实验二z变换及其应用

实验三 z变换及其应用

3.1实验目的

1）加深对离散系统变换域分析——z变换的理解；

2）掌握进行z变换和z反变换的基本方法，了解部分分式法在z反变换中的应用；

3）掌握使用MATLAB语言进行z变换和z反变换的常用函数。

3.2实验涉及的MATLAB函数

1）ztrans

功能：返回无限长序列函数x(n)的z变换。

调用格式：

X＝ztrans(x)；求无限长序列函数x(n)的z变换X(z)，返回z变换的表达式。

2）iztrans

功能：求函数X(z)的z反变换x(n)。

调用格式：

x＝iztrans(X)；求函数X(z)的z反变换x(n)，返回z反变换的表达式。

3）syms

功能：定义多个符号对象。

调用格式：

syms a b w0；把字符a，b，w0定义为基本的符号对象。

4）residuez

功能：有理多项式的部分分式展开。

调用格式：

[r，p，c]＝residuez(b，a)；把b(z)/a(z)展开成部分分式。

[b，a]＝residuez(r, p, c)；根据部分分式的r、p、c数组，返回有理多项式。

其中：b，a为按降幂排列的多项式的分子和分母的系数数组；r为余数数组；p为极点数组；c为无穷项多项式系数数组。

3.3实验原理

１）用ztrans子函数求无限长序列的z变换

MATLAB提供了进行无限长序列的z变换的子函数ztrans。使用时须知，该函数只给出z变换的表达式，而没有给出收敛域。另外，由于这一功能还不尽完善，因而有的序列的z变换还不能求出，z逆变换也存在同样的问题。

例1 求以下各序列的z变换。

n(n1),21x5(n)n(n1)

x1(n)an,x4(n)ejw0n,x2(n)n,x3(n)syms w0 n z a

x1=a^n; X1=ztrans(x1)

x2=n; X2=ztrans(x2)

x3=(n*(n-1))/2; X3=ztrans(x3)

x4=exp(j*w0*n); X4=ztrans(x4)

x5=1/(n*(n-1)); X5=ztrans(x5)

2）用iztrans子函数求无限长序列的z反变换

MATLAB还提供了进行无限长序列的z反变换的子函数iztrans。

例2：求下列函数的z反变换。

X1(z)zz1X2(z)az(az)2zX3(z)(z1)31znX4(z)1z1

syms n z a

X1=z/(z-1); x1=iztrans(X1)

X2=a*z/(a-z)^2; x2=iztrans(X2)

X3=z/(z-1)^3; x3=iztrans(X3)

X4=(1-z^-n)/(1-z^-1); x4=iztrans(X4)

3）用部分分式法求z反变换

部分分式法是一种常用的求解z反变换的方法。当z变换表达式是一个多项式时，可以表示为

b0b1z1b2z2X(z)1a1z1a2z2bMzMaNzN

将该多项式分解为真有理式与直接多项式两部分，即得到

b0b1z1b2z2X(z)1a1z1a2z2bN1zN1MNCkzkNaNzk0

当式中M对于X(z)的真有理式部分存在以下两种情况：

情况1： X(z)仅含有单实极点，则部分分式展开式为

MNrkX(z)Ckzk1k11pkzk0Nr1r2111p1z1p2zMNrNkCzk1pNz1k0

X(z)的z反变换为:

x(n)rk(pk)u(n)nk1NMNk0C(nk)k

情况2: X(z)含有一个r重极点。这种情况处理起来比较复杂，本实验不做要求，仅举例4供使用者参考。

z2X(z)2z1.5z0.5，|z|>1，试用部分分式法求z反变换，并列出N＝20点的数值。例3：已知

解：由表达式和收敛域条件可知，所求序列x(n)为一个右边序列，且为因果序列。将上式整理得：

111.5z10.5z2

X(z)求z反变换的程序如下：

b=[1, 0, 0]; a=[1, -1.5, 0.5];

[r, p, c]=residuez(b, a)

在MATLAB命令窗将显示：

r＝ 2

-1

p＝ 1.0000

0.5000

c＝ ［］

由此可知，这是多项式M211z110.5z1

X(z)可写出z反变换公式：

x(n)2u(n)(0.5)nu(n)

如果用图形表现x(n)的结果，可以加以下程序：

N=20; n=0: N-1;

x=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n;

stem(n, x); title('用部分分式法求反变换x(n)');

z1H(z)112z136z2的z反变换，写出h(n)的表示式，并用图形例4：用部分分式法求解函数

与impz求得的结果相比较。

解 求z反变换的程序如下：

b=[0, 1, 0]; a=[1, -12, 36];

[r, p, c]=residuez(b, a)

在MATLAB命令窗将显示：

r＝ -0.1667- 0.0000i

0.1667＋0.0000i

p＝ 6.0000＋0.0000i

6.0000 - 0.0000i

c＝ ［］

由此可知，这个多项式含有重极点。多项式分解后表示为：

H(z)0.16670.166716z1(16z1)20.16670.16676z1z116z6(16z1)2

根据时域位移性质，可写出z反变换公式：

0.1667(n1)6n1u(n1)6

h(n)0.1667(6)nu(n)如果要用图形表现h(n)的结果，并与impz子函数求出的结果相比较，可以在前面已有的程序后面加以下程序段：

N=8; n=0: N-1;

h=r(1)*p(1).^n.*[n>=0]+r(2).*(n+1).*p(2).^n.*[n+1>=0];

subplot(1, 2, 1), stem(n, h);

title('用部分分式法求反变换h(n)');

h2=impz(b, a, N);

subplot(1, 2, 2), stem(n, h2);

title('用impz求反变换h(n)');

例5: 用部分分式法求解下列系统函数的z反变换，并用图形与impz求得的结果相比较。

0.13210.3963z20.3963z40.1321z6H(z)10.34319z20.60439z40.20407z6

解 由上式可知，该函数表示一个6阶系统。其程序如下：

a=[1, 0, 0.34319, 0, 0.60439, 0, 0.20407];

b=[0.1321, 0, -0.3963, 0, 0.3963, 0, -0.1321];

[r, p, c]=residuez(b, a)

此时在MATLAB命令窗将显示：

r＝ －0.1320－0.0001i

－0.1320＋0.0001i

－0.1320＋0.0001i

－0.1320－0.0001i

0.6537＋0.0000i

0.6537－0.0000i

p＝ －0.6221＋0.6240i

－0.6221－0.6240i

0.6221＋0.6240i

0.6221－0.6240i

0 ＋ 0.5818i

0 － 0.5818i

c = －0.6473

由于该系统函数分子项与分母项阶数相同，符合M≥N，因此具有冲激项。可以由r、p、c的值写出z反变换的结果。

如果要求解z反变换的数值结果，并用图形表示，同时与impz求解的冲激响应结果进行比较，可以在上述程序加：

N=40; n=0:N-1;

h=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n+r(3)*p(3).^n+r(4)*p(4).^n+…

r(5)*p(5).^n+r(6)*p(6).^n+c(1).*[n==0];

subplot(1, 2, 1), stem(n, real(h), 'k');

title('用部分分式法求反变换h(n)');

h2=impz(b, a, N);

subplot(1, 2, 2), stem(n, h2, 'k');

title('用impz求反变换h(n)');

4）从变换域求系统的响应

系统的响应既可以用时域分析的方法求解，也可以用变换域分析法求解。当已知系统函数H(z)，又已知系统输入序列的z变换X(z)，则系统响应序列的z变换可以由Y(z)＝H(z)X(z)求出。

z2zH(z)2X(z)z1.5z0.5，z1，例6: 已知一个离散系统的函数输入序列求系统在变换域的响

应Y(z)及时间域的响应y(n)。

解: 本例仅采用先从变换域求解Y(z)，再用反变换求y(n)的方法，以巩固本实验所学习的内容。

MATLAB程序如下：

syms z

X=z/(z-1);

H=z^2/(z^2-1.5*z+0.5);

Y=X*H

y=iztrans(Y)

程序运行后，将显示以下结果：

Y＝ z^3/(z-1)/(z^2-3/2*z+1/2)

y＝ 2*n＋2^(-n)

如果要观察时域输出序列y(n)，可以在上面的程序后编写以下程序段：

n=0: 20;

y=2*n+2.^(-n);

stem(n, y);

3.4实验内容

1）输入并运行例题程序，理解每一条程序的意义。

2）求以下各序列的z变换：

x1(n)nanx3(n)2nx2(n)sin(0n)x4eansin(n0)

3）求下列函数的z反变换：

X1(z)zzaX2(z)z(za)2zX3(z)zej01z3X4(z)1z1

4）用部分分式法求解下列系统函数的z反变换，写出x(n)的表示式，并用图形与impz求得的结果相比较，取前10个点作图。

1020z1X(z)18z119z212z3

5z2X(z)1z16z2 1(10.9z1)2(10.9z1)

X(z)3. 5实验报告

(1) 列写出通过调试后的实验任务程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。

(2) 思考题：

① MATLAB中提供的ztrans和iztrans变换方法，使用中有何问题需要注意？

② 回答预习思考题。