现代试井解释方法

现代试井解释时期以70年代初雷米发表关于均质油层双对数拟合图版为开始标志。其特点为：

 建立双对数拟合分析法，可以运用早期试井数据；  给出半对数直线段出现时间，使常规分析更可靠；

 采用图版曲线拟合法和数值模拟法，使用计算机，解释模型多；  解释过程是“边解释，边检验”的过程，保证解释的可靠性。 试井解释模型可按照基本模型及边条件划分：

基本模型：1. 均质油藏；

2．非均质油藏：多层油藏，渗透率变化；

3．双重空隙介质油藏：拟稳态窜流，不稳态窜流。 4．双孔双渗介质油藏：拟稳态窜流，不稳态窜流。

内边界条件：1. 井筒储存； 外边界条件：1. 无限大地层；

2. 表皮系数； 2. 不渗透边界； 3. 裂缝切割井； 3. 恒压边界； 4. 打开不完善； 4 封闭边界； 5．水平井；

由基本模型, 内边界条件和外边界条件，可组合出许多试井解释模型，它们的拟合图版曲线可用计算机快速计算出来。

§1 试井使用的无量纲物理量

rDrerwrrw tDtktCtrkh2w pDkhpqB(pip) （1-1）

reD

pwDpqB(pipwf) CDcCCthr2w

其中p,t,c是单位制换算系数，各单位制的单位及换算系数如下所示：

单位制长度 r,h,L时间 t压力 p渗透率 k产量q (油)产量qsc (气)粘度基本SIMSPam2实用SImhMPa(=mD)103工程制mhkg/cm*m22英矿场制fthPsimDmD(地面)m/d3m/sm/s33m/d1043m/d3(地面)MSCF/dcp141.2STB/dm/dPa.s13mPa.s (= cp)1.8420.0036212cp19.0333.48410124pt1c210.00026370.8936503121/3.683*10438.06 由于无量纲物理量与单位制无关，利用此表可方便地进行单位制换算。 利用上述无量纲表达式，基本微分方程式变成：

1

1rDpDrDrDrDpD （1-2） rD将边条件及初条件无因次化，与上式一同求解，即得问题的解pD(tD)。（1-1）式给出了问题解的无因次量与有因次量之间的关系。（1-1）式取对数得： lgpDlgplgkhpqB , lgtDlgtlgtkctrw2 (1-3)

上式说明，若将p-t关系绘成双对数坐标图，无因次曲线与有因次曲线形状完全相同，解的无因次量坐标与有因次量坐标之间相差同一常数。因此，通过上下左右移动有因次曲线，可以和无因次曲线完全重合。这就是可用双对数坐标曲线拟合的原因。

§2 流动阶段的识别

诊断曲线——双对数图上绘出的曲线。

特种识别曲线—— 特定坐标下体现其流动特征的曲线。 （1） 早期阶段

 井筒储存期：压力与时间关系为

pDtDCD， pptqBcCt， lgplgtlgptqBcC （2-1）

这说明在井筒储存期，双对数图上是斜率为一的直线，直角坐标下也是直线。  无限导流垂直裂缝井：压力与时间关系为

lgtlgL （2-2） pLt ， lgp12这说明该井早期阶段的双对数图上是斜率为0.5的直线，p_t为一直线。  有限导流垂直裂缝井：压力与时间关系为

1 pLt4 ， lgp14lgtlgL （2-3）

这说明该井诊断曲线为早期阶段的双对数图上是斜率为0.25的直线，p_4t为一直线。 （2） 无限大作用径向流阶段

压降方程：

pwf1.15pqB4tkpi0.87S （2-4） lgtlg2khcrtw

对于实用SI制变成： pwf2.12qBkpi0.87S2.0923lgtlg （2-5） 2khcrtw

可见pwf—lgt呈直线是特种识别曲线。

2

压恢方程，对于赫诺法有 pwspi1.15pqBkht lgttp （2-6）

对于实用SI制变成：

pwspi2.12qBkhtlgttp （2-7）

对于MDH法有

pwspwf1.15pqB4tk0.87S （2-8） lgtlg2khcrtw对于实用SI制变成：

pwspwf2.12qBklgtlg0.87S2.0923 （2-9） 2khctrwtptt可见特种识别曲线是pwf—lgt或者pwf—lg呈直线。

（3） 外边界反映阶段

1） 恆压边界：压力最后稳定边平；

2） 不渗透边界或者直线断层附近一口井：半对数图出现两个直线段，后者斜率是前者二倍；

3） 封闭油藏：达到拟稳态后，

ptconst，p—t图上出现直线。

（4） 识别油藏类型的重要性

对于不同的油藏类型，同一参数的意义可能不同。例如解释出的kh，对于均质油层是单层kh值，S<0表示油层被污染。而对于双孔介质油层，解释出的kh是裂缝系统的kh值，S<-3才表示油层被污染。

§3．均质油藏试井解释图版的结构及拟合解释方法

3

 雷米解释图版介绍

雷米解释图版是绘制在双对数坐标纸上的pDtD曲线族，它依赖于CD和S，如图所示。对于不同的CD和S，曲线形态十分相似，造成拟合的多解性。格里加登对此作了改进。

 格里加登解释图版的制作

设无限大均质油层中一口井以固定井口产量q从t=0开始生产，利用无因次表达式（1-1）和下列定义：

tD/CD， CSCDe2S， rD问题可写成：

pD1pD1pD2rDrDCSrDpDpDrD1 rD12rrwerrweS (3-1)

(3-2)

(3-3)

pD00 , (3-4)

pDr0 D (3-5)

（3-6）

pwD()pD(1,)

上述问题只包含一个参数Cs，利用拉氏变换，可得下列解式： pwD

KK0(/CS)0(/CS)/CSK1(/CS4

) （3-7）

其中：

K0,K1——零阶和一阶变型贝塞尔函数

 ——关于时间变量 的拉氏空间变量

利用Stefest数值反演法，可由（3-7）式祘出pwD(tD/CD)。对于不同的CDe2S值祘出pwD(tD/CD)—tD/CD曲线，绘制在双对数坐标纸上，即得格里加登试井解释图版。

 Stefest数值反演法

这是通过数值反演，将拉氏空间解反演为实时空间解的算法。公式为：

f(t)ln2tNi1Vif(si)

ln2t （3-8）

，N值应取偶数，近似计算的精度主要取决于Vi的选取，它按下式由N决

其中：4N50,si定：

iNN,i)1Nmin(222ik(2k)!Vi(1)N2i1(k)!(2ki)!k22 （3-9）

计算应取双精度数。

 变型贝塞尔函数

变型贝塞尔函数所满足的方程是

dydx21dyxdx(1nx22)y0

这个二阶常微分方程有两个独立解In(x),Kn(x)，称n阶变型贝塞尔函数。当n=0时，I0(x),K0(x)称零阶变型贝塞尔函数。

当x0时，有下列近似表达式：

K0(x)ln2xln2x0.5772，1.78107称欧拉常数 （3-10）

K1(x)1/x ， I0(x)1x241， I1(x)x20

当x时，有下列近似表达式：

In(x)ex2x ， Kn(x)2xex0

 均质油藏格里加登试井解释图版的构造

在双对数坐标纸上，以tD/CD为横坐标，以pwD(tD/CD)为纵坐标，对于不同的CDe2S值，绘制

pwD(tD/CD)—tD/CD

曲线。CDe2S值与井的状况有关：

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井的状况 CDe2S值

污染井 >1000 未污染井 5—1000 酸化见效井 0.5—5 压裂见效井 <0.5

解释图版还用红线标出纯井筒储存期结束和半对数直线出现时间。

Bourdet给解释图版加入了压力导数曲线，即对于每条pwD(tD/CD)—tD/CD曲线，又增加了相应的

tDCDpD('tDCD)—tD/CD关系曲线，构成复合图版，大大提高了拟合的唯一性。

6

 压力导数曲线的特点及应用 在纯井筒储存期有关系式：

pDtDCD ，

tDCDpD'tDCDpD

因而，对于不同的CDe2S值，压力曲线都与压力导数曲线重合，是斜率为1的直线。 在半对数直线期有关系式： pDpwD于是有：

tDCDpD'12Ei(14tD)S12ln(4tD)S

tDCDdpDd(tDCD)tDdpDdtD12

因而，对于不同的CDe2S值，压力导数曲线重合于纵坐标为0.5的水平线。在纯井筒储存期和半对数直线期之间，压力导数曲线是一组上凸曲线。

 压降试井的拟合解释过程

1）计算每个测点的压差ppipwf及其数值导数p'，列出t,p,tp'数据表。

2）拟合过程：取一张和解释图版相同的空白透明双对数坐标纸，绘上实测压力数据(p_t)和实

测压力导数数据(tp'_t)。

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3）将绘上实测压力数据的透明双对数坐标纸蒙在解释图版纸上，保持坐标线平行，上下左右移动

透明双对数坐标纸，使实测压力及导数数据与相应于某个CDe2S值的压力及导数导数曲线拟合最佳，记录此曲线拟合值为(CDe2S)M。

4）在坐标纸上任选一点作为拟合点，读出该点在透明双对数坐标纸上和解释图版纸上的坐标拟合

值：(p)M，(t)M，(pD)M，(tDCD)M。

5）根据已获得的拟合值，由下式计算参数：

纵坐标拟合：

khpqB(pD)M(t)M， kkhh() （3-11）

横坐标拟合：由

khttDCDkhttCC ，

cCCthr2w得 C(t)M(tDCD)MC ，CD （3-12）

曲线拟合得： S12ln(CDe2S)MCD （3-13）

6）在双对数拟合图上读出半对数直线段开始时间，绘制 (p_t)的半对数曲线，若半对数直线段

足够长，则用传统方法解释k和S，结果应和拟合结果接近，否则重新拟合解释，直到二者结果一致为止。若半对数直线段太短，可不作半对数分析。

8

§4 压恢试井的拟合解释过程

1)

利用压降图版进行压恢试井的拟合解释

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由叠加原理得

pwspwspwfpipwf(pipws)pqBkhpD(tpD)pD(tpDtD)pD(tD) （4-1）

由于总有 pD(tpD)pD(tpDtD) ，故有

pwspqBkhpD(tD)p(t)

因此，关井t时间的压力恢复值小于生产同一时间产生的压降值。因此，一般说来压力恢复曲线不同于压力降落曲线。由下式计算压力恢复标准曲线：

pwsDpD(tpD)pD(tpDtD)pD(tD) （4-2）

因为它与tp有关，因而没有压恢图版，压恢试井的拟合解释利用压降图版进行，原因如下。

 若是满足条件tptmaxtpttpttp，故有：pD(tpD)pD(tpDtD) ，

pwspqBkhpD(tD)p(t)

这时关井t时间的压力恢复值近似等于生产同一时间产生的压降值，因此整条压力恢复曲线可用压降图版进行拟合解释。

 若是条件tptmax不满足，这时不能拟合整条压力恢复曲线，但是对于满足tpt的点子，

仍有pwspqBkhpD(tD)p(t)，也就是说，压力恢复曲线早期近似等于早期压降曲线，可

用压降图版拟合，其它部分偏离压降图版曲线不能拟合。由偏离时间t可算出t/tp之值，它应与右边所标之t/tp值一致，否则重新拟合。  压力恢复资料的校正处理

利用（4-1）式和大时间的半对数近似式，不难得出：

pws(t)pqBkhpD(tpD)ln24tpDpD(tpDtD)pD(tD)4(tpDtD)ln21 p(t)pqB1kh

tpp(t)mlgttp于是

pws(t)mlgtpttpp(t) （4-3）

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因此，若关井前的压降过程已达到半对数直线段和可以估计其斜率m,则可用上式将压恢压差折算为相应的压降压差，于是可用压降图版拟合解释。

 压力恢复的导数曲线 由（4-2）得

pwsD(tDCD)pD(tpDCD)pD(tpDtDCD)pD(tDCD)

当半对数近似可用时，对

tDCDtDCDtDCD求导得：

0.5tDCD0.5tpDtDCD0.5tDtpDtDCDtpDpwsD(')pD(')pD('tpDtDCD)于是

pwsD'tDtpDtDCDtpD0.5

因此，如果把压降导数图版的纵坐标看作（

tDCDtDtpDtD'pwsDCDtpD'），而不是原来的（pDtDCD），把

横坐标看作，则压降导数图版就成为压恢导数图版。由于

tpttptDtpDtD'pwsDCDtpDkhpqB.*p*t*'

故有因次的压力导数应取p'*t*

2） 压恢试井拟合解释步骤

tpttp。

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 计算各测压点的压差pwspws'pwf及导数pws*t*tpttp

 利用压降综合图版进行拟合，步骤与压降拟合相似。

 根据横坐标拟合值，纵坐标拟合值及曲线拟合值，计算参数kh，S，C，方法与压降试井相同。  利用计算机，通过计算无因次赫诺曲线，决定原始地层压力。

由叠加原理得：

pipwspqBkhpqBkhpD(tpDtD)pD(tD)，

pMpDM， (pipws)pDMpMpD(tpDtD)pD(tD)

计算参数kh，S，C之后，即可计算上式右边，正确的原始地层压力pi应使得左右两边很好拟

合。

3） 试井中应用自动拟合法

以上所述试井解释方法，基本属于手工解释范围，它有下列问题：

 压恢试井关井前生产时间tp过短不能解释；

 压恢试井只有部分资料可用图版曲线拟合，拟合误差大；  压力恢复时间短时不能解释；

 肉眼判断拟合优劣很粗糙，增大了解释的不唯一性。

上述问题可以通过自动拟合法得到部分解决。试井中应用自动拟合法作解释是试井研究的另一领域。它的原理是通过最优化方法，不断修改各个参数之值，使计算压力与实测压力差的平方和达到最小。在这里就是要求确定参数矢量x(k,S,C,pi)，使得 J(x)minp(tj,x)j1npMj2

其中pMj—实测压力。

4） 几种外边界在压力导数曲线上的反映

凡是在半对数图上呈直线段的数据点，其导数曲线将呈常数，其直与半对数直线斜率有关。对于四种不同的边界影响，导数曲线特征如图所示。

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5）用压力导数曲线识别流动阶段

 线性流

pl4t ， p't logplog(p't)14l4t4 ，

14logtlogl4log40.603logtlogl

故在双对数图中压力及其导数曲线为斜率为1/4的平行直线。  双线性流

plt ， p't'(pt) logplogl2t ， log(p't)112logtlogl2

12logtloglllogtloglog20.301 22 故在双对数图中压力及其导数曲线为斜率为1/2的平行直线。

 球形流 pAmt12 ， pt12logtlogm2'm2t12 ，

log(p't)

故在双对数图中导数曲线为斜率为-1/2的直线，即450线。  拟稳定流

封闭油藏的拟稳定流有表达式：

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pqB24VpCttpint ， log(pt)logtlog'qB24VpCt

log(ppint)logtlogqB24VpCt

可见导数曲线为斜率为1的直线，压差曲线以导数曲线为渐近线。  稳定流

此时有 p常数， p't0 。 各流态的特征如表所示。

6) 流动阶段识别板的应用 流动阶段识别板如图所示。

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在双对数坐标纸上画出压力导数曲线后，把识别板重叠在双对数坐标纸上平行移动，便可对各流动阶段初步识别。下边是识别井筒储存阶段，径向流阶段，线性流阶段，球形流阶段的例子。

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§5 双重空隙介质油藏的试井解释 §6 具有垂直裂缝井的试井解释 §7 水平井的试井解释 §8 井间干扰的试井解释

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