广西南宁市第三中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题 精

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．sin240（ ）

A．1 2B．3 2C．

1 2D．3

22．已知向量a(k,1),b(1,1),，如果a//b，那么（ ）

A．k1且c与d同向 C．k1且c与d同向

B．k1且c与d反向 D．k1且c与d反向

ππ

3．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝2sin(2x＋4)，g(x)＝sin(2x＋3)，

π

h(x)＝cos(x－6)的部分图象如图所示，则( )

A．a为f(x)，b为g(x)，c为h(x) B．a为h(x)，b为f(x)，c为g(x) C．a为g(x)，b为f(x)，c为h(x) D．a为h(x)，b为g(x)，c为f(x)

4．函数y＝cosx·|tanx| x 的大致图象是（ ）

22

5．如图， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ） A．ADCECF0 B．BDCFDF0 C．ADBECF0 D．BDBEFC0

6．若扇形的弧长是8cm，面积是8cm2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）

A．1 B．2

C．

D．4

- 1 -

b、c两两所成的角相等，且a=1，b=1，c=3，则a+b+c等于（ ） 7．若向量a、A．2

B．5

C．2或5 D．2或5 8．将函数y＝cos(2x)的图象沿x轴向左平移的一个可能取值为（ ） A．3 4B．

8个单位后，得到一个奇函数的图象，则 4C．

3 8D．－

49．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)．若点C满足

，则点C的轨迹方程为( ) OCOAOB,其中,R,且1A．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0

B．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x＋2y－5＝0

π

10．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)，y＝f (x)的部分

π

图象如图所示，则f (24)＝（ ） A．3 C．

B．3 D．3 33 311．使sinxcosx成立的一个区间是（ ）

113) ) C．(,D．(0,)

4224412．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足

A．(,34) B．(,OPOA(( ) A．外心

ABABcosBACACcosC)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的

B．内心 C．重心 D．垂心

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上) 13．已知a(3,4)则a___________

14．已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用a和b表示c，则c=____ 15．函数y=lg（2sinx+1）的定义域为________________________．

→

16．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足 |CD|＝

- 2 -

1，

→→→

则|OA＋OB＋OD|的最大值是 ．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知tan

18．（本小题满分12分）已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos,sin），

3cos的值。 ，求sin、43(,).

22

19．（本小题满分12分）已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61, （1）求向量a与向量b的夹角θ； （2）若(ka+b)⊥b，求k的值.

（I）若|AC||BC|,求角的值； （II）若ACBC2，求tan的值.学 5 - 3 -

20．（本小题满分12分）如图,长方体ABCDA1BC11D1中AB=16,BC=10,AA18,点E,F分别在A1B1,D1C1 上,A1ED1F4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形EFGH.

（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法与理由）； （Ⅱ）求二面角HEGB1的余弦值．

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD,PAPD, PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD5。 （1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（2）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求

说明理由。

22．（本小题满分12分）已知圆O:x2y24和点M(1,a)。

（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程； （2）若aAM的值；若不存在，请AP2，过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直，求ACBD的最大值。

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南宁三中2017~2018学年度下学期高一段考

理科数学试题答案

1．B 2．D

a(1,0),b(0,1)，若k1，则cab(1,1),dab(1,1)，显然，a与

1,1),dab(1,1)，即c//db不平行，排除A、B。若k1，则cab(且与d反向，排除C，选D。

3．B 解析：从振幅、最小正周期的大小入手：b的振幅最大，故b为f(x)；a的最小正周期最大，故a为h(x)，从而c为g(x)．故选B.

xf004．C 【解析】函数是偶函数，所以D排除， 过原点，所以A排除，当0,

2时，ycosxtanxsinx，所以选择C． 5. C

ADDB,ADBEDBBEDEFC,得ADBECF0.

或ADBECFADDFCFAFCF0. 6．D

1ll8,lr8,r2,4，。

2r27．C 设向量a、b、c两两所成的角为，由题意可知0或120，则先求出a+b+c的值即可求得答案是C.

8．B y＝cos(2x)的图象沿x轴向左平移

8个单位后得g(x)cos[2(x8)]

cos(2x4)，得到一个奇函数的图象，所以g(0)cos(4)0,4

9．D 解析：

OCOAO，B又

1得1，代入上式得

OC(1)OA

OB,ACAB，即知A、B、C三点共线，求C点的轨迹方程即为求AB的直线方程。

由A(3,1),B(1,3)知AB的方程为x2y50，即为C点的轨迹方程．答案：D 10．A 解析：本题可先通过f(x)相邻两零点与周期的关系求出周期，其次再利用零点及|φ

ππ3ππ

|<2，求出φ，利用f(0)＝1，求出A，得到f(x)，最终代数求出f(24)的值．8－8＝ - 5 -

πTππ

4＝2，∴T＝2，又∵T＝|ω|，ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝Atan(2x＋φ) 3π3π3π

又∵f(8)＝0，∴Atan(4＋φ)＝0，∴φ＋4＝kπ(k∈Z) 3πππ

∴φ＝kπ－4，又∵|φ|<2，∴φ＝4 π

∴f(x)＝Atan(2x＋4)，又∵f(0)＝1，∴A＝1 πππ

∴f(x)＝tan(2x＋4)，∴f(24)＝tan3＝3. 答案：3

11．A 解释：由ysinx和ycosx的图像可知不等式sinxcoxs的解集为

32k,2kkZ，当k0时为A。 4412．D

OPOA(ABABcosBABABcosBACACACcosC),AP(ABABcosBACACcosC),

又

BC(ABACcosC)BCBC0,BC与

(13. 5

ACACcosCABcosB即点P在BC的高线上，即P的轨迹过ABC的垂心。 )垂直，

14.【解析】c2ab 设cxayb，则(x,2x)(2y,3y)(x2y,2x3y)(4,1)

x2y4,2x3y1,x2,y1

15．【解析】由2sinx10即sinx1π7π，∴+2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）． 266π7π故此函数的定义域为{x+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}．

66→→22

16．解析：设D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1可知(x－3)＋y＝1，即动点D的轨迹为→→→

以点C为圆心的单位圆．又OA＋OB＋OD＝(－1，0)＋(0，3)＋(x，y)＝(x－1，y＋3)，

→→→

∴|OA＋OB＋OC|＝（x－1）2＋（y＋3）2，问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点

P(1，－3)间距离的最大值．

∵圆心C(3，0)与点P(1，－3)之间的距离为（3－1）2＋（0＋3）2＝7，

- 6 -

故（x－1）＋（y＋3）的最大值为7＋1.

22

sin2cos21317．解：tan0,为第二或第四象限角，sin， 34cos434,cos； 5534当为第四象限角时，sin,cos，

5534（注：sin,cos得5分）

55当为第二象限角时，sin18．解：（I）

AC(cos3,sin),BC(cos,sin3)，

AC(cos3)2sin2106cos， BCcos2(sin3)2106sin，

5。

22422 （II）由ACBC，得(cos3)cossin(sin3)，

551sincos ①

51由①式两边平方得12sincos，

252424492sincos,(sincos)21()，

2525252470,(,)，sincos0,sincos, 又2sincos2525434sin,cos,tan

553由ACBC得sincos，又(3,),19．解：(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4a2-4a·b-3b2=61. ∵|a|=4,| b|=3, ∴a=16, b=9, ∴4×16-4a·b-3×9=61, ∴a·b=-6, ∴cos θ=

abab2

2

612，又∵0≤θ≤π,∴θ 43232

（2）由(ka+b)⊥b得(ka+b)·b=0, 即ka·b+b=0, ∴-6k+9=0, k=

3 220．分析：（I）分别在AB、CD上取H、G，使AHDG10，长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，可求得其体积比值为

解析：

- 7 -

97或。 79（I）交线围成的正方形EHGF如图， （Ⅱ）作EMAB，垂足为M， 则AMA1E4，EMAA18，

因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10． 于是MHEHEM6，所以AH10．

22D1EDFC1以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则

A1B1GCAMHBA(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE(10,0,0)，HE(0,6,8)．

设n(x,y,z)是平面EHGF的法向量，

nFE0,10x0,则即所以可取n(0,4,3)．

6y8z0,nHE0,同理可得，平面B1EG的法向量为m(4,0,5)，

设二面角HEGB1的平面角为，则coscosm,nmnmn341。 4121．解：（1）取AD的中点O，连接PO，CO，因为PAPD，所以POAD，

又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD， 因为CO平面ABCD，所以POCO，因为ACCD，所以COAD。 如图建立空间直角坐标系Oxyz，

由题意得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)， 设平面PCD的法向量为n(x,y,z)，

yz0nPD0则，即，令z2，则x1,y2，所以n(1,2,2)，

2xz0nPC0又PB(1,1,1)，所以cosn,PBnPBnPB3。 3 （2）设M是棱PA上一点，则存在0,1使得AMAP，

因此点M(0,1,),BM(1,,)，因为平面BM平面PCD，所以BM//平面PCD，

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当且仅当BMn0，即(1,,)(1,2,2)0，解得所以在棱PA上存在点M使得BM//平面PCD，此时

1， 4AM1。 AP422．解：（1）1a24，则a3， ……………2分

当a3时，切线方程为y33(x1) ……………3分 3当a3时，线方程为y33(x1) ……………4分 322 （2）解法一：设O到AC,BD的距离分别为d1,d2，则d1d23 ……………6分

2 ……………8分 AC24d12,BD24d22,ACBD24d1224d22(ACBD)22084d12d22084d12(3d12)(0d12)

208d143d124 ……………10分

(ACBD)2最大40,ACBD的最大值为210 ……………12分

（可由公式(d1d2)02d1d2d1d23）

解法二：当AC的斜率为0或不存在时，ACBD2(26)， 当AC的斜率存在且不为0时，设AC的方程为y2k(x1)，

23k22k2，

由弦长公式L2rd得AC2k212222222K223同理可得，BD2,AC2BD220, 2K13k222k22k222k3 (ACBD)202ACBD2082k1k212 2086(22k1222k1 )(2)k21k1当

22k11，即k323时，(ACBD)最大40， 2k12- 9 -

ACBD的最大值210

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