一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.
1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B= ． 2．（5分）函数
3．（5分）若函数f（）=
的最小正周期为 ．
，则f（f（﹣2））= ．
4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为 ．
5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（
，），则f（）= ．
6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为 ． 7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣
，
）= ． ]的值域为 ． =4
，若
=
+y
，则+y= ．
9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，10．（5分）将函数y=sin（2﹣
）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标
变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= ．
11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是 ． 12．（5分）若
=1，tan（α﹣β）=，则tanβ= ．
13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是 ． 14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）． （1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；
（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．
）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω
16．（15分）设α∈（0，（1）求cos（α+（2）求cos（2α+
），满足sinα+cosα=．
）的值； π）的值．
17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：
y
1 229
4 244
7 241
12 196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系，并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润． 18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2． （1）若f（）=
，求的值；
]都成立，求实
（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，数m的取值范围．
19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2loga（2+t﹣2），g（）=loga，其中0＜a＜1． （1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；
（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．
20．（15分）已知向量=（cos∈[﹣
，
]，m∈R．
）的值；
，sin
），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，
（1）当m=0时，求f（
（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+
m2，∈[﹣
，
]有四个不同的零点？若
存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.
1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B= {0，2，3} ．
【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}， 则∁UA={0，3}，
所以（∁UA）∪B={0，2，3}． 故答案为：{0，2，3}．
2．（5分）函数【解答】解：函数∵ω=2， ∴T=
=π．
的最小正周期为 π ． ，
故答案为：π
3．（5分）若函数f（）=【解答】解：∵函数f（）=∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3， f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5． 故答案为：5．
4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为 ﹣ ．
，则f（f（﹣2））= 5 ． ，
【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m）， ∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣故答案为：﹣
．
=，∴m=﹣
，
5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（
，），则f（）= 4 ． ，），
【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（∴
=，解得：α=﹣2，
=4，
故f（）=﹣2，f（）=故答案为：4．
6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为 【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ， 则cosθ=故答案为：
7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+【解答】解：∵sin（α+π）=﹣， ∴sinα=， ∴sin（2α+
）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，
）=
．
=．
=﹣，∴θ=
，
．
故答案为：．
8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣【解答】解：∵∈[﹣∴1≤3cos+1≤4，
∴0≤log2（3cos+1）≤2， 故答案为[0，2]．
，
，
]的值域为 [0，2] ．
]，∴0≤cos≤1，
9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，【解答】解：∵E是边AC的中点，∴
=
=4
，
=4，若=+y，则+y= ﹣ ．
，
所以=﹣，y=，+y=﹣． 故答案为：﹣．
10．（5分）将函数y=sin（2﹣
）的图象先向左平移
个单位，再将图象上各点的横坐标
） ．
变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= sin（4+【解答】解：将函数y=sin（2﹣得到函数y=sin[2（+
）﹣
）的图象先向左平移
）的图象，
，
]=sin（2+
将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变）， 则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+故答案为：sin（4+
11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是 （0，2） ．
【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，
）．
）
∴，求得0＜a＜2，
故答案为：（0，2）．
12．（5分）若【解答】解：∵
=1，tan（α﹣β）=，则tanβ= ═
=
=
．
，∴tanα=，
又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，
故答案为：．
13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是 [﹣2﹣2【解答】解：如＜0，则﹣＞0， ∵当＞0时，f（）=4﹣2， ∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2， ∵函数f（）是奇函数，
∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（）， 则f（）=4+2，＜0， 则函数f（）=
，
，﹣2] ．
则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4， 当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4， 当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得=
=﹣2﹣2
，（正值舍掉），
若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]， 则﹣2﹣2
≤t≤﹣2，
，﹣2]，
即实数t的取值范围是[﹣2﹣2故答案为：[﹣2﹣2
，﹣2]
14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+的取值范围是 [，] ． 【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+∴T=
≥
，即ω≤2．
，π+π]，∈， ≤π+π，∈，
）|（ω＞0）在[π，
π]上单调递减，
）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω
∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+由题意可得区间[π，即ω•π+
≥π+
]内的值满足 π+
+
≤ω+
，且ω•≤π+π，∈．
解得+≤ω≤（+），∈． 求得：当=0时，≤ω≤不符合题意．
综上可得，≤ω≤， 故答案为：[，]．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）． （1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；
（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值． 【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．
∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=． （2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行， ∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=
16．（15分）设α∈（0，
），满足
sinα+cosα=
． ．
，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，
≤ω≤
，
（1）求cos（α+（2）求cos（2α+
）的值； π）的值．
），满足=
）=2，
sinα+cosα=．
﹣1=，sin（2α+
）=2sin（α+
） cos（α+
）
=2sin（α+
），∴sin（α+
）=
．
【解答】解：（1）∵α∈（0，∴cos（α+
）=
（2）∵cos（2α+=2•
•
=
∴cos（2α+
=
π）=cos[（2α+
．
）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣
17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：
y
1 229
4 244
7 241
12 196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系，并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润． 【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数； 所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；
（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220， ∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N+， y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，yma=245万元．
18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2． （1）若f（）=
，求的值；
]都成立，求实
（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，
数m的取值范围．
【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=即2=，所以=﹣2…6分 （2）因为f（﹣）=
﹣2﹣=2﹣
=﹣f（），
，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，
所以f（）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由
f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分， 又f（）=（）﹣2在R上单调递减，…9分， 所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，所以m＞
，θ∈[0，
]，…12分，
]都成立，…10分，
令μ=cosθ，θ∈[0，y=
=﹣1+
]，则μ∈[0，1]，
，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分
19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2loga（2+t﹣2），g（）=loga，其中0＜a＜1． （1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；
（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．
【解答】解：（1）∵函数y=g（a+1）﹣是偶函数， ∴loga（a﹣+1）+=loga（a+1）﹣，对任意∈R恒成立， ∴2=loga（a+1）﹣loga（a﹣+1）=loga（∴=，
（2）由题意设h（）=f（）﹣g（）=2loga（2+t﹣2）﹣loga＜0在∈[1，4]恒成立， ∴2loga（2+t﹣2）＜loga， ∵0＜a＜1，∈[1，4]， ∴只需要2+t﹣2＞即t＞﹣2+
恒成立，
）=
+2恒成立，
∴t＞（﹣2+令y=﹣2+∴（﹣2+
+2）ma， +2=﹣2（
）2+
+2=﹣2（
﹣）2+
，∈[1，4]，
+2）ma=1，
∴t的取值范围是t＞1， （3）∵t=4，0＜a＜1，
∴函数y=|f（）|=|2loga（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增， ∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0， ∴﹣1＜m≤
≤n（等号不同时取到），
或
， ]=， =，
＞0，
令|2loga（2+2）|=2，得=又[∴
﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣﹣（﹣）＞（﹣）﹣
∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣∴a=．
20．（15分）已知向量=（cos∈[﹣
，
]，m∈R．
，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，
（1）当m=0时，求f（）的值；
（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+
m2，∈[﹣
，
]有四个不同的零点？若
存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）•=（cos（
+）=cos2，
，sin
）•（cos，﹣sin）=cos
cos﹣sin
sin=cos
当m=0时，f（）=•+1=cos2+1， 则f（
）=cos（2×
）+1=cos
+1=
；
（2）∵∈[﹣∴|+|=
，
=
]，
=2cos，
则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos， 令t=cos，则≤t≤1， 则y=2t2﹣2mt，对称轴t=， ①当＜，即m＜1时，
当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍）， ②当≤≤1，即m＜1时，
当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣③当＞1，即m＞2时，
当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍）， 综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+∴方程cos=
或
在∈[﹣
．
或
，
=﹣1，得m=
，
m2=0，得cos=，
]上有四个不同的实根，
则，得，则≤m＜，
即实数m的取值范围是
≤m＜．
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