一、选择题（共8小题）.
1．地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（ ） A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2y+xy2＝x3y3
B．（﹣x）6÷x2＝﹣x4 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
3．如图，在四边形ABCD中，点E是AD延长线上一点，连接AC，BD，下列条件可以判定AB∥CD的是（ ）
A．∠BAD＝∠CDE C．∠DAB+∠ABC＝180°
4．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
B．∠DAC＝∠BCA D．∠DAB＝∠DCB
A．在一个装有5个红球和3个黑球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球是白球
B．用长度分别是2cm，3cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C．掷一枚质地均匀的最子，掷出的点数是质数 D．382个人中两个人的生日在同一天
5．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，
添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
6．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A的度数为α，第二次拐弯∠B的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（ ）
A．α﹣β B．180°﹣β+α C．360°﹣β﹣α D．β﹣α
7．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正b满足 方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、（ ）
A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
8．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在线段CE上，点B在线段CF上，AF⊥CF，下列结论：①BC＝DE；②∠FAB+∠BDC＝45°；③若AC＝10，则S
形ABCE
四边
＝50；④CE＝2AF．其中一定正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分) 9．计算：（﹣0.125）2021×82020＝ ．
10．在高端材料和芯片制造的核心技术上，我国与国外还有较大差距．当前国际主流的芯片0.000000014的特征尺寸是0.000000007m，而我国只能够实现0.000000014m的芯片量产．用科学记数法可以表示为 ．
11．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、AF、EF，若△BEF的面积为6，则△ABC的面积是 ．
12．如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其它格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为 ．
13．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB上跑至B点，向上跃起至最高点P，然后落在点C处，继续在水平面CD上跃起落在点D，若∠ABK和∠KCD的平分线的反向延长线刚好交于最高点P，∠BKC＝78°，则∠P等于 度．
14．如图，小颖用正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，且阴影部分的面积为36cm2，则制作七巧板用的正方形边长为 cm．
15．李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若李华骑车的速度始终不变，从出发开始计时，李华离家的距离s（m）与时间t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华家的距离为 m．
16．如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°
（Ⅰ）在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是 ；
（2）以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 （用含n的代数式表示）．
三、作图题(本题满分6分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
17．两个小区A、B与两条马路公路l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在C处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区A、B的距离必须相等，到两条马路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．
四、解答题(本题满分66分，共有7道小题)
18．（18分）（1）计算：﹣23×（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1； （2）计算：（a2b3）•（﹣6ab2）2； （3）利用乘法公式计算：1982；
（4）先化简，再求值[（3m+n）（m﹣n）﹣（2m﹣n）2+（m﹣2n）（m+2n）]÷（2n），其中m＝1，n＝﹣2．
19．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E． 求证：DF∥AC． 证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ ＝∠ （角平分线的定义） ∵EF垂直平分AD
∴ ＝ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） ∴∠BAD＝∠ADF（ ） ∴∠DAC＝∠ADF（等量代换） ∴DF∥AC（ ）
20．如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六
个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少？
（2）现有两张分别写有3和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度． ①这三条线段能构成三角形的概率是多少？ ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
21．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．
（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由； （2）连结DF，AB能否垂直平分DF？为什么？
22．某食品工厂将一种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成．甲、乙两组同时以相同的效率开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，工作效率有所提升，在完成本组任务后，还帮助甲组加工了60千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务．两组各自加工的食品量y（千克）与甲组工作时间x（小时）的关系如图所示．
（1）甲组每小时加工食品 千克，乙组升级设备停工了 小时； （2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？ （3）求a、b的值．
23．如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； （2）当△ABM与△MCN全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值． 24．阅读下列材料：
数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，我们通常通过枚举法发现规律找到特点，并运用数学推理的方法对其进行验证． （一）探索规律
我们把末尾数字为5的正整数称为“威武数”N，N的平方数称为“平武数”M． 例：152＝225（2＝1×2）， 252＝625（6＝2×3）， 352＝1225（12＝3×4），
452＝2025（20＝4×5）， 552＝3025（30＝5×6）， …
（二）归纳总结
由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： （1）“平武数”的末两位数字是 ；
（2）去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于 （若“威武数”去掉个位数字5后剩余部分为n，请用含n的代数式表达这一特点）． （三）验证推广
（1）根据以上特点我们能够推出四位的“平武数”M一共有 个．
（2）同学们用学过的完全平方公式验证：对任意“威武数”N，其平方数“平武数”M都满足以上特点．
（3）已知一个位数小于六位的“平武数”M的首位数字是2，又满足其“威武数”N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出该“平武数”M．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意． 故选：C．
2．下列运算正确的是（ ） A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2y+xy2＝x3y3
B．（﹣x）6÷x2＝﹣x4 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算法则计算可得．
解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（﹣x）6÷x2＝x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意； C、x2y与xy2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D．
3．如图，在四边形ABCD中，点E是AD延长线上一点，连接AC，BD，下列条件可以判定AB∥CD的是（ ）
A．∠BAD＝∠CDE C．∠DAB+∠ABC＝180°
B．∠DAC＝∠BCA D．∠DAB＝∠DCB
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
解：A．∵∠BAD＝∠CDE，∴AB∥CD，故此选项符合题意； B．∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，故此选项不符合题意； C．∵∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故此选项不符合题意； D．∠DAB＝∠DCB不能判定AB∥CD，故此选项不符合题意； 故选：A．
4．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在一个装有5个红球和3个黑球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球是白球
B．用长度分别是2cm，3cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C．掷一枚质地均匀的最子，掷出的点数是质数 D．382个人中两个人的生日在同一天
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的意义逐项进行判断即可．
解：A．袋子中没有白球，因此摸到白球是不可能事件，不是随机事件，所以选项A不符合题意；
B．因为2cm，3cm，5cm不满足三角形的三边关系，因此组不成三角形，是不可能事件，所以选项B不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是质数也可能是合数，因此掷出的点数是质数是随机事件，所以选项C符合题意；
D.382人中两个人的生日在同一天，是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选：C．
5．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断． 解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据”ASA“判定△ABC≌△DEF； 当添加AC＝DF时，根据”SAS“判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据”AAS“判定△ABC≌△DEF． 故选：D．
6．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A的度数为α，第二次拐弯∠B的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（ ）
A．α﹣β B．180°﹣β+α C．360°﹣β﹣α D．β﹣α
【分析】过B作BF∥AD，求出AD∥BF∥CE，根据平行线的性质得出∠ABF＝∠A＝α，∠C+∠FBC＝180°，即可得出答案．
解：
过B作BF∥AD， ∵CE∥AD， ∴AD∥BF∥CE，
∴∠ABF＝∠A＝α，∠FBC＝180°﹣∠C， ∵∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝β，
∴α+180°﹣∠C＝β， ∴∠C＝180°﹣β+α 故选：B．
7．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正b满足 方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、（ ）
A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，【分析】先用a、再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b． 解：S1＝b（a+b）×2+
+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2， ∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2）， 整理，得（a﹣2b）2＝0， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 故选：D．
8．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在线段CE上，点B在线段CF上，AF⊥CF，下列结论：①BC＝DE；②∠FAB+∠BDC＝45°；③若AC＝10，则S
形ABCE
四边
＝50；④CE＝2AF．其中一定正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可证BC＝DE，∠BCA＝∠E＝45°，故①正确；由外角的性质可求∠BDC＝∠DAE＝∠BAC，可得∠FAB+∠BDC＝∠FAB+∠BAC＝45°，故②正确；推出四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积，可求S四边形ABCE＝50，故③正确；过点A作AG⊥CG，垂足为点G，求出AF＝AG，得出CG＝AG＝GE，证明Rt△ABF≌Rt△ADG，可得BF＝DG，可求CE＝2CE，故④正确；即可求解． 解：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE，∠BCA＝∠E＝45°，故①正确； ∵AF⊥FC，
∴∠FAC＝∠FCA＝45°，
∵∠ADC＝∠DAE+∠E＝∠ADB+∠BDC， ∴∠BDC＝∠DAE＝∠BAC，
∴∠FAB+∠BDC＝∠FAB+∠BAC＝45°，故②正确； ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝×102＝50，故③正确； ∵∠ACB＝∠ACE＝45°， ∴AC平分∠ECF，
过点A作AG⊥CG，垂足为点G，
又∵AC平分∠ECF，AF⊥CB， ∴AF＝AG，
在Rt△ABF和Rt△ADG中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADG（HL）， ∴BF＝DG，
又∵AC＝AE，AG⊥CE， ∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°， ∴CG＝AG＝GE＝AF， ∴CE＝2CE，故④正确； 故选：D．
二、填空题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分) 9．计算：（﹣0.125）2021×82020＝ ﹣0.125 ． 【分析】根据积的乘方的逆用进行简便计算． 解：原式＝（﹣0.125×8）2020×（﹣0.125） ＝（﹣1）2020×（﹣0.125） ＝﹣0.125． 故答案为：﹣0.125．
10．在高端材料和芯片制造的核心技术上，我国与国外还有较大差距．当前国际主流的芯片0.000000014的特征尺寸是0.000000007m，而我国只能够实现0.000000014m的芯片量产．用科学记数法可以表示为 1.4×10﹣8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
﹣
解：0.000000014＝1.4×108， ﹣
故答案为：1.4×108．
11．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、AF、EF，若△BEF的面积为6，则△ABC的面积是 16 ．
【分析】根据三角形的面积公式求出△BED的面积，根据三角形的中线的性质解答即可．解：∵点D是BC的中点， ∴BD＝DC， ∵F是CD的中点， ∴DF＝FC， ∴BD＝2DF，
∴△BED的面积＝2×△DEF的面积， ∵△BEF的面积为6， ∴△BED的面积为4， ∵点E是AD的中点，
∴△ABD的面积＝2×△BED的面积＝8， ∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2×△ABD的面积＝16， 故答案为：16．
12．如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其它格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为
．
【分析】利用概率公式求解可得．
解：由图知第三枚棋子可摆放的位置共有14种，其中这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的有8种，
∴这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为故答案为：．
＝，
13．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB上跑至B点，向上跃起至最高点P，然后落在点C处，继续在水平面CD上跃起落在点D，若∠ABK和∠KCD的平分线的反向延长线刚好交于最高点P，∠BKC＝78°，则∠P等于 51 度．
解：过点P作MN∥AB，延长DC交BK于点H，交BE于点G，
∵∠KCD＝∠KHC+∠K，∠KHG＝∠KCH+∠K，
∴∠KCD+∠KHG＝∠KHC+∠KCH+∠K+∠K＝180°+∠K， ∵∠K＝78°，
∴∠KCD+∠KHG＝180°+78°＝258°， ∵AB∥CD，
∴∠ABK＝∠KHG， ∴∠ABK+∠KCD＝258°， ∵EB平分∠ABH，FC平分∠KCD， ∴∠EBA＝∠ABK，∠FCD＝∠KCD， ∵MN∥AB，MN∥CD，
∴∠EBA＝∠MPE，∠FCD＝∠FPN，
∴∠MPE+∠FPN＝∠EBA+∠FCD＝∠ABK+∠KCD＝×258°＝129°， ∴∠EPF＝180°﹣（∠MPE+∠FPN）＝180°﹣129°＝51°． 故答案为：51°．
14．如图，小颖用正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，且阴影部分的面积为36cm2，则制作七巧板用的正方形边长为 8 cm．
解：设正方形边长为xcm，则最小的等腰直角三角形面积为由题意可得：x2﹣7×
＝36，
（cm2），
解得：x＝±8（负值舍去）， ∴制作七巧板用的正方形边长为8cm， 故答案为：8．
15．李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若李华骑车的速度始终不变，从出发开始计时，李华离家的距离s（m）与时间t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华家的距离为 900 m．
解：李华骑车的速度为：1500÷（6﹣1）＝300（米/分钟）． 文具店与李华家的距离为：1500﹣300×2＝900（米）． 故答案为：900．
16．如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°
（Ⅰ）在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是 900° ；
（2）以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 （2n+1）×180° （用含n的代数式表示）．
解：（1）在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），P则图中互不重叠的所有角的和是：5×180°＝900°；
（2）当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3； 当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；
依此类推得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1． ∴当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是：（2n+1）×180°． 故答案为：（1）900°；（2）（2n+1）×180°．
三、作图题(本题满分6分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
17．两个小区A、B与两条马路公路l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在C处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区A、B的距离必须相等，到两条马路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．
解：如图，点C即为所求．
四、解答题(本题满分66分，共有7道小题)
18．（18分）（1）计算：﹣23×（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1； （2）计算：（a2b3）•（﹣6ab2）2； （3）利用乘法公式计算：1982；
（4）先化简，再求值[（3m+n）（m﹣n）﹣（2m﹣n）2+（m﹣2n）（其中m＝1，n＝﹣2．
解：（1）原式＝﹣8×1﹣（﹣2） ＝﹣8+2 ＝﹣6；
（2）原式＝（a2b3）•（36a2b4） ＝9a4b7；
（3）原式＝（200﹣2）2 ＝40000﹣800+4 ＝39204；
m+2n）]÷（2n），（4）原式＝（3m2﹣3mn+mn﹣n2﹣4m2+4mn﹣n2+m2﹣4n2）÷2n ＝（2mn﹣6n2）÷2n ＝m﹣3n，
当m＝1，n＝﹣2时，原式＝1﹣3×（﹣2）＝1+6＝7．
19．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E． 求证：DF∥AC． 证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ BAD ＝∠ DAC （角平分线的定义） ∵EF垂直平分AD
∴ FD ＝ FA （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） ∴∠BAD＝∠ADF（ 等边对等角 ） ∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ 内错角相等两直线平行 ）
【解答】证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义） ∵EF垂直平分AD
∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） ∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角） ∴∠DAC＝∠ADF（等量代换） ∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．
20．如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少？
（2）现有两张分别写有3和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度． ①这三条线段能构成三角形的概率是多少？ ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
解：（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，
∴转出的数字大于3的概率是＝；
（2）①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是＝．
21．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．
（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由； （2）连结DF，AB能否垂直平分DF？为什么？
【分析】（1）由垂直证出∠CAE＝∠DCE，从而有△ACD≌△CBF（ASA）；
（2）由（1）△ACD≌△CBF知：CD＝BF，再由点D是BC的中点，可证DB＝BF，由BF∥AC，可证∠ABF＝∠CBA，根据等腰三角形三线合一即可证明． 解：（1）△ACD≌△CBF，理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠ACE+∠DCE＝90°， ∴∠CAE＝∠DCE， ∵BF∥AC，
∴∠ACB+∠CBF＝180°， ∴∠CBF＝90°， 在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（ASA）， （2）AB垂直平分DF，理由如下： 由（1）知：△ACD≌△CBF， ∴CD＝BF，
∵点D是BC的中点， ∴DB＝CD， ∴BF＝DB， ∵BF∥AC，
∴∠CAB＝∠ABF， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴∠ABF＝∠CBA， ∴AB垂直平分DF．
22．某食品工厂将一种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成．甲、乙两组同时以相同的效率开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，工作效率有所提升，在完成本组任务后，还帮助甲组加工了60千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务．两组各自加工的食品量y（千克）与甲组工作时间x（小时）的关系如图所示．
（1）甲组每小时加工食品 30 千克，乙组升级设备停工了 2 小时； （2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？ （3）求a、b的值．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲组每小时加工食品的数量和乙组升级设备停工所用时间；
（2）根据函数图象中的数据，可以得出升级设备前2小时加工食品的数量，进而得出升级设备后3小时加工工食品的数量，再根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”计算即可；
（3）根据题意列方程解答即可求出b的值，再根据（2）的结论即可求出a的值． 解：（1）由图象可得，
甲组每小时加工食品：210÷7＝30（千克）；乙组升级设备停工了：4﹣2＝2（小时），故答案为：30；2；
（2）（210﹣30×2）÷（7﹣4）＝50（千克/时）， 答：设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品50千克； （3）根据题意得，
50（b﹣4）＝30（b﹣2）+60×2， 解得b＝13，
∴a＝30×2+50×（13﹣4）＝510．
23．如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为 （2）当△ABM与△MCN全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值． 【分析】（1）根据时间＝
，计算即可；
s；
（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可；
②当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． 解：（1）点M的运动时间t＝故答案为
；
（秒），
（2）①∵点M、N的移动速度相同， ∴CN＝BM， ∵CD∥AB，
∴∠NCM＝∠B，
∴当CM＝AB时，△ABM与△MCN全等， 则有12＝20﹣3t，解得t＝； ②∵点M、N的移动速度不同， ∴BM≠CN，
∴当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等， ∴运动时间t＝
，
∴a＝＝．
24．阅读下列材料：
数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，我们通常通过枚举法发现规律找到特点，并运用数学推理的方法对其进行验证． （一）探索规律
我们把末尾数字为5的正整数称为“威武数”N，N的平方数称为“平武数”M． 例：152＝225（2＝1×2）， 252＝625（6＝2×3）， 352＝1225（12＝3×4）， 452＝2025（20＝4×5）， 552＝3025（30＝5×6）， …
（二）归纳总结
由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： （1）“平武数”的末两位数字是 25 ；
（2）去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于 n（n+1） （若“威武数”去掉个位数字5后剩余部分为n，请用含n的代数式表达这一特点）． （三）验证推广
（1）根据以上特点我们能够推出四位的“平武数”M一共有 7 个．
（2）同学们用学过的完全平方公式验证：对任意“威武数”N，其平方数“平武数”M都满足以上特点．
（3）已知一个位数小于六位的“平武数”M的首位数字是2，又满足其“威武数”N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出该“平武数”M．
【分析】（二）（1）25，由题中等式的右边观察（2）连续两个自然数的乘积：n（n+1）；（三）（1）四位的“平武数”M，去掉25，得出n（n+1）为两位数的有35﹣95，352＝1225，952╞9025，符合条件的有：35，45，55，65，75，85，95共7个；
（2）由（二）（2）知若“威武数”去掉个位数字5后剩余部分为n，可设N＝10n+5，N2＝（10n+5）2＝100n2+100n+25＝100n（n+1）+25；
（3）已知一个位数小于六位的“平武数”，可得所求的平武数是一位数，去掉末位数25，得n（n+1）＝3位数＝
，即M＝
，测算：13×14＝182（首位是2，不符），
14×15＝210，15×16＝240，16×17＝272，17×18＝306，得出当n＝14或15或16符合题意，然后根据“N的各位数字之和与M的各位数字之和相等”对这三个数代入检验；同理考虑M四位数，三位数．
解：（二）（1）由题中等式的右边观察：225，625，1225得出最后两位数都是25． 故答案为：25
（2）n（n+1）；由等式的左右两边观察：1×2＝2，2×3＝6，3×4＝12，得出去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于n（n+1）． 故答案为：n（n+1）
（三）（1）四位的“平武数”M，去掉25，得出n（n+1）为两位数的有35﹣95，352＝1225，952╞9025，符合条件的有：35，45，55，65，75，85，95共7个； 故答案为：7
（2）由（二）（2）知若“威武数”去掉个位数字5后剩余部分为n，可设N＝10n+5，N2＝（10n+5）2＝100n2+100n+25＝100n（n+1）+25； （3）
①讨论M是五位数．
已知一个位数小于六位的“平武数”，可得所求的平武数是一位数，去掉末位数25，得n（n+1）＝3位数＝
，即M＝
，测算：13×14＝182（首位是2，不符），14
×15＝210，15×16＝240，16×17＝272，17×18＝306，得出当n＝14或15或16符合题意．
当N＝145时，M＝1452＝21025，1+4+5＝10而2+1+0+2+5＝10，N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，符合题意；
当N＝155时，M＝1552＝24025，1+5+5＝11而2+4+0+2+5＝13，N的各位数字之和与M的各位数字之和不相等，不符合题意；
当N＝165时，M＝1652＝27225，1+6+5＝10而2+7+2+2+5＝18，N的各位数字之和与M的各位数字之和不相等，不符合题意； ②讨论M是四位数． n（n+1）＝2位数，即M＝
，测算：3×4＝12（首位是2，不符），4×5＝20，5
×6＝30，……越来越大，所以得出n＝4；N＝45，M＝452＝2025，而4+5＝9，2+0+2+5＝9，N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，符合题意； ③讨论M是三位数；
n（n+1）＝1位数＝2，即M＝225，所以得出n＝1；N＝15，M＝152＝225，而1+5＝6，2+2+5＝9，N的各位数字之和与M的各位数字之和不相等，不符合题意；
④讨论M是二位数，显然M＝25，N＝5，N的各位数字之和与M的各位数字之和不相等，不符合题意； 故答案为：2025，21025．
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