高中数学函数综合题难题讲解

●难点磁场

(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值. ●案例探究

［例1］设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,1］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.

2(1)求f(1)、f(1);

24(2)证明f(x)是周期函数； (3)记an=f(n+

[分析]技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为

xxxxxf(x)f()f()f()f()是解决问题的关键.

22222(1) 解：因为对x1,x2∈［0,1］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以

2xxxf()f()≥0, 2221),求lim(lnan).

n2nf(x)=

x∈［0,1］

又因为f(1)=f(1+1)=f(1)·f(1)=［f(1)］2

222f(1)=f(1+1)=f(1)·f(1)=［f（1）］2 24444422又f(1)=a>0

1112∴f()=a,f()=a4 241 1 / 4

(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R ∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个 周期.

(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］ ∵f(1)=f(n·

21)=f(1+(n－1) 1)=f(1)·f((n－1)·1) 2n2n2n2n2n=…… =f(

1)·f(1)·……·f(1) 2n2n2n1=［f(1)］n=a2 2n∴f(1)=a2n.

2n又∵f(x)的一个周期是2 ∴f(2n+1)=f(1),因此an=a2n

2n2n∴lim(lnan)lim(1nn112nlna)0.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )

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2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：

①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)其中成立的是( ) A.①与④

D.②与④ 二、填空题

3.(★★★★)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_________.

三、解答题

4.(★★★★)设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R. (1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的最小值. 5.(★★★★★)设f(x)=

11x. lgx11x B.②与③ C.①与③

(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性； (2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解； (3)解不等式f［x(x－1)］<1.

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6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(

511xy1xy

);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.

11)f().

2n23n1求证：f(1)f(1)f(7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).

(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.

(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.

8.(★★★★★)已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0,］,

2设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N.

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