基于蒙特卡罗的电子双缝衍射的计算机模拟

文章编号:1673-2340(2005)04-0062-03

南通大学学报(自然科学版)

JournalofNantongUniversity(NaturalScience)

Vol.4No.4Dec.2005

基于蒙特卡罗的电子双缝衍射的计算机模拟

罗礼进

(南通大学理学院,江苏南通

226007)

摘要:依据电子衍射的几率密度函数,运用蒙特卡罗随机模拟方法,借助Matlab软件的编程及数据可视化功能,实现电子双缝衍射动态随机过程的演示。

关键词:电子双缝衍射;几率密度函数;蒙特卡罗;Matlab中图分类号:O641

文献标识码:A

ComputerSimulationofTwo-slitDiffractionofElectronBased

onMonteCarloMethodLUOLi-jin(SchoolofSciences,NantongUniversity,Nantong226007,China)

Abstract:BasedontheprobabilitydensityfunctionsofelectrondiffractionandMonteCarlomethod,thispaperdemonstratesthedynamicandstochasticprocessofthetwo-slitdiffractionofelectronbymeansofprogramminganddatavisualizationofMatlab.Keywords:two-slitdiffractionofelectron;probabilitydensityfunction;MonteCarlo;Matlab

电子双缝衍射是微观粒子具有波动性的重要证明实验,开始是作为假想实验而提出的,1988年才由

[1]

Tonomura等人做出了该实验。鉴于一般教学仪器不具备进行上述实验的条件,本文依据电子衍射的几率密度函数,运用蒙特卡罗随机模拟方法,借助计算机的数据可视化技术、绘图技术,构建电子双缝衍射的动态随机过程,清晰地演示出电子衍射的全过程。

1电子双缝衍射的蒙特卡罗随机模拟

电子衍射是大量电子随机运动的统计结果,可

图1电子双缝衍射示意图

运用蒙特卡罗方法对其进行模拟。运用蒙特卡罗方

法来处理本文的问题,首先必须根据要处理问题的x′o′平面,观测屏位于xoy平面,缝S1和S2的宽y′

规律,建立一个概率模型,然后进行随机抽样试验,度均为a,两缝中心间距为(a+b),衍射屏到观测屏从而得出一组按已知分布的随机数序列。最后依据这的距离为D。设动量为p、能量为E的自由电子沿Z一随机数序列,借助计算机程序设计语言或图形软轴正方向入射到双缝,其波函数为:

i件,就可实现电子双缝衍射动态随机过程的模拟。[(pz-Et)]h

Ψ=Ψ0e(1)

1.1概率模型的构建设在t=0时刻,波前到达双缝处(Z=0),由式

(1)可知,在双缝处波函数为一常数。图1是电子双缝衍射的示意图。衍射屏位于为简单起见,设

基金项目:江苏省现代教育技术研究立项项目(2005-R-1172)

作者简介:罗礼进(1964-),男,广西钦州人,南通大学理学院副教授,主要从事量子力学方面的研究。

罗礼进:基于蒙特卡罗的电子双缝衍射的计算机模拟・63・

在衍射屏上的波函数为:算机产生一个0至1之间均匀分布的随机数M;(3)

b将H与M进行比较,若H≥M,则选取该点(xi,yi),

Ψ(x′,0)=若Hbbbb0x′<-(a+);x′>-(a+);-2222坐标点。通过以上方法,便可以得到一个按w(x)分

(2)布的随机数序列。这个随机数序列便是我们实现电

根据费曼的路径积分理论[2],电子经过双缝而子衍射随机运动过程的依据。

{

1-(a+

b2

)≤x′≤-

2

;

b2

≤x′≤a+

b2

在t时刻到达观测屏上P点的衍射波函数为:

电子双缝衍射动态随机运动过程的实现a利用上述生成的按w(x)分布的随机数序列,借sinksinθa+b2Ψ(x,t)=2Ψ0)sinθ]・助计算机程序设计语言或图形软件,就可以实现电cos[k(

2aksinθ子双缝衍射动态随机过程的模拟。本文采用编写2iMatlab程序的方法来实现。在编写Matlab程序时,用[(pz-Et)]h

1.3

e

(3)

π。所以,电子经过双缝在观测屏上P点式中,k=2函数来实现电子衍射点的显示。λ出现的几率密度为:

2

Ψ(x,t)│w(x)=│=Ψ0│4│

2

Matlab的rand函数来产生均匀分布的随机数,用plot

2电子双缝衍射的Matlab程序

-7-6

取a=2×10m,b=1×10m,D=0.25m,加

sin2kkaa2sinθ2

cos[k(2

a+b2

sinθ2)sinθ]=

速电子的电压为U=1000V。根据λ=

h可算

2meU

πasin2sinθ2πa+bλw0cos[2λπasinθλ

设D>>(a+b),则有:θ=sin

xD

θ]sin(4)

出入射电子的波长。

从式(6)可看出,电子在观测屏上出现的最大几率密度为w0,即wmax=w0,所以:

H=

2

wx2

=sinAx2cos(Bx)wmaxAx(7)

(5)

根据以上讨论编写的电子双缝衍的Matlab程序如下:

h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25;rd=h/sqrt(23m3e3U);

%计算电子波长rd

A=(pi3a)/(rd3D);B=pi3(a+b)/(rd3D);%计算A和Baxis([-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5])

%设置坐标轴标度范围

set(gca,′color′,[0.122,0.012,0.62])

%设置坐标面背景颜色

title(′电子双缝衍射动态随机过程演示′,′font2

)size′,20,′color′,′k′i=1;

whilei<=20000

%用循环结构控制电%设置标题

代入式(4)有:

w(x)=w0

sin2πaxλ2πa+bDcos[λx]=2DπaxλD

(6)

2

2

w0sinAx2cos(Bx)

Axa,B=πa+b。其中,A=πλλDD

1.2

数据的生成

根据上述电子在观测屏上出现的几率密度函数

进行随机抽样,便得到按此几率密度函数分布的随机数序列。在蒙特卡罗方法中,有多种方法可实现按已知分布的随机抽样。根据本文要处理的问题的特点,采用VonNeumann的舍选法。

舍选法的具体做法是:(1)计算机在一定的范围内随机地选取观测屏一坐标点(xi,yi),并计算H=

wxi。其中,w(xi)是几率密度函数w(x)在点(xi,wmaxyi)的值,wmax是几率密度函数w(x)的最大值;(2)计

子的数目

x=5e-53(23rand-1);%产生5e-5至-5e-5之间均匀分布的随机数赋给x

・64・南通大学学报(自然科学版)2005年

y=4e-53(23rand-1);%产生4e-5)set(hpoint,′color′,′w′%将当前坐

至-4e-5之间均匀分布的随机数赋给yH=(((sin(A3x))^2)/(A3x)^2)3

((cos(B3x))^2);M=rand;

%计算H

%产生0至1之间均匀

标点由红颜色变为白颜色

endend

分布的随机数赋给M

运行上述程序便会得到电子双缝衍射动态随ifH>=M%用分支结构选择符合条

机过程的演示,图2、图3、图4分别是电子数为件的坐标点

1000、20000时的衍射图。从中可看出,当电子holdon%保留当前坐标系中已存100、

数目较少时(如图2),衍射特征不明显,电子表现出的在的图形对象

4),衍射特hpoint=plot(x,y,′.r′,′EraseMode′,′none′,是粒子性;但随着电子数目的增多(如图3、

′markerSize′,16);%用红颜色显示征逐渐明显,电子表现出了波动性。为了将衍射结果

与根据量子力学原理得出的衍射几率密度分布函数符合条件的坐标点,并赋句秉值给

进行比较,文中还给出了衍射图样与相应的衍射几率hpoint

密度分布函数曲线对比图(如图5)。可以看出,衍射图i=i+1;

pause(1)

%暂停1秒3电子双缝衍射图

中所反映出的电子点的分布,与几率密度分布函数曲线所反映的几率密度大小分布完全一致。

图2电子数为100时的衍射图样图3电子数为1000时的衍射图样

图4电子数为20000时的衍射图样

图5衍射图样与衍射几率密度分布函数曲线对比图

参考文献:

[1]TonomuraA,EndoJ,MatsudaT.Demonstrationofsingle-electronbuildupofaninterferencepattern[J].AmJPhys,

1989,57:117.[2]周佩瑶,武

星.单电子双缝及多缝衍射的定量分析[J].

天津大学学报,2002,35(2):250-252.