铅球掷远模型

一、问题重述

不考虑阻力，铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为a（与地面夹角），建立投掷距离与v，h，a的关系，并在v，h一定的条件下求最佳出手角度。

二、基本假设

1、设当地的重力加速度为g，且取值为9.8m/s2，并在抛铅球的任意点都相等； 2、不考虑空气阻力，摩擦力以及风速等其他因素的影响； 3、铅球运动轨迹在同一平面内； 4、地面处处水平。

三、问题分析

由题目所述，再根据物理知识可得，铅球投掷轨迹为一抛物线，且由题目知，初速度v和高度h一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对x，y方向进行分析。对y即竖直方向，铅球做竖直向上抛运动，对x即水平方向，铅球做匀速直线运动，所以轨迹为两个运动的叠加。照此，根据物理知识可建立模型。

四、模型建立

由题目可知，铅球初速度为v，高度为h，出手角度为a； 设铅球质量为m； 抛出的水平距离为s； 抛出至落地的时间为t。

以铅球抛出点在水平地面投影点为原点，原点与落地点方向为x轴正方向，原点与抛出点方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系。 由物理知识有：

y方向:h+t*v*sina-1/2*g*t^2;

y x方向：t*v*cosa=s. v

h a s x 五、模型计算

由于h和s是正相关的，因此当求出h（max）时，即对应的s也为s（max）

由上面两关系式，联立消去t得 -h=-1/2*g*(s/v*cosa)^2+s*tana

=-(gs^2/2v^2)*(tana-v^2/gs)^2-g/2*(s/v)^2+v^2/2g 可知在a变化时，-h的最大值为 -h=-g/2*(s/v)^2+v^2/2g 此时tana=v^2/g*s;

所以有s=v*sqrt(v*v+2*g*h)/g，然后将tana=v^2/g*s代入得 tana=v/sqrt(v*v+2*g*h)

另外，对抛物线分析，设最高点距地面H，且前后两段时间为t1、t2，则有： (v*sina)^2=2*g*(H-h) 1/2*g*t2^2=H v*sina=g*t1 所以

s=(sqrt(2*g*h+(v*sina)^2)+v*sina)*v*cosa/g

由上，s、h、v、a的关系式如下：

s=(sqrt(2*g*h+(v*sina)^2)+v*sina)*v*cosa/g

且当a=arctan(v/sqrt(v*v+2*g*h))时，s最大。且 s(max)=v*sqrt(v*v+2*g*h)/g

六、结果分析

根据实际情况，不妨代入较切合实际的几组数据进行检验。 下面检验一下模型建立的正确性： 第一组数据:

h=1.7m;v=5m/s计算得 最佳角度 a=33.2°

s(max)=3.90m

取a=30°时，s=3.88mh=2.4m;v=10m/s计算得 最佳角度 a=39.5°

s(max)=12.37m

取a=36°时，s=12.31m取a=42°时，s=12.34m由检验知所取a=arctan(v/sqrt(v*v+2*g*h))时，s达到最大。所以该模型是正确的。

尽管这样，但针对此模型有以下几点：

（1）上面的模型忽略了铅球在空气中时受到的空气阻力的影响，重力加速度随地域不同的变化，出手高度因个体差异引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式将会更加准确，但处理过程会变得很复杂；

（2）该模型可以得出初速度 v、出手角度 A 因素时投掷距离 s 的影响度的大 小，从而在训练和比赛中时设设设和教练设有一定的理论指导意义.

参考文献

《数学模型》第4版 姜启源等著 《大学物理》上 马轩文等著