初中数学平行四边形经典例题讲解(3套)

平行四边形经典例题（附带详细答案）

1．如图，求证： E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AFCE．BE∥DF，

A E D

B

F C

【答案】证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC， ACBCAD． 又BE∥DF，

BECDFA， △BEC≌△DFA，

CEAF

2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，求四边形ABCD的周长． 【答案】

A D B

C

解法一: ∵AB∥CD

∴BC180 又∵BD ∴CD180

∴AD∥BC即得ABCD是平行四边形 ∴ABCD3，BCAD6

∴四边形ABCD的周长262318 解法二:

ADBC， BC6, AB3，

A D B

C

连接AC

∵AB∥CD ∴BACDCA 又∵BD，ACCA ∴△ABC≌△CDA

∴ABCD3，BCAD6

∴四边形ABCD的周长262318 解法三:

A D B

C

连接BD

∵AB∥CD ∴ABDCDB 又∵ABCCDA ∴CBDADB

∴AD∥BC即ABCD是平行四边形 ∴ABCD3，BCAD6

∴四边形ABCD的周长262318

3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠求∠A，∠B，∠C的大小． 【关键词】多边形的内角和

【答案】设Ax（度），则Bx20，C2x．

根据四边形内角和定理得，x(x20)2x60360．解得，x70．

C是∠A的2倍，

∴A70，B90，C140．

4．（如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，

AFCE，DFBE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB． （2）四边形ABCD是平行四边形．

D

E C

A

F

B

【关键词】平行四边形的性质,判定

【答案】证明：（1）DF∥BE，DFEBEF．AFDDFE180°，

CEBBEF180°，AFDCEB．又

△AFD≌△CEB(SAS)．

AFCE，DFBE，

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，DACBCA，ADBC，AD∥BC．四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，BE2. （1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

A D A D F

B

E

C

B

E

F P C

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解：（1）

AEEF

2390°

四边形ABCD为正方形

BC90° 1390°

12

DAMABE90°，DAAB △DAM≌△ABE

DMAE AEEP DMPE

四边形DMEP是平行四边形．

解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形 证明：在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP．

ADBA，DAMABE90° Rt△DAM≌Rt△ABE DMAE，14 1590° 4590°

AEDM AEEP DMEP

四边形DMEP为平行四边形

A M 1 D

5

4 F P

B E C

6．已知二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线xm（m2）与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式；

（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

y O x

【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线

abc0，解：（1）根据题意，得4a2bc0，

c2.y A O (F2)F1 C (x=m) E1 (E2) B D x

解得a1，b3，c2．

yx23x2．

（2）当△EDB∽△AOC时， 得

AOCOAOCO或， EDBDBDED∵AO1，CO2，BDm2，

AOCO12时，得， EDBDEDm2m2∴ED，

2当

2m∵点E在第四象限，∴E1m，．

2当

AOCO12时，得，∴ED2m4， BDEDm2ED42m)． ∵点E在第四象限，∴E2(m，（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则

EFAB1，点F的横坐标为m1，

2m2mF当点E1的坐标为m，时，点的坐标为m1，1，

22∵点F1在抛物线的图象上， ∴

2m(m1)23(m1)2， 2∴2m211m140， ∴(2m7)(m2)0，

7∴m，m2（舍去），

253∴F1，，

24∴SABEF133． 44当点E2的坐标为(m，42m)时，点F2的坐标为(m1，42m)， ∵点F2在抛物线的图象上， ∴42m(m1)23(m1)2， ∴m27m100，

∴(m2)(m5)0，∴m2（舍去），m5，

6)， ∴F2(4，∴SABEF166．

注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分． 7．已知：如图在

ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延

长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加

以证明；

E M B A O C D E M N F B A O C D N F

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形

经过怎样的变换得到？

【关键词】四边形、全等三角形、变换 （1）①△DOE≌△BOF；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴EDOFBO，EF

又∵ODOB

∴△DOE≌△BOFAAS

②△BOM≌△DON

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴MBONDO，BMODNO 又∵BODO

∴△BOM≌△DONAAS

③△ABD≌△CDB；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴ADCB，ABCD

又∵BDDB

∴△ABD≌△CDBSSS

（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到． 8分

8．在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 【关键词】平行四边形的性质，判定 【答案】解：（1）

（2）

10．（2009年中山）在以AB为直径作⊙O，

（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）； （2）当m取何值时，CD与⊙O相切．

D A O ABCD中，AB10，AD=m，D60°，

C B 【关键词】利用平行四边形证明线段相等

【答案】（1）分别过A，O两点作AECD，OFCD，垂足分别为点E，点F，

AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离． 四边形ABCD是平行四边形，

AB∥CD，AEOF．

D A O F D A O F E E C B C B 在Rt△ADE中，D60°，sinDAEAE， ，sin60°ADAD3AE33，AEm，OFAEm， 2m22圆心到CD的距离PF为3m． 2（2）OF3m， 2AB为⊙O的直径，且AB10，

当OF5时，CD与⊙O相切于F点，

即

3103m5，m， 23103时，CD与⊙O相切． 3当m11．如图：点A.D.B.E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

C F A D B E

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解法1：图中∠CBA＝∠E

证明：∵AD＝BE

∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE ∵AC∥DF ∴∠A＝∠FDE 又∵AC＝DF

∴△ABC≌△DEF

∴∠CBA＝∠E

C F A D B

E

解法2：图中∠FCB＝∠E

证明：∵AC＝DF，AC∥DF

∴四边形ADFC是平行四边形 ∴CF∥AD，CF＝AD

∵AD＝BE ∴CF＝BE，CF∥BE ∴四边形BEFC是平行四边形 ∴∠FCB＝∠E

12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD6cm，CD4cm，BCBD10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0t5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ存在，说明理由．

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

A P B

F

C E Q D 2S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不25

【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 【答案】

A P B E Q N F

D M C

解：（1）∵PE∥AB ∴

DEDP． DADB而DEt，DP10t，

t10t， 61015∴t．

415∴当t(s)，PE∥AB．

4∴

（2）∵EF平行且等于CD， ∴四边形CDEF是平行四边形． ∴DEQC，DQEBDC． ∵BCBD10，

∴DEQCDQEBDC． ∴△DEQ∽△BCD．

DEEQ． BCCDtEQ． 1042∴EQt．

5∴

过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．

BM1022210049646． ∵EDDQBPt， ∴PQ102t． 又△PNQ∽△BMD，

PQPN， BDBM102tPN， 1046tPN461

5S△PEQ11246246tEQPNt461tt． 225525511CDBM44686． 22（3）S△BCD若S△PEQ则有2S△BCD， 25462462tt86， 25525解得t11，t24．

（4）在△PDE和△FBP中，

PDBF10t，△PDE≌△FBP PDEFBP，∴S五边形PFCDES△PDES四边形PFCD S△FBPS四边形PFCD S△BCD86．

∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

DEBPt，经典例题（附带答案2）

例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？

分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数． 解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得

，解得

，∴

∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°． 例2 已知：如图，

的周长比

的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，

的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．

分析 由平行四边形对边相等，可知30cm，又由

的周长比

平行四边形周长的一半＝

cm，由此两

的周长多8cm，可知

式，可求得各边的长． 解 ∵四边形 ∴

为平行四边形，∴

，∴

，∴

答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．

说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差． 例 3 已知：如图，在

中，

交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．

分析 观察图形，说明

中，

，∴

，∴

，

交于O，∴

，

，从而可

证明 在 ∴

例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且垂足为F。求证：

分析 观察图形，

，斜边

若连结AE，则

与

与

都是直角三角形，且锐角

，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。

，∴

证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴

又 例5 O是则

，∴，∴

， 。∴

的周长为59，

，

，

ABCD对角线的交点，

与

________，若的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.

解答：ABCD中，，.

∴ 的周长

∴ 在

.

ABCD中，的周长－

. ∴的周长

∴ ∴

ABCD的周长

与

的周长

说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将的差转化为两条线段的差. 例6 已知：如图，条高DE，DF，且

ABCD的周长是，

，由钝角顶点D向AB，BC引两. 求这个平行四边形的面积.

解答：设

.

∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴

.

①

又∵四边形ABCD的周长为36，∴ ∵ ∴

，

∴ ②

.

解由①，②组成的方程组，得

∴.

说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.

经典例题（附带详细答案3）

例1 （2006年·河北）如图1，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别是（ ）。 A、2和3

B、3和2

C、4和1

D、1和4

解析：因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，AD=BC。所以∠DAE=∠BEA。又AE平分∠BAD，故∠BAE=∠DAE=∠BEA。所以AB=BE=3，CE=5－3=2。故选B。

例2 （2006年·枣庄市）如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ） A、10B、2C、1D、5解析：因四边形ABCD是平行四边形，故AO=CO，DO=BO，又AC=12，BD=10，则AO=6，BO=5。故6－5例3 （2006年·北京市海淀区）如图3，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，并且BE=DF。 求证：ABECDF。

证明：因四边形ABCD是平行四边形，故AB=CD，∠B=∠D。又BE=DF，所以△ABE≌△CDF（SAS）。

点评：平行四边形具有以下性质：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分。

二、考查平行四边形的判定

例4 （2006年·攀枝花市）如图4，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是___________。

解析：可选择AD//BC，AB=CD，∠A+∠B=80°，∠C+∠D=180°等条件中的一个。此题是答案不唯一的开放题，所添的条件灵活多样，主要考查平行四边形的判定方法。

例5 如图5，四边形ABCD中，AB//DC、E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF。四边形ABFC是什么四边形？说明你的理由。

解析：因AB//DC，故∠CFA=∠BAF。又E是BC的中点，故CE=BE。又∠CEF=∠BEA，则△CEF≌△BEA。则EF=EA。故四边形ABFC是平行四边形。 点评：平行四边形的判定方法有很多：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形，要根据题目所给的条件及图形的特点，选择适当的判定方法。

三、考查性质与判定的综合应用

例6 如图6，在平行四边形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE。

（1）写出图中所有你认为全等的三角形；

（2）延长AE交BC的延长线于点G，延长CF交DA的延长线于点H（请补全图形），并证明四边形AGCH是平行四边形。

解析：（1）图中全等的三角形有△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB。

（2）补全后的图形如图7所示。

因四边形ABCD是平行四边形，故AB//CD，AB=CD，∠ABD=∠CDB。又BF=DE，故BF+FE=DE+FE，即BE=DF。所以△ABE≌△CDF，故∠AEB=∠DFD，HC//AG。又HA//CG，故四边形AGCH是平行四边形。

点评：平行四边形是一种重要的四边形，中考中与之相关的试题较多。此题综合考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定及全等三角形等知识。（1）要先找出图中所有的三角形，然后根据三角形全等的条件及平行四边形的特征进行

分析判断。（2）是补图证明题，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。