微分方程习题及答案之欧阳史创编

微分方程习题

时间：2021.02.10

创作：欧阳史 §1基本概念

1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）x2xyy2C,(x2y)y2xy （2）

t2- y 0e2dtx1,yy(y)2

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C, C1, C2均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）(xC)2y21； （2）yC1sin2xC2cos2x.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。

（3）曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

（1）

1x2y1y2；

（2）sec2xtanydxsec2ytanxdy0； （3）dy3xyxy2；

dx（4）(2xy2x)dx(2xy2y)dy0. 2．求下列微分方程的特解 （1）ye2xy, yx00； （2）xyyy2, yx11

23.求下列微分方程的通解 （1）xyy(lny1)；

x（2）(x3y3)dx3xy2dy0. 4.求下列微分方程的特解 （1）dydxxy, yx2y2x01；

（2）(y23x2)dy2xydx0, yx01.

5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）y(xy)2； （2）xyyy(lnxlny) （3）y11 xy（4）y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0

6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

P(x,y) B A 7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时(t0)速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系.

8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常？

9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？ §3 一阶线性方程与贝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （1）yyx2；

x（2）(x21)y2xycosx0； （3）ylnydx(xlny)dy0； （4）ydxy；

2(lnyx)（5）dy4eysinx1

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

2．求下列微分方程的特解 （1）yytanxsecx, yx00； (2)yysinx,y|x01

xx3．一 曲线过原点，在(x, y)处切线斜率为2xy，求该曲线方程.

4．设可导函数(x)满足方程

(x)cosx2(t)sintdtx1，求(x).

0 x5．设有一个由电阻

R10，电感

L2H，电流电压

E20sin5tV串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时

间t之关系.

6．求下列贝努利方程的通解 (1) yyx2y6

x（2）yy4cosxytanx （3）ydxxx2lny0

dy（4）yxyx121xy2

§4 可降阶的高阶方程 1.求下列方程通解。

(1)yyx；（2）y2xyx21；(3)yy2y204y3y1

x0（2）y2xyex2, yx00, y0

3．求yx的经过(0, 1)且在与直线yx1相切的积分曲线

24．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

证明：或负

y(1y2)32K,(K0,K0可推出y是线性函数；K可取正

5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a，出板速度为b(ab)，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？ §5 高阶线性微分方程

1.已知y1(x), y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，试证y1(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0的解 2.已知二阶线性微分方程

yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解

y1x, y2x2, y3e3x，试求此方程满足y(0)0, y(0)3的特解.

3．验证y1x1, y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解.

§6 二阶常系数齐次线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 （1）yy2y0； （2）y6y13y0； （3）y4y4y0； （4）y(4)2yy0.

2．求下列微分方程的特解 （1）y4y3y0, yx06, yx010 （2）y25y0, yx02, yx05 （3）y4y13y0, yx02, yx03

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

3.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规律.

l P mg 4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求浮筒质量.。

x O x(t)

5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.

O p(t) x

§7 二阶常系数非齐次线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 （1）y3y2y3xex； （2）y5y4y32x；

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

（3）y4yxcosx； （4）yysin2x； （5）yy2yx(ex4). 2．求下列微分方程的特解 （1）y3y2y5, y(0)6, y(0)2； （2）yysin2x0, y()1, y()1

3.设连续函数f(x)满足 f(x)ex 0x (tx)f(t)dt 求f(x).

4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k），求此物体之运动规律.

O x(t) P

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.

x(t)P O x

6.大炮以仰角、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.

§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组 1.求下列微分方程的通解 （1）x3yx2y2xy2yx3；

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

（2）yyxyx22. x2．求下列微分方程组的通解

dxdydtdtxy3（1）dxdy

xy3dtdtd2x23x4y0dt（2） 2dyxy02dt自测题

1.求下列微分方程的解。 （1）yytany；

xx（2）ydx(2x2yx)dy0； （3）yy2y2xyx2；

（4）yyxsin2x.

12．求连续函数(x)，使得x0时有 0 (xt)dt2(x).

3．求以y(C1C2xx2)e2x为通解的二阶微分方程.

4．某个三阶常系数微分方程 yaybycy0有两个解ex和

x，求a, b, c.

5．设yp(x)yf(x)有一个解为1，对应齐次方程有一特解

xx2，试求：

（1）p(x), f(x)的表达式； （2）该微分方程的通解.

6．已知可导函数f(x)满足关系式：

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

x 1 dtf(x)1求f(x).

f(t)12f(t)7．已知曲线yy(x)上原点处的切线垂直于直线x2y10，且y(x)满足微分方程y2y5yexcos2x，求此曲线方程. 微分方程习题答案 §1基本概念

1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）x2xyy2C,(x2y)y2xy 故所给出的隐函数是微分方程的解 （2）

t2- y 0e2dtx1,yy(y)2.

解：隐函数方程两边对x求导 方程两边再对x求导 指数函数非零，即有

故所给出的隐函数是微分方程的解

2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C, C1, C2均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）(xC)2y21； （2）yC1sin2xC2cos2x.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

解：设曲线为 y=y(x)则曲线上的点x,y处的切线斜率为

y，由题意知所求方程为yx2

（2）曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。

解：曲线上的点x,y处法线方程：Yy1Xx。

y故法线x轴的交点为Q坐标应为yyx,0，又PQ为y轴平分，故1yyxx0，

2便得曲线所满足的微分方程：

（3）曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。

解：点Px,y处切线方程：Yyy(Xx) 故Q坐标为0,yyx，则有 则得初值问题为：

22x(1y)4 yx20§2可分离变量与齐次方程 1．求下列微分方程的通解 （1）

1x2y1y2；

解:分离变量

（2）sec2xtanydxsec2ytanxdy0； 解:分离变量

elntanxtanyeC11tanxtanyeC1tanxtanyeC1tanxtanyC其中CeC

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

（3）dy3xyxy2；

dx解:

dy3xyxy2dxdyxy(y3)dx分离变量得

dydyxdxxdxy(y3)y(y3)dyxdx

y(y3)elnyy3e32x3C123232xxyy3C122eeCe其中Ce3C y3y31（4）(2xy2x)dx(2xy2y)dy0. 解

：

分

离

变

量

d2x121x得



2y2x2y2xdyxdxydyxdxy21212121d2y1211yln2y12x1eC12y12x1eC2y12x1C其中CeC

12．求下列微分方程的特解 （1）ye2xy, yx00； （2）xyyy2, yx11

2解：分离变量得

dydx11dxy1()dylnlnxC1 y1yxy2yxyy1Cx，其中CyeC1，

由 yx11得C1，故特解为y1xy 23．求下列微分方程的通解 （1）xyy(lny1)；

x欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

解：方程变形为齐次方程

ydyyy(ln1)，令u，则

xdxxxdyduux，故原方程变为uxdyu(lnu1)，分离变量得dxdxdxdudx，两边积分dudx，即dlnudx，故ulnuxlnuxulnuxlnlnulnlnulnxC1，得eeC1lnxC1

C1lnueC1yxlnuexlnCx，其中Cex3

（2）(x3y3)dx3xy2dy0.

y1解：方程变形为齐次方程dyx2dxy3xdu1u3故原方程变为ux2dx3u3ududx312ux2，令uy则dyuxdu，

x

dxdx，分离变量得

2，两边积分3u2dx， xdudx12u3x，即

1d12u3dx212u3x，即

d12u312u3得

ln12u32lnxC1eln12u3x2ln12u32lnxC1ln12u3x2C1eC1

33yy2C1C12C13212xe12xe12uxexxx32y3Cx其中CeC1

4． 求下列微分方程的特解

（1）dydxxy, y22xyx01；

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

y解：原方程化为dyx2dxy1x，令uy则dyuxdu，故原方程

xdxdx变为uxduu2dx1u两边积分

1u2，分离变量得3dudx

ux1u2dxduu3x11dx，即，得du3xuu11u2lnulnxC1u2lnulnxC1 22e1x2y2eC1ye12xy2Cy其中CeCCeC，由 y11x01得

C1，故特解为e1x2y2y

（2）(y23x2)dy2xydx0, yx01. 解：原方程可化为

y2dyx,令uyxdxy23x则dyuxdu，故原方

dxdx程变为

uxdu2u2,dxu3分离变量得即

3u2dxdu,3uux两边积分

得得

3u2dxduu3ux，

13dx1duxu1u1uu21ln3lnu1lnu1lnu3lnxlnCuy12u1x，即CxCx，又y33uyx2即

u21lnlnCx3uy3y2x2. 得特解为1x05． 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程

（1）y(xy)2；

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

解：令uxy则dydu1，原方程变为du1u2，分离变量

dxdxdx并积分dudx得arctanuxC 2u1故方程通解为arctan(xy)xc （2）xyyy(lnxlny)

解：令xyu,则xdyydu，原方程变为duulnu，分离变

dxdx量并积分dudx，即dlnudx

ulnuxlnuxdxx得lnlnulnxC1，得lnuCx，即lnxyCx，其中CeC故方程

1通解为xyecx

（elnlnuelnxClnueCxlnuCx，其中CeC）

111（3）y11 xydxdxdxu解：令xyu，则1dydu，原方程变为1du11，分离变量并积分ududx得

u2(xy)2xC故方程通解为xC 22（4）y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0 解：令xyu,dyduduuu2则xy，原方程变为xudxdxdx1uu2，分

1uu2dxdu离变量并积分， 3ux得1u2u1lnu2lnxC1，即2x2y3C12xy其中Ce1

C（分析原方程可变形为

令xyu,xyxydyxxyxy2dx1xyxy2，故令

）

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

（

dx111du32xuuuu，

1lnC1u2u112u1211xuulnulnxC1lnC1uu，ee2 2x211C123Ce其中） ye2xyC12xy2xy2xyC16． 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直

线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.

P(x,y) B A 解：曲线点P（x,y）的切线方程为： 该曲线与x轴交点记为B，则B坐标为xy,0， y过点P（x,y）平行于y轴的直线和x轴交点记为A，则A坐标为x,0

故三角形面积为1yABAPxxya2 2ydx

即有微分方程y22a2dydx当y22a2dydx当y22a2dy时用分离变量法解得y(Cx)2a2

时用分离变量法解得y(Cx)2a2

7． 设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正

比，并设开始下落时(t0)速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系.

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

8． 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检

查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常？

解: t以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得

5lnptc通解为: 2

加以初始 p(0)=0.3,

便可求出 p(t)=0.3e0.4t及p(30)=0.3e12 然后与实测比较知,此人胰脏不正常.

9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

解：设t时刻容器内含盐P(t)，P(0)10，由于t时刻容器内液体为：100+t，因此t时刻容器内浓度为：Q(t)P(t)100t.于是在t时刻盐的流失速度为：2Q(t)，从而有P(t)满足的方程为： 初始化条件为:

§3 一阶线性方程与贝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （1）yyx2；

x解：法一：常系数变易法：解齐次方程yy0，分离变量

x欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

得dydx，

yx积分得lnylnxC1，即yCx，其中CeC（注：在常系数

1变易法时求解齐次方程通解时写成显式解；

lnylnxC1elnyelnxC1yeC1xyCx其中CeC1。

设非齐次方程有解

yuxx，代入非齐次方程有

uxxuxuxx2，即uxx，

x212故uxxC，非齐次微分方程的通解yxC 22法二（公式法）

（2）(x21)y2xycosx0； 故yex212xdxcosxx21dx[2edxC] x12xdx212x（2dx2)

x1x1（3）ylnydx(xlny)dy0； 解：方程变形为dxdy11x ylnyydy1ylny1ylnydy1lnlnydyC1dyC1elnlny故xeeye y即2xlnyln2yC，其中C2C1 （4）yy；

2(lnyx)解：方程变形为dx2x2lny，

dyyy欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

22ydy2ydy2lny22lny故xe lnyedyClnyedyCeyy1即xy2y2lnyC

2（分

22部

2积

2分

2法：

y22ylnydylnydyylnyydlnyylnyydyylny2C）

（5）dy4eysinx1

dxdydeyy解：两边同乘e得e4sinxe，即4sinxey，

dxdxyy故令uey，则原方程变为duu4sinx

dx故uedx(4sinxedxdxC)，即uex(4sinxexdxC) 得uex[2(sinxexcosxex)C]

即原方程通解为ey2(sinxcosx)Cex （sinxexdx用分部积分法积分） 2．求下列微分方程的特解 （1）yytanxsecx, yx00； 解：yetanxdx[secxextanxdxdxdxdxC]ecosx[secxecosxdxC]

sinxsinx (2)yysinx,y|x01

x11dxdxsinxlnxsinx解：yex[edxC] exdxC]elnx[xx3．一 曲线过原点，在(x, y)处切线斜率为2xy，求该曲线方程.

y2xy,解：由题意可得：y0x0

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

dxex2xexdxC 于是：yedx2xedxC由yx00得C2，故曲线方程为y2(exx1) 4．设可导函数(x)满足方程

(x)cosx2(t)sintdtx1，求(x).

0 xxcosxxsinx2xsinx1解：问题为初值问题

01该微分方程为线性微分方程故xe又01得C1，故xsinxcosx 5．设有一个由电阻

R10tanxdxsecxetanxdxdxC

，电感

L2H，电流电压

E20sin5tV串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时

间t之关系.

解：由ERiLdi及

dtdi5i10sin5t可得：问题为初值问题 dtit00该微分方程为线性微分方程故 又it00得C1，故isin5tcos5te5t （分部积分法积sin5te5tdt） 6．求下列贝努利方程的通解 (1) yyx2y6

x解：原方程变形为y-6dy1y-5x2，令zy5，则dz5y6dy，

dxxdxdx故原方程变为线性微分方程dz5z5x2

dxxdxdxxx故ze[e(5x2)dxC]

55贝努利方程的通解为y55x3Cx5

2欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

（2）yy4cosxytanx

原方程变形为y4dytanxy3cosx，令zy3，则dz3y4dy

dxdxdx故原方程变为线性微分方程dz3tanxz3cosx

dx3tanxdxdxC故ze3tanxdx3cosxe

贝努利方程的通解为y3cos3x(3tanxC) （3）ydxxx2lny0

dy解：方程变形为x2dx1x11lny，令zx1，则

dyyydzdxx2 dydy故原方程变为线性微分方程

dzzlny dyyy11lnyydylnyydy1ylnydyC故zeedyCy dyC2yy贝努利方程的通解为x1lny1Cy，即xlny1Cy1 （4）yxyx121xy2

11xdz1122解：方程变形为yy2yx，，令zy，则y2dy

x1dx2dx12故原方程变为线性微分方程dz1dxxxz

2x212故ze1xdx22x11121x2x1dx1224xedxCx1C(x1) 23121122贝努利方程的通解为yx1C(x1)4

3§4 可降阶的高阶方程

1． 求下列方程通解。

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

dyd2ydp解：令p，则2，原方程变为线性微分方程dppx

dxdxdxdxdxdxCexxexexC xe故pedx11故yexxexexC1dx

x2即yC1exC2

2x（2）y2xyx21；

dyd2ydp解：令p，则2，原方程变为可分离变量的微分方

dxdxdx程dpdx2xp， 2x1分离变量积分得dpp2x2pCx1 dx，得12x13故yC1x21dx，即yC1x3C1xC2

dyd2ydpdpdydp解：令p，则2pdxdxdxdydxdy，原方程变为可分离变

量的微分方程ypdp2p20

dy若p0，即y0，故yD

若p0，分离变量积分dp2p，得pC1y2，

dyy即dpC1y2，分离变量积分dxdy1CdxC1xC2 ，得12yydyd2ydpdpdydp解：令p，则2pdxdxdxdydxdy，原方程变为可分离变

量的微分方程y3pdp1

dy欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

分离变量积分pdpy3dy，得p2y2C1，即dydxy2C1，

C1y21dy变形得，分离变量积分y2dydx

dxyC1y1即

dC1y21dxC1y2112C1得

12C1y21xC22C1，即

C1y21C1xC2

即C1y21C1xC22

dyd2ydpdpdydp解：令p，则2pdxdxdxdydxdy，原方程变为可分离变

量的微分方程pdpp2

dy由

yx01，知p0,分离变量积分dpdyp得

pC1ey，

yx00,yx01得C11

即dyey，分离变量积分eydydx得eyxC2，由yx00dx得C21

故特解ey1x （2）y2xyex解：令

dypdx2, yx00, yx00

，则

d2ydp2dxdx，原方程变为线性微分方程

2dp2xpex dx故pe2xdxex2e2xdxdxCxex2Cex2 11dyx2由 yx00, yx00得C10，即xe

dx22故yxexdx1exC2，由 yx00得C21，

22欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

1x2故特解为y1e

23．求yx的经过(0, 1)且在与直线yx1相切的积分曲线.

2y''x解：由题意，原方程可化为： 1y',y1x02x04．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：或负）

用y作自变量，令py得：

pdp(1p)1(1p)212232y(1y)232K,(K0,K0可推出y是线性函数；K可取正

Kdy，

KyC1，

从而

p1(KyC1)2(KyC1)2，

(KyC1)dy1(KyC1)2dx，

再积分：

1(KyC1)2KxC2，

(KyC1)2(KyC2)21，

(yC12C1)(x2)22KKK.

5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a，出板速度为b(ab)，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

过钢板的时间是多少？

dvmkv解：由方程， dtv(0)a可得 vae，

ktdsaem再从 dts(0)0ktm，

ktm得到 s(t)(aaem)，

k根据 s(t0),v(t0)b，

kt0aemb可得 ，t0lna

abbk(ab)m§5 高阶线性微分方程

1．已知y1(x), y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，试证y1(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0的解

2． 已知二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解

y1x, y2x2, y3e3x，试求此方程满足y(0)0, y(0)3的特解.

解：y1y2xx2；y2y3x2e3x是齐次微分方程的解， 且

y1y2xx2y2y3x2e3x常数，故原方程通解为

yC1(xx2)C2(x2e3x)x

由y(0)0, y(0)3得C20，C12，即特解为y3x2x2

3．验证y1x1, y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解.

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

§6 二阶常系数齐次线性微分方程

1． 求下列微分方程的通解

（1）yy2y0； （2）y6y13y0； （3）y4y4y0； （4）y(4)2yy0.

解：特征方程为r42r210，即r21即特征方程为有二重共轭复根ri 故方程通解为yC1C2xcosxC3C4xsinx 2．求下列微分方程的特解 （1）y4y3y0, yx06, yx010 （2）y25y0, yx02, yx05 （3）y4y13y0, yx02, yx03

3.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规律. 解：在t时刻，P点受力

Fmgsinmg20得ri0

2mg中垂直于摆的分量为：

，如图：

l P mg 此为造成运动之力.而此时线加速度

a

为ld2dt2，故有

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

d2dt2mlmg.

d2dt2g0， l从而方程为：

初始条件：(0)0，(0)0， 解得通解为：(t)c1cos特解为：(t)0cosgx lggxc2sinx ll4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下震动，周期为2s，求浮筒质量.

x O x(t) 解：建立如图所示的坐标系，

取圆筒在平衡时（此时重力与浮力相等）筒上一点为坐标原点，设筒在上下振动时该点位移为x(t)，则有mx(t)F(x).其中

F(t)为由于筒离开平衡位置后产生的浮力：

F(t)R2x1000g.

d2x由此可得振动方程：m2(10.5)21000gx,

dt2该方程的通解为

根据周期为T2s，获得22,

1000g16m欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

解出 m1000g195(kg).

165.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.

解：坐标系如图，原点于链尾点P，链条滑过的方向为x轴的正方向建立坐标系，

O p(t) x

于是x(0)0,x(0)0, 由 mx(t)(1x)g， 观察得一特解：x1， 于是通解为： 求t0，由x(t0)5， 得：t0＝

6 ln（635）g§7 二阶常系数非齐次线性微分方程

1． 求下列微分方程的通解

（1）y3y2y3xex；

解：特征方程为r23r20，特征根为r12,故对应齐次方程通解为yC1e2xC2ex

本题中1是特征方程的单根，故可设原方程有特解

r21，

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

代入原方程有x(AxB)123x(AxB)3x 得A3,B3

2故原方程通解为yC1e2xC2exxex(3x3)

2（2）y5y4y32x；

解：特征方程为r25r40，特征根为r11,r24， 故对应齐次方程通解为yC1exC2e4x

本题中0不是特征方程的根，故可设原方程有特解 代入原方程有AxB025(AxB)4(AxB)32x 得A1,B11

28故原方程通解为yC1exC2e4x1x11

28（3）y4yxcosx；

解：特征方程为r24r0，特征根为r10,r24， 故对应齐次方程通解为yC1C2e4x 构造复方程y4yxeix

复方程中i不是特征方程的根，故可设复方程有特解 代入复方程得 得A762i,B2i4

28914i故

y*(复方程有特解

4i1762iix4i1762ix)e(x)(cosxisinx) 1728917289故复方程特解的实部1xcosx76cosx4xsinx2sinx为

1728917289原方程的一个特解， 故

原

方

程

的

通

解

为

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

yC1C2e4x17642xcosxcosxxsinxsinx 1728917289（4）yysin2x；

解：原方程即为yy11cos2x

22特征方程为r210，特征根为r11,r21， 故对应齐次方程通解为yC1exC2ex 显然yy1有特解y11

22对yy1cos2x构造复方程y4y1e2ix

22设复方程有特解y2ae2ix，代入复方程有

12a4i0a2i1a

2得a1，即复方程有特解y21e2ix1cos2xi1sin2x

10101010故yy1cos2x有特解y21cos2x，

210所以原方程有特解y1cos2x1

102故原方程有通解yC1exC2ex1cos2x1

102（5）yy2yx(ex4).

解：特征方程为r3r22r0，特征根为r10,r22,r31 故对应齐次方程通解为对yy2yxex1，

1是1特征方程的单根，可设1有特解y1x(AxB)ex

yc1c2exc3e2x

解得y1x(1x4)ex

69对yy2y4x2，

0是2特征方程的单根，可设2有特解y2x(CxD)

解得y2x(x1)

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

故yx(1x4)exx(x1)是原方程的一个特解

69故原方程通解为yC1C2exc3e2xx(1x4)exx(x1)

692．求下列微分方程的特解 （1）y3y2y5, y(0)6, y(0)2； （2）yysin2x0, y()1, y()1

解法一：原方程即为yysin2x

特征方程为r210，特征根为r1i,r2i， 故对应齐次方程通解为yC1cosxC2sinx 构造复方程y4ye2ix

复方程中2i不是特征方程的根，故可设复方程有特解 代入复方程得 得A1

3故复方程有特解y*1e2ix1cos2x1isin2x

333故复方程特解的虚部1sin2x为原方程的一个特解，

31yC1cosxC2sinxsin2x

3由y()1, y()1得特解ycosx1sinx1sin2x

33故原方程的通解为

2． 设连续函数f(x)满足 f(x)ex 0 (tx)f(t)dt 求f(x).

xfexf(x)解:由题意有f(0)1,f(0)1

特征方程为r210，特征根为r1i,r2i 故对应齐次方程通解为yC1cosxC2sinx

1不是特征方程的根，故可设原方程有特解

解得

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

故原方程的通解为fxC1cosxC2sinx1ex

2由f(0)1,f(0)1得本题解为fx1cosx1sinx1ex

222（注f(x)ex 0 (tx)f(t)dt xf(x)ex tf(t)dt xf(t)dt

0 0 x x4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k），求此物体之运动规律.

解：取坐标系如图：

O x(t) P

设t时刻该质点离水平面为x(t)，其加速度为为mgkdx，便得x(t)满足的微分方程为：

dtd2xdt2，所受的力

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间. 解：考查链条的末端（在8米处）记为P，坐标系如图：

x(t)P O x

在t时刻P坐标为x(t)，于是x(0)8,x(0)0.t时刻链条所受的合力是：

(202x)g(是链条线密度）

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

整个链条的质量为：20 由

Fma，得

20d2xdt2(202x)g，

d2xdt2g10xg，（有特解x10） 求出通解 gxcg10t1ec2e10t10

然后由x(t)0解出全部滑落的时间

t10gln(526)（秒）

6.大炮以仰角、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求道曲线.

y p(t)(x(t),y(t))  解：取坐标系如图.x

设弹道曲线为xx(t)，yy(t)t时刻受力为：

（0，mg），

即mx(t)0,my(t)mg，

x(t)0y(t)g有x(0)0，y(0)0 x(0)v0cosx(0)v0sin分别可以解得：

§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组

1． 求下列微分方程的通解

欧阳史创编 2021..02.10

弹欧阳史创编 2021..02.10

（1）x3yx2y2xy2yx3； （2）yyxyx22. x2．求下列微分方程组的通解

dxdydtdtxy3（1）dxdy

xy3dtdtd2x23x4y0dt（2） 2dyxy0dt2自测题

1． 求下列微分方程的解

（1）yytany；

xx解：令

uy,x则dyuxdu，原方程变为可分离变量的微分方

dxdx程uxduutanu，

dx分离变量积分cotududx即dsinudx，得sinuCx，故原方

xsinux程通解为sinyCx

x（2）ydx(2x2yx)dy0；

解：原方程变形为伯努力方程dx1x2x2

dyy令zx1，则化为线性方程dz1z2

dxy1112ydyydy故ze2edyC得zyC，

y故xy 2yC法二：

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

yy2C； xy2y2xyx12y（3）y2；

x(e1yC)ye；

（4）yyxsin2x.

12．求连续函数(x)，使得x0时有 0 (xt)dt2(x).

解：由题意有

(x)1(x)0 2x2x(x)(x)， 即为线性齐次方程

1dx故(x)Ce2xC

x（

x注令

uxt，则

 0 (xt)dt2(x) 1变为

u1x 0 (u)dx2(x)x 0 (u)du2(x)

x 0 (u)du2x(x)x 0 (u)du2x(x)(x)2(x)2x(x)）

3．求以y(C1C2xx2)e2x为通解的二阶微分方程. 4．某个三阶常系数微分方程 有两个解ex和x，求a, b, c.

a1,bc0.

5．设yp(x)yf(x)有一个解为1，对应齐次方程有一特解

xx2，试求：

（1）p(x), f(x)的表达式； （2）该微分方程的通解.

13p(x), f(x)3xx；

6．已知可导函数f(x)满足关系式：

欧阳史创编 2021..02.10

欧阳史创编 2021..02.10

x 1 dtf(x)1求f(x).

f(t)12f(t)yf(x)yf(x)22y1 解：由题意得即f(x)1y11f(1)1分离变量积分1y21dydx得y2lnyxC

2y2由y11得C1，故y2lny22x1，即

7．已知曲线yy(x)上原点处的切线垂直于直线x2y10，且y(x)满足微分方程y2y5yexcos2x，求此曲线方程.

时间：2021.02.10 创作：欧阳史 欧阳史创编 2021..02.10