么这个多边形就是凹多边形. 【教师活动】 在黑板上画一个凸多边形和一个凹多边形,展示并解析. 【学生活动】 任意画一个多边形,并判断属于哪一类多边形. [设计意图] 让学生了解凸多边形的概念,使学生明确以后学习中只讨论凸多边形. 四、认识正多边形 [过渡语] 正方形的边长、内角有什么特点,你能给正多边形下一个定义吗? 【多媒体展示】 正三角形、正方形、正五边形等. 【师生活动】 学生回答,师生共同总结. 正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形. [设计意图] 让学生类比正方形学习正多边形,提高学生的学习能力. 若一个正六边形的周长为36 cm,请求出它的边长. 〔解析〕 正六边形的特点是有六条边,每条边都相等. 解:因为正多边形的边长相等,所以正六边形的六条边都相等, 所以边长为36÷6=6(cm). [解题策略] 本题考查的是正多边形的性质,能够熟记正多边形的特征是解题关键. 若一个多边形自一个顶点引对角线可把它分割为六个三角形,则 这个多边形是几边形? 解:设该多边形的边数为n,因为n边形过一个顶点有(n-3)条对角线,它们把n边形分割成了(n-2)个三角形,所以n-2=6,解得n=8, 所以这个多边形是八边形. [解题策略] 解答此类问题可以运用对角线条数计算过程进行分析,也可以画图形进行考虑,明确对角线是不相邻顶点之间的线段,所以n边形由一个顶点出发可作(n-3)条对角线,即可分为(n-2)个三角形. 本节课学习的主要内容有: 1.多边形的定义、内角、外角、对角线等概念,n边形对角线条数的计算公式: - . 2.多边形的分类. 3.正多边形的定义及性质. 1.在下列图形中,∠1是多边形外角的是 ( ) 解析:根据外角的定义可知,外角是多边形的边与邻边的延长线组成的角,选项A中∠1是两边延长线的夹角,选项B中∠1的一边不是多边形一边的延长线,选项C中∠1是多边形的内角.故选D. 2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是 ( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 解析:因为从n边形的一个顶点出发引对角线,最多可引(n-3)条,所以 n-3=10,解得n=13.故选A. 3.七边形的对角线共有 ( ) A.42条 B.28条 C.21条 D.14条 解析:因为从七边形的一个顶点出发会有4条对角线,共有7个顶点,所以共作28条对角线,由于重复,所以七边形共有14条对角线;或者利用公式求解.故选D. 4.要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少需要钉木条 ( ) A.1根 B.2根 C.3根 D.4根 解析:根据三角形的稳定性进行判定,所以从五边形的一个顶点出发作对角线即可.故选B. 5.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成5个三角形,则这个多边形的边数为 A.5 B.6 C.7 ( ) D.8 解析:从n边形的一个顶点出发引对角线,可把该n边形分割为(n-2)个三角形,所以n-2=5,解得n=7.故选C. 11.3.1 多边形 一、多边形的定义 二、多边形的相关概念 三、多边形的分类 四、认识正多边形 一、教材作业 【必做题】 教材第21页练习第1,2题. 【选做题】 教材第24页习题11.3第1题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.已知从一个多边形的一个顶点出发最多可以引出3条对角线,则它是 ( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 2.下列图形中,不是凸多边形的是 ( ) 3.一个多边形共有9条对角线,那么这个多边形的边数是 . 【能力提升】 4.从一个正方形的一角截去一个三角形后,得到的多边形是 . 5.如图所示,从边长为9的等边三角形纸板中剪去三个小等边三角形,会得到 一个正六边形,则这个正六边形的周长是多少? 【拓展探究】 6.为了美化环境,需要在一块正方形(如图所示)空地上分别种植四种不同的花草,现将这块空地按下列要求分成四块:(1)四块图形形状相同;(2)四块图形 面积相等.试一试. 【答案与解析】 1.B(解析:因为n边形从一个顶点出发最多引(n-3)条对角线,所以n-3=3,所以 n=6.) 2.C(解析:根据凸多边形的定义可知,经过多边形任意一边作直线,其余部分都在这条直线同侧,则此多边形为凸多边形.) 3.6(解析:根据n边形对角线条数的计算公式 - 求解.) 4.三角形、四边形或五边形(解析:一共有三种情况.) 5.解:因为剩余的部分为正六边形,所以每条边都相等,所以三个小等边三角形的边长与正六边形的边长都相等,所以正六边形的边长为3,周长为18. 6.解:如下图所示,答案不唯一. 在教学过程中,教学设计由浅入深,从最简单的三角形入手,认识多边形,让学生动手操作,观察图形,加强了学生的推理能力,并注重细节和总结.在总结的同时,也引出了下个问题“探索n边形的对角线”,如此一环扣一环,许多学生情趣很高,积极操作. 在探究多边形对角线条数的计算公式时,教师没有进行引导,而是让学生小组去探究,没有对问题进行必要的分解,导致学生在探究的过程中很难得到正确的结论. 在教学多边形对角线条数的公式时,要细化问题,把问题进行分解,再让学生根据老师提出的问题进行讨论、交流.另外,在教学正多边形时,教师最好采用自主学习的方式,充分发挥学生的阅读能力和理解能力. 练习(教材第21页) 1.解:如图所示. 2.解:四边形的一条对角线将四边形分成两个三角形,从五边形的一个顶点出发,可以画出两条对角线,它们将五边形分成三个三角形. 本节课是对三角形的进一步延伸和探讨,通过这节课的学习,能让学生了解生活中的很多事情都与数学有着密不可分的关系,能让学生在学习的过程中充分体会数学的魅力,能让学生学会在观察、操作、想象、交流等活动中认识图形、了解图形,能初步让学生感受到学习几何的基本思维方法,对今后建立空间观念,发展几何直觉有着相当重要的指导作用.这节课也体现了新教材重视内容的呈现方式,为学生提供了“现实的、有意义的、富有挑战性 的”学习资料,增加学生的直观感受,突出“学生是学习的主体,教师是教学活动的设计者和组织者”这一理念. 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,则 这个多边形的边数是 . 〔解析〕 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n-2)个三角形,根据此关系式求边数.设该多边形有n条边,则n-2=8,解得n=10,所以这个多边形的边数为10.故填10. 〔解题策略〕 解决此类问题可根据多边形过一个顶点的对角线的条数与分成的三角形的个数的关系列方程求解. 11.3.2 多边形的内角和 1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公式. 2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题. 1.经历猜想、探索、推理、归纳等过程,发展学生合情推理的能力和语言表达能力,掌握化复杂为简单,化未知为已知的思想方法. 2.通过化多边形为三角形,体会转化思想在几何中的运用,体会从特殊到一般的认知方法. 通过学生间交流、探索,进一步激发学生的学习热情和求知欲,养成良好的数学思维品质. 【重点】 探索多边形的内角和及外角和公式. 【难点】 推导多边形的内角和与外角和公式,灵活运用公式解决简单的实际问题. 【教师准备】 多媒体课件(1~5). 【学生准备】 直尺、练习纸. 导入一: (多媒体课件1展示) 【问题1】 你还记得三角形内角和是多少吗? 【师生活动】 学生思考并回答问题,教师提出问题并对学生的回答进行总结. 三角形内角和定理:三角形内角和是180°. 【问题2】 正方形、长方形的内角和是360°,那么任意一个四边形的内角和是否等于360°呢?能证明你的结论吗? 【师生活动】 学生在独立探究的基础上,分组交流、探讨,汇总解决问题的方法.教师深入小组参与活动,指导、倾听学生交流,可以在测量、拼图的 基础上引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形. [设计意图] 从学生熟悉的、已知的特例出发,建立起四边形和三角形之间的联系,为提出一般问题做好铺垫.通过连接四边形的对角线,将四边形分割成两个三角形,得出四边形内角和等于两个三角形内角和,这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本图形的化归思想. 导入二: 1980年,著名美籍华人陈省身教授在北京大学一次讲学中语惊四座:“人们常说,三角形内角和是180°,这是不对的!”大家愕然,怎么回事?接着,这位教授对大家的疑问给出了精辟的解答:“三角形的内角和为180°不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当说三角形的外角和为360°!” 把眼光盯住内角,那么三角形内角和为180°,四边形内角和、五边形内角和、…、n边形的内角和分别是多少呢? [设计意图] 通过实际情境导入新课,引发学生学习兴趣,引导学生从另一个角度思考问题. 一、探究五、六边形内角和 [过渡语] 在解决四边形的内角和时,连接了对角线,你知道连接对角线起到了什么作用吗? 【教师讲解】 将四边形分割成两个三角形,进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角和的问题. 问题 类比前面的过程,你知道五边形的内角和是多少吗?六边形呢?十边形呢?你是怎么得到的呢? 【学生活动】 先独立思考每个问题再分组活动,最后总结如下图(课件2). 【教师活动】 教师深入小组,并参与小组活动,及时了解学生情况. 从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线,将五边形分割为三个三角形,得到五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,六边形的内角和为 (6-2)×180°=720°.教师进一步启发学生从顶点或边或多边形内部分割多边形,进而得到多边形的内角和. [设计意图] 将研究方法进行迁移,明确边数、从一个顶点引出的对角线条数、分割的三角形数、内角和之间的关系,为进一步探究多边形内角和奠定基础. 二、探究多边形内角和计算公式 [过渡语] 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程获得启发,发现多边形的内角和与边数的关系吗?能证明你发现的结论吗? 问题 你知道n边形的内角和吗? 【学生活动】 学生在独立思考的基础上分组活动,推导出n边形可以转化为(n-2)个三角形,发现和概括出边数与内角和之间的关系,归纳总结n边形的内角和公式,即(n-2)·180°. 【教师活动】 教师和学生相互交流,共同归纳总结. 多边形的内角和定理:n边形内角和等于(n-2)·180°. [过渡语] 我们已经知道多边形的内角和公式,那么怎样运用定理解答问题呢? (课件3:教材例1) 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组 对角有什么关系? 〔解析〕 由多边形的内角和公式可知四边形的内角和为360°,若其中两个角的和为180°,则可得到另两个角的和也为180°. 解:如图所示,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°. 因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°, 所以∠B+∠D=180°. 所以说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补. [设计意图] 让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法,感悟化归思想的作用. 三、探究多边形的外角和 思路一 问题 你能求出六边形的外角和等于多少吗? 【投影】 (课件4:教材例2)在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少? 【教师活动】 教师板图六边形,画出它们的内角和外角,辅助学生理解和探索,并提出三个问题: (1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系? (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和是多少? (3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系? 【学生活动】 观察图形,思考这三个问题,然后尝试解答. 【解答】 六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角,都等于180°,6个外角连同它们各自相邻的内角,共有12个角,这些角的总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和,所以外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°. 问题 请探究总结多边形的外角和. 【学生活动】 学生分组交流、探究、总结多边形的外角和. 【教师活动】 教师进行指导、点拨,最后确定定理. 多边形的外角和:多边形的外角和等于360°. [知识拓展] 多边形内角和与外角和的作用:(1)内角和公式的作用:①已知边数,求内角和;②已知内角和,求边数.(2)外角和定理的作用:①已知各相等外角度数,求多边形边数;②已知多边形边数,求各相等外角的度数. [设计意图] 通过多边形内角和定理和平角的性质得到多边形的外角和为360°,运用转化思想解决问题.同时也能培养学生思考问题的方法和思维角度,提升学生分析问题和解决问题的能力. 思路二 1.想一想:什么叫做三角形的外角?三角形的外角有几个? 【学生回答】 三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫做三角形的外角.三角形有6个外角. 2.(课件5:多媒体演示)米老鼠沿五边形广场按逆时针方向跑了一圈,提出问题: (1)米老鼠由一条街道转到下一条街道时,身体转过的是哪个角? (2)当米老鼠跑完一圈后,身体转过的角度之和是多少度? 学生观察、思考、交流. (1)多媒体演示加强直观效果,得出米老鼠身体转过的角是五边形的外角,这五个角的和是五边形的外角和.你能给多边形的外角和下个定义吗? 类比五边形的外角和定义得到:在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和. (2)提问:三角形的外角和是360°的解决思路是什么? 学生小组交流后回答: (1)先求出三个外角与三个内角,这六个角的和为三个平角的和;(2)再用三个平角的和减去三角形的内角和,剩下的就是三角形的外角和了. 3.动脑筋:四边形的外角和为多少度? (1)组织学生画图说明. (2)画任意四边形ABCD,在每个顶点处任取一个外角,如∠1,∠2,∠3,∠4.如何用四边形的内角和求出它的外角和? 【学生交流】 因为∠1+∠DAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+ ∠ BCD=180°,∠4+∠ADC=180°,又∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°,所以∠ 1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°.所以四边形的外角和为360°. 4.填表. 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … … … 图形 外角和 (1)猜想多边形的外角和是多少度? (2)你能证明这个结论吗? 教师引导学生进行证明. 【归纳】 多边形的外角和等于360°. 1.多边形的内角和、外角和公式是计算多边形的角和边数的重要依据.在计算中注意方程思想的应用,尤其是计算边数时. 2.由内角和公式可以看出多边形每增加一条边,其内角和会增加180°. 3.在利用内角和公式(n-2)×180°求边数时,先不要去括号,而把(n-2)看成一个整体,先求(n-2)的值,再求n的值. 4.如果多边形的每个内角都相等,通常可从内角和、外角和及内角与外角之间的互补关系等不同角度采用不同的方法求解. 1.一个多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形为 边形. 解析:因为多边形的外角和为360°,每个外角都等于30°,所以360÷30=12,所以这个多边形为十二边形.故填十二. 2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为 边形. 解析:可设该多边形的边数为n,则135n=(n-2)·180,解得n=8,所以这个多边形为八边形.故填八. 3.四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D,求∠C和∠D的度数. 解:因为四边形的内角和为360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°,又因为∠A+∠B=210°,所以∠C+∠D=150°,而∠C=4∠D,所以4∠D+∠D=150°,解得∠D=30°,∠C=120°. 11.3.2 多边形的内角和 一、探究五、六边形内角和 二、探究多边形内角和计算公式 三、探究多边形的外角和 一、教材作业 【必做题】 教材第24页练习第1,2,3题. 【选做题】 教材第24页习题11.3第4,5,6题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在下列度数中,不能成为多边形的内角和的是 ( ) A.700° B.720° C.900° D.1080° 2.正八边形的每个内角为 ( ) A.120° C.140° B.135° D.144° 3.若多边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发,引对角线的条数是 条. 4.若一个多边形的内角和与外角和之比是9∶2,则这个多边形是 边形. 【能力提升】 5.如图所示,四边形ABCD中,∠A+∠B=222°,且∠ADC,∠DCB的平分线相交于 点O,求∠COD的度数. 6.如图所示,计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数. 【拓展探究】 7.任何一个凸多边形的内角中,为什么不能有4个或4个以上的锐角? 【答案与解析】 1.A(解析:根据n边形的内角和为(n-2)·180°可知多边形的内角和能被180整除,因为700不能被180整除,所以A选项正确.故选A.) 2.B(解析:因为多边形的外角和为360°,正八边形的每个内角都相等,所以每个外角为360°÷8=45°,所以每个内角为135°.故选B.) 3.6(解析:因为内角和为1260°的多边形是九边形,所以从一个顶点出发,引对角线的条数是9-3=6条.) 4.十一(解析:设该多边形的边数为n,根据题意列式为(n-2)180°∶360°=9∶2,解得n=11.) 5.解:因为四边形的内角和为360°,∠A+∠B=222°,所以∠ADC+∠BCD=138°,因为DO平分∠ADC,CO平分∠BCD,所以∠ODC+∠OCD=69°,所以∠ COD=111°. 6.解:因为三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数等于四边形的外角和,即360°. 7.解:假设有4个或4个以上的锐角,那么与这些锐角相邻的外角都为钝角,所以这些外角的和将大于360°,这与多边形外角和等于360°相矛盾,所以假设不成立,所以任何一个凸多边形的内角中,锐角不能有4个或4个以上. 本节课由四边形内角和引入,通过对四边形内角和的探究过程的操作和理解,进而引申到对五边形、多边形内角和的探究.整节课充满着“自主、合作、探究、交流”的教学理念,营造了发挥思维想象的空间,使学生在主动思考、探究的过程中自然地获得了新的知识. 由于本节课的内容较多,学习时间较紧张,所以在让学生进行课堂讨论时,时间把握得不好.由于讨论的问题有难度,讨论时间不够充分,急于让学生总结其中的规律,所以显得有些仓促. 教师引导学生,充分发挥学生的自主思考能力 和探究能力,让学生来发现、归纳和总结规律,这样在课堂上就要让出较多的时间. 练习(教材第24页) 1.解:(1)由多边形内角和公式得x+x+140+90=(4-2)×180,解得x=65. (2)由多边形内角和公式得90+120+150+2x+x=(5-2)×180,解得x=60. (3)由多边形内角和公式得75+120+80+(180-x)=(4-2)×180,解得x=95. 2.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=n·120°,解得n=6,所以它是六边形. 3.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=360°,解得n=4,所以它是四边形. 习题11.3(教材第24页) 1.解:如图所示. 2.解:(1)4x+60=(5-2)×180,解得x=120. (2)3x+3x+4x+2x=(4-2)×180,解得 x=30. (3)因为AB∥CD,所以∠B=180°-∠C=180°-60°=120°,由多边形内角和 公式得150+60+120+135+x=(5-2)×180,解得x=75. 3.解:如下表所示. 多边形 3 4 5 6 8 12 的边数 内角183654721018和 0° 0° 0° 0° 80° 00° 外角363636363636和 0° 0° 0° 0° 0° 0° 4.解:正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,正五边形的每个内角是540°÷5=108°.正十边形的每个内角是(10-2)×180°÷10=144°. 5.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=1260°,解得n=9,所以它是九边形. 6.解:(1)设这个多边形的边数为n,由题意知(n-2)·180°=×360°,解得n=3,所 以它是三角形. (2)设这个多边形的边数为n,由题意知(n-2)·180°=2×360°,解得n=6,所以它是六边形. 7.解:AB∥CD,BC∥AD.理由:因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=∠C,∠B=∠D,所以∠A+∠D=×360°=180°,∠A+∠B=×360°=180°,所以AB∥CD,BC∥AD. 8.解:(1)CO是ΔBCD的高.理由:由BC⊥CD,得∠BCD=90°,所以∠1+∠2=90°.因为∠1=∠2,所以∠1=∠2=45°,又因为∠1=∠2=∠3,所以∠3=45°.在ΔCDO中,∠ COD=180°-∠1-∠3=90°,即CO⊥BD,所以CO是ΔBCD的高.(2)因为∠COD=90°,∠4=60°,所以∠5=90°-∠4=90°-60°=30°. (3)由(2)知∠5=30°,因为 ∠5=∠6,所以∠DAB=∠5+∠6=60°.在ΔABD中,∠ABD=180°-60°-60°=60°,所以∠ABC=∠ABD+∠2=60°+45°=105°,∠BCD=90°,∠ADC=∠1+∠4=45°+60°=105°. 9.解:五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∠CDE=∠E=∠C= =108°.因为∠ 1+∠2+∠E=180°,∠1=∠2,所以∠1=∠2=36°,同理∠3=∠4=36°,所以∠ADB=∠ CDE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°,所以x=36. 10.解:AB∥DE,BC∥EF.由题意得六边形ABCDEF的每一个内角为 - =120°,所以∠FAD=∠FAB-∠DAB=120°-60°=60°.在四边形AFED中, ∠EDA=360°-(∠F+∠E+∠FAD)=360°-(120°+120°+60°)=60°,所以∠EDA=∠ DAB=60°,所以AB∥DE.又因为∠DAB+∠B=180°,所以AD∥BC,同理可得AD∥EF,所以BC∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行). 复习题11(教材第28页) 1.解:由SΔABD=BD·AE=1.5 cm2,AE=2 cm,得BD=1.5 cm.由AD是BC边上 的中线,得DC=BD=1.5 cm,BC=2BD=3 cm. 2.解:(1)x+90+50=180,解得x=40. (2)x+x+40=180,解得x=70. (3)x+70=x+x+10,解得x=60. (4)x+x+10+60+90=360,解得x=100. (5)70+x+20+x+x-10+x=(5-2)×180,解得x=115. 3.解:如下表所示. 多边形 7 的边数 内角5×1815×118×123×1和 外角360° 360° 360° 360° 和 4.解:从八边形的一个顶点出发,可以作五条对角线,它们将八边形分成六个三角形,这些三角形的内角和与八边形的内角和相等. 0° 80° 80° 80° 17 20 25 [规律方法:过n(n≥3)边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形.] 5.解:设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=360°+540°,解这个方程,得n=7,所以这个多边形的每个内角等于 °. 6.证明:由三角形内角和定理得∠A+∠1+42°=180°,因为∠A+10°=∠1,所以∠ A+(∠A+10°)+42°=180°,解得∠A=64°.又因为∠ACD=64°,所以∠A=∠ACD,所 以AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 7.解:由三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C=180°,因为∠C=∠ABC=2∠A,所以∠A+2∠A+2∠A=180°,解得∠A=36°,所以∠C=2×36°=72°,又因为在ΔBDC中,∠BDC=90°,所以由三角形内角和定理得∠DBC=180°-90°-72°=18°. 8.解:因为在ΔABC中,AD是高,所以∠ADC=90°,又因为∠C=70°,所以∠ DAC=90°-70°=20°.因为AE,BF是角平分线,所以∠BAO= ∠BAC,∠ABO= ∠ABC,所以∠BOA=180°-(∠BAO+∠ABO)=180°- (∠BAC+∠ABC)=180°- ×(180°-∠C)=180°- ×(180°-70°)=125°. 9.BD PC BD+PC BP+PC 10.解:五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,所以∠B=∠C=108°.由四边形内角和为360°,得∠B+∠C+∠CDF+∠BFD=360°,因为DF⊥AB,所以∠ BFD=90°,所以∠CDF=360°-∠B-∠C-∠BFD=360°-108°-108°-90°=54°. 11.证明:(1)因为BE,CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线,所以∠GBC=∠ABC, ∠GCB=∠ACB.因为∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°,所以∠BGC=180°-(∠ GBC+∠GCB)=180°- (∠ABC+∠ACB). (2)因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,所 以∠BGC=180°-(180°-∠A)=90°+∠A. 12.证明:因为四边形ABCD的内角和为360°,∠A=∠C=90°,所以∠ABC+∠ ADC=180°.因为BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,所以∠CBE= ∠ABC,∠CDF= ∠ADC,所以∠CBE+∠CDF=90°,因为∠C=90°,所以∠CDF+∠CFD=90°,所以∠ CBE=∠CFD,所以BE∥DF. 本节课内容是三角形学习基础上的延伸与深入,通过探索多边形内角和公式,尝试从不同角度寻求有效解决问题的方法,通过把多边形转化成三角形体会“转化思想”在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法,培养学生观察、比较、抽象和概括的能力,以及用“数形结合”的思维方式解决数学问题的能力. 一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那 么原来多边形的边数是 ( ) A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7 〔解析〕 首先求得内角和为720°的多边形的边数,再确定原多边形的边数.设多边形的边数为n,则(n-2)×180°=720°,解得n=6,则原多边形的边数为5或6或7.故选D. 〔解题策略〕 本题考查了多边形的内角和定理,理解截去一个角后有三种情况是解题关键. 一个多边形,除了一个内角外,其余各内角的和为2750°,求这个多 边形的边数. 〔解析〕 由于除去的一个内角在0°~180°之间,因此题目中有两个未知量,但相等关系只有一个,这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值. 解:设这个多边形的边数为n,除去的角为x°, 根据题意得2750+x=(n-2)×180, 所以x=(n-2)×180-2750, 因为0 即这个多边形的边数为18. 〔解题策略〕 注意题目中的隐含条件,如多边形的内角大于0°且小于180°及边数为不小于3的整数等条件的应用. 1.进一步掌握三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念,能正确应用三角形三边关系解题. 2.巩固三角形内角、外角的概念,领会三角形内角和、外角和之间的内在联系. 3.深刻理解多边形的内角和与外角和,建立三角形和多边形之间的联系. 1.通过准确理解概念,领会相关知识的推导过程. 2.通过必要的练习,达到巩固知识、整合知识、运用知识的目的. 培养学生严密的思维习惯,初步领略分类讨论的数学思想. 【重点】 1.三角形三边关系以及三角形中的重要线段. 2.三角形和多边形中的有关计算. 【难点】 三角形和多边形的相关知识的综合应用. 专题一 三角形三边的关系 【专题分析】 三角形的三边关系是不等式与几何知识的重要结合点,经常利用这种关系结合不等式进行考查.利用此定理可以判断三条线段能否组成三角形,确定三角形第三边的取值范围,也可以作为不等式计算的重要依据. 已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能 是 ( ) A.5 B.6 C.11 D.16 〔解析〕 已知三角形两边的长分别是4和10,∴第三边x的取值范围是6 【针对训练1】 已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形的个数为 A.2 B.3 C.5 ( ) D.13 〔解析〕 由三角形的三边关系可知11 已知在ΔABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a>b>c,a=8,那么 满足条件的三角形共有多少个? 〔解析〕 此题是典型的讨论类题目,为了不重复、不漏解,可以采用列表法. 解:由三角形的三边关系知b+c>a,而由b>c,a=8可知b>4,且b<8,又b是整数,所以b=5,6,7,如此分类可得c,列表讨论如下: a b 8 5 8 6 8 7 c 4 5,4,3 6,5,4,3,2 因此,满足条件的三角形共有1+3+5=9(个). [解题策略] 此类题要防止重复或漏解,办法是列表,先把大边固定,然后根据三边关系限制较小的两边. 【针对训练2】 如图所示,点P是ΔABC内一点,试说明 AB+AC>PB+PC. 〔解析〕 本题可适当添加辅助线解答. 解:如图所示,延长CP交AB于点D. 在ΔADC中,AD+AC>PC+PD, 在ΔBPD中,BD+PD>BP, ∴BD+PD+AD+AC>PC+PD+BP, 即AB+AC+PD>PD+PC+PB, ∴AB+AC>PB+PC. [解题策略] 本题充分运用了三角形的三边关系.利用转化思想解决问题,相当于寻找另一种解决问题的办法. 专题二 三角形的高、角平分线和中线 【专题分析】 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段,它们具有十分重要的性质,三角形的高构造了垂直的条件,三角形的中线隐含线段相等,三 角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分,三角形的角平分线提供了角相等的条件,掌握这些性质,对解与三角形有关的问题十分重要. 如图所示,在ΔABC中,BD=DC,∠1=∠2,则ΔABC的一条中线 是 ,一条角平分线是 . 〔解析〕 在ΔABC中,BD=DC,∠1=∠2,则ΔABC的一条中线是线段AD,一条角平分线是线段BE. 〔答案〕 线段AD 线段BE 【针对训练3】 如图所示,在ΔABC中,D是BC边上的任意一点,AH⊥ BC于H,图中以AH为高的三角形有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 〔解析〕 AH是图中所有三角形的高.故选D. [方法归纳] 对于本题,以AH为高的三角形的个数实际就是图中三角形的总个数,即3+2+1=6. 在ΔABC中,AB=AC,BD为ΔABC的中线,且BD将ΔABC的周长 分为12 cm与15 cm两部分,求三角形各边长. 〔解析〕 根据中线的定义得到AD=CD,设AD=CD=x cm,则AB=2x cm,分类讨论:①x+2x=12,BC+x=15;②x+2x=15,BC+x=12.分别求出x和BC,即可得到三角形三边的长. 解:如图所示, ∵BD为ΔABC的中线, ∴AD=CD. 设AD=CD=x cm, 则AB=2x cm. 当x+2x=12,BC+x=15时, 解得x=4,BC=11 cm, 此时ΔABC的三边长为:AB=AC=8 cm,BC=11 cm; 当x+2x=15,BC+x=12时, 解得x=5,BC=7 cm, 此时ΔABC的三边长为:AB=AC=10 cm,BC=7 cm. 【针对训练4】 如图所示,在ΔABC中(AB>BC),AC=2BC,BC边上的中线AD把ΔABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长. 〔解析〕 先根据AD是BC边上的中线得出BD=CD,设 BD=CD=x,AB=y,则AC=4x,再分AC+CD=60或AB+BD=60两种情况进行 讨论即可. 解:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD. 设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x. 分为两种情况:①AC+CD=60,AB+BD=40, 则4x+x=60,x+y=40, 解得x=12,y=28, ∴AC=4x=48,AB=28; ②AC+CD=40,AB+BD=60, 则4x+x=40,x+y=60, 解得x=8,y=52, ∴AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16, 此时不符合三角形三边关系定理. 综合上述,AC=48,AB=28. 专题三 多边形内角和与外角和定理 【专题分析】 用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题时,这两个定理都很重要. 如图所示,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为 ( ) A.65° B.55° C.45° D.35° 〔解析〕 ∵AB∥CD,∴∠C=∠AEC=35°,∵∠D=180°-∠C-∠CED,∠ CED=90°,∴∠D=180°-35°-90°=55°.故选B. [方法总结] 求一个角的大小,可以先转化为求一个和它相等的角的大小,然后运用平行线的性质、三角形内角和定理等知识去解决.求角的度数常用的方法有两种:(1)直接根据条件去求,(2)运用转化思想把所求的角转化为另一个角去求. 【针对训练5】 已知ΔABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠ A等于 ( ) A.40° B.60° C.80° D.90° 〔解析〕 用代数方法根据几何图形间的数量关系建立方程是求解几何问题的重要方法.由题意得∠B=2∠A,∠C=∠A+20°,所以∠A+∠B+∠C=∠A+2∠ A+∠A+20°=180°,解得∠A=40°.故选A. 七边形的内角和的度数为 ( ) A.540° B.720° C.900° D.1080° 〔解析〕 根据多边形内角和定理可以直接计算出答案为(7-2)×180°=900°.故选C. [解题策略] 此题主要考查了多边形内角和定理,关键是熟练掌握计算公式(n-2)×180°(n≥3,且n为整数). 【针对训练6】 若n边形的内角和为1440°,则从一个顶点出发引的对角线的条数最多是 条. 〔解析〕 n边形从一个顶点出发引的对角线的条数为(n-3),由(n-2)×180°=1440°得n=10.故填7. 一个多边形的每一个内角都相等,并且每个外角都等于和它相邻 的内角的,求这个多边形的边数及内角和. 〔解析〕 此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系,构建方程求解. 解:设该多边形的一个内角为x°,则一个外角为x°,依题意得 x+ x=180, x=180,x=108, 360°÷ =5, (5-2)×180°=540°. 答:这个多边形的边数为5,内角和是540°. 【针对训练7】 一个多边形除一个内角∠A外,其余所有内角之和为2190°,你能求出这个多边形的边数及∠A的度数吗? 〔解析〕 根据多边形的内角和公式(n-2)·180°可知用2190除以180,商就是(n-2),余数就是与∠A相邻的外角的度数,进而可以算出这个多边形的边数. 解:2190÷180=12……30,则边数n=15, 这个内角∠A的度数是180°-30°=150°, 故这个多边形的边数是15,∠A的度数是150°. [解题策略] 解答多边形的有关问题,关键要掌握多边形的内角和公式、相邻内外角之间的互补关系、多边形的对角线的条数与边数的关系. 专题四 三角形的外角 【专题分析】 三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以一个三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角,所以由三角形的内角和是180°可推出三角形的三个外角和是360°. 三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及论证与角有关的结论时经常使用的理论依据,另外,在证角的不等关系时也常用到外角的性质. 如图所示,在RtΔABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,∠C=60°,AT平分∠ BAC,AH⊥BC,垂足为H,则∠TAH= . 〔解析〕 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和进行求解.因为AH⊥BC,所以∠TAH=90°-∠ATH.由三角形外角性质可知∠ATH=∠B+∠BAT.因为∠BAT=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-(∠B+∠C),所以∠ATH=∠ B+90°- (∠B+∠C),所以∠TAH=90°-∠B-90°+ (∠B+∠C)= (∠C-∠B)=15°.故填 15°. [规律总结] 三角形中,同一个顶点处的角平分线和高线的夹角等于其余两内角差(较大的角-较小的角)的一半,如本题中∠TAH=(∠C-∠B). 【针对训练8】 如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张ΔABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将ΔABC沿着DE折叠压平,A与A'重合,若∠ DAE=75°,则∠1+∠2等于 A.150° B.210° ( ) D.75° C.105° 〔解析〕 方法1:由折叠知∠DA'E=∠DAE=75°,∵∠DAE+∠AED +∠ADE =∠DA'E+∠A'ED+∠A'DE=180°,∴∠DAE+∠AED +∠ADE +∠DA'E+∠A'ED+∠ A'DE=360°,∵∠1+∠AED +∠A'ED=∠2+∠ADE +∠A'DE=180°,∴∠1+∠AED +∠A'ED +∠2+∠ADE +∠A'DE=360°,∴∠1+∠2=∠DAE+∠DA'E=2∠DAE=150°.方 法2:如图所示,连接AA',根据三角形外角的性质可知∠1=∠EA A'+∠E A'A ,∠2=∠DA A'+∠D A'A ,∴∠1+∠2=∠EA A'+∠E A'A +∠DA A'+∠D A'A = ∠DAE+∠D A'E,由折叠知∠D A'E=∠DAE=75°,∴∠1+∠2=150°.故选A. [方法归纳] 同一个问题在解决的过程中可以有不同的方法,在解答之前要认真分析题目中的已知条件,选择合理的方法进行解答. 本章质量评估 (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.在ΔABC中,∠A,∠B都是锐角,则∠C是 ( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上都有可能 2.下列长度的线段,不能组成三角形的是 ( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.5,12,13 3.若一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形是 ( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 4.在ΔABC中,已知∠A=60°,∠C=80°,则∠B等于 ( ) A.60° B.30° C.20° D.40° 5.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是 ( ) 6.如图所示,AB∥CD,∠A=∠ACB=70°,则∠DCE等于 ( A.55° B.70° C.40° D.110° ) 7.如图所示,已知ΔABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+ ∠2等于 ( ) A.90° B.135° C.270° D.315° 8.如图所示,点O是ΔABC内一点,∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,则∠BOC等于 ( ) C.135° D.无法确定 A.95° B.120° 9.(2014·呼伦贝尔中考)一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是 ( ) A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形 10.如图所示,AD,AE分别是ΔABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,则∠ DAE的度数为 ( ) A.20° B.18° C.38° D.40° 二、填空题(每小题4分,共32分) 11.三角形的三个内角的比为1∶3∶5,则这个三角形的最大内角的度数为 . 12.如图所示,AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠ 1= . 13.如图所示,DE∥BC交AB,AC于D,E两点,CF为BC的延长线,若∠ ADE=50°,∠ACF=110°,则∠A= 度. 14.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4= . 15.如图所示,CD平分∠ACB,AE∥DC交BC的延长线于点E,若∠ACE=80°, 则∠CAE= 度. 16.如图所示,小亮从A点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向左转30°……照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走 了 米. 17.将一副三角板按如图所示的方式摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠ A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠ CDF= . 18.如图所示,已知在ΔABC中,CF,BE分别是AB,AC边上的中线,若 AE=2,AF=3,且ΔABC的周长为15,则BC的长 为 . 三、解答题(共58分) 19.(8分)如图所示,在ΔABC中,AC=6,BC=8,AD⊥BC于D,AD=5,BE⊥AC于 E,求BE的长. 20.(8分)如图所示,直线AD和BC相交于O,AB∥CD,∠AOC=95°,∠B=50°,求 ∠A和∠D. 21.(8分)一个等腰三角形的周长为22 cm,若一边长为6 cm,求另外两边长. 22.(10分)一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍,则它是几边形? 23.(12分)如图所示,AD,AE分别是ΔABC的高和角平分线,∠B=20°,∠C=80°, 求∠AED的度数. 24.(12分)如图所示,ΔABE中,∠A=∠E,BE是∠DBC的平分线,求证∠ACB=∠ A+2∠E. 【答案与解析】 1.D 2.A(解析:∵1+2=3,∴长度为1,2,3的线段不能组成三角形.故选A.) 3.D(解析:设该多边形的边数为n,根据题意得(n-2)×180°=360°×3,解得n=8.所以这个多边形是八边形.故选D.) 4.D(解析:∵在ΔABC中,∠A=60°,∠C=80°,∴∠B=180°-60°-80°=40°.故选D.) 5.D(解析:A中,∠1与∠2是对顶角,相等,故A选项错误;B中,根据图形可知∠1<∠2,故选项B错误;C中,∠1是锐角,∠2是直角,∠1<∠2,故选项C错误;D中,∠1是三角形的一个外角,所以∠1>∠2,故选项D正确.故选D.) 6.C(解析:∵∠A=∠ACB=70°,∴∠B=40°,又∵AB∥CD,∴∠DCE=∠B=40°.故选C.) 7.C(解析:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°,∴∠1+∠2=360°-90°=270°.故选C.) 8.C(解析:∵∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,∴∠OBC+∠OCB=180°-∠A-∠1-∠2=180°-80°-15°-40°=45°,又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,∴∠BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB)=180°-45°=135°.故选C.) 9.C(解析:外角的度数是180°-108°=72°,则这个多边形的边数是360÷72=5.故选C.) 10.A(解析:AD,AE分别是ΔABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,∴∠ BAD=14°,∠CAD=54°,∴∠BAE= ∠BAC= ×68°=34°,∴∠DAE=34°-14°=20°.故 选A.) 11.100°(解析:设三角形三个内角的度数分别为x,3x,5x,所以x+3x+5x=180°,解得x=20°,所以5x=100°.故填100°.) 12.85°(解析:∵AB∥CD,∠D=45°,∴∠B=∠D=45°.又∵∠A=40°,∴∠1=∠A+∠ B=40°+45°=85°.) 13.60(解析:∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE=50°,∠AED=∠ACB=180°-∠ACF=70°,∴∠ A=180°-70-50°=60°.) 14.300°(解析:在ΔABC中,∠1+∠2=180°-30°=150°,在ΔADE中,∠3+∠4=180°-30°=150°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=300°.故填300°.) 15.50(解析:∵∠ACE=80°,∴∠ACB=100°.又∵CD平分∠ACB,∴∠ DCA=100°× =50°.∵AE∥DC,∴∠CAE=∠DCA=50°.) 16.120(解析:∵360÷30=12,∴他需要走12次才会回到原来的起点,即一共走了12×10=120米.故填120.) 17.25°(解析:由题意知∠ACB=∠B=45°,在ΔDEF中,∠EDF=90°,∠E=30°,所以∠F=60°,因为∠ACE=∠CDF+∠F,∠BCE=40°,所以∠CDF=∠ACE-∠F=∠BCE+∠ ACB-∠F=40°+45°-60°=25°.故填25°.) 18.5(解析:∵CF,BE分别是AB,AC边上的中 线,AE=2,AF=3,∴AB=2AF=2×3=6,AC=2AE=2×2=4.∵ΔABC的周长为15,∴BC=15-6-4=5.) 19.解:∵SΔABC= AC·BE,SΔABC= BC· AD,∴AC·BE=BC·AD,∴BE = . 20.解:∵∠AOC=95°,∠B=50°,∴∠A=∠AOC-∠B=95°-50°=45°.∵AB∥CD,∴∠D=∠ A=45°. 21.解:①若底边长为6 cm,则腰长为(22-6)÷2=8 cm,所以另两边的长为8 cm,8 cm,符合三角形三边关系;②若腰长为6 cm,则底边长为22-6×2=10 cm.符合三角形三边关系.因此另两边长为10 cm,6 cm或8 cm,8 cm. 22.解:设这个多边形的边数为n,依题意有(n-2)·180°=4×360°,∴n=10,则是十边形. 23.解:∵∠B=20°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.∵AE是角平分线,∴∠ BAE=∠EAC=40°,∴∠AED=∠B+∠BAE=20°+40°=60°. 24.证明:∵∠DBE是ΔABE的外角,∴∠DBE=∠A+∠E.∵BE是∠DBC的平分线,∴∠DBE=∠EBC=∠A+∠E.∵∠ACB是ΔBCE的外角,∴∠ACB=∠E+∠EBC=∠A+2∠ E. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容