2021-2022学年江西省宜春市上高二中高三（上）第一次练习数
学试卷（文科）
一．选择题（每题5分，共50分） 1．（5分）若复数A．﹣2i
（其中i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则|z|等于（ ） B．﹣2
C．0
D．2
2．（5分）若函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0），则“恒成立”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
，则m＝（ ）
3．（5分）x，y的取值如表，从散点图分析，且回归方程为
x y A．15
1 2 B．16
2 3 7 8
4 12
C．16.2
5 m
D．17
4．（5分）设函数f（x）＝lnx+ax2﹣x，若x＝1是函数f（x）的极大值点（x）的极小值为（ ） A．ln2﹣2
B．ln2﹣1
C．ln3﹣2
）＝
D．ln3﹣1
，则点A（2，
D．
）（ ）
5．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+A．
B．
C．
6．（5分）已知tanα＝﹣，则sin2α＝（ ） A．
B．﹣
C．﹣
D．
7．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图象可能是（ ）
A． B．
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C．
8．（5分）设0＜x＜A．a＜b＜c
D．
，记a＝lnsinx，b＝sinxsinx，则比较a，b，c的大小关系为（ ） B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
9．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，AB的中点，∠CEF＝90°（ ） A．8
π
B．4
π ，
，
C．2，
，π ，
，，
D．，
π ，
，
，
10．（5分）已知数列{an}：，
，
，…（其中第一项是
，
，
，
，接下来的22﹣1项是，
，
，
，再接下来的
23﹣1项是判断： ①
，依此类推．）的前n项和为Sn，下列
是{an}的第2036项；
②存在常数M，使得Sn＜M恒成立； ③S2036＝1018；
④满足不等式Sn＞1019的正整数n的最小值是2100． 其中正确的序号是（ ） A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题（每题5分，共15分） 11．（5分）已知、为平面向量，若＝ ． 12．（5分）设双曲线切，则m＝ ．
13．（5分）在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则
第2页（共12页）
与的夹角为，与，则
的离心率为e，其渐近线与圆M：（x﹣2）2+y2＝e2相
，
推广到立体几何中，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则
＝ ．
三、解答题（第14题10分，第15题12分，第16题13分，总计35分）
14．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，曲线C1方
程为ρ＝2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到曲线C2距离的取值范围． 15．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若m＞0，0＜x＜，求
+
的最小值． 的最大值为4．
16．（13分）已知椭圆（1）求椭圆的方程；
的离心率为，点在椭圆上．
（2）过椭圆的右焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交椭圆于P，Q两点，直线l2交直线x＝4于M点，求证：直线OM平分线段PQ．
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2021-2022学年江西省宜春市上高二中高三（上）第一次练习数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题5分，共50分） 1．（5分）若复数A．﹣2i 【解答】解：∵∴a＝0， 则z＝﹣6i， ∴|z|＝2． 故选：D．
2．（5分）若函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0），则“恒成立”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
），
（其中i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则|z|等于（ ） B．﹣2 ＝
C．0
为纯虚数，
D．2
【解答】解：∵函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0），f（而
﹣
＝
，T＝
，
＜π，
+
；
∴函数f（x）＝Asin（2x+φ）的图象关于x＝×（∴|f（若
）|是函数f（x）的最大值，∴
恒成立
对称，
）是函数f（x）的最值，
对称，
则函数f（x）＝Asin（7x+φ）的图象关于x＝则f（故则“故选：C．
）＝f（
），
”是“
，
第4页（共12页）
3．（5分）x，y的取值如表，从散点图分析，且回归方程为
x y A．15
【解答】解：∵＝
1 2 B．16
＝3，＝
），
，
2 3 7 8
4 12
C．16.2
＝5 m
，则m＝（ ）
D．17 ，
∴这组数据的样本中心点是（3，∵y与x线性相关，且回归方程为∴
＝3.7×3﹣1.5，
故选：D．
4．（5分）设函数f（x）＝lnx+ax2﹣x，若x＝1是函数f（x）的极大值点（x）的极小值为（ ） A．ln2﹣2
B．ln2﹣1
C．ln3﹣2
D．ln3﹣1
【解答】解：∵f（x）＝lnx+ax2﹣x，x＞0 ∴f′（x）＝+6ax﹣， ∵x＝6是函数f（x）的极大值点， ∴f′（1）＝1+2a﹣＝0， ∴f′（x）＝+x﹣＝
，
再令f′（x）＝0，解得x＝7或x＝2，
当f′（x）＞0，解得8＜x＜1，函数f（x）单调递增， 当f′（x）＜0，解得3＜x＜2，
∴当x＝2时，函数取的极小值×4﹣， 故选：A．
5．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+A．
B．
C．
）＝
，则点A（2，
D．
）（ ）
第5页（共12页）
【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），
直线：l：
即 ρsinθ+ρcosθ＝5．
由点到直线的距离公式得 d＝＝
，
故选：B．
6．（5分）已知tanα＝﹣，则sin2α＝（ ） A．
B．﹣
C．﹣
D．
【解答】解：∵，
故选：B．
7．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由f（x）＝0，解得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝4， ∴函数f（x）有两个零点，∴A． ∴f'（x）＝（x2﹣2）ex，
由f'（x）＝（x6﹣2）ex＞0，解得x＞． 由f'（x）＝（x2﹣7）ex＜0，解得，﹣
即x＝﹣
是函数的一个极大值点，
∴D不成立，排除D． 故选：B． 8．（5分）设0＜x＜，记a＝lnsinx，b＝sinxsinx，则比较a，b，c的大小关系为（A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
第6页（共12页）
）
【解答】解：∵0＜x＜∴8＜sinx＜1，
，
则lnsinx＜0，8＜esinx＜e， 即a＜0，0＜b＜2， 故a＜b＜c， 故选：A．
9．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，AB的中点，∠CEF＝90°（ ） A．8
π
B．4
π
C．2
π
D．
π
【解答】解：如图，
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，
则顶点P在底面的射影O1为底面三角形的中心，连接BO6 并延长，交AC于G， 则AC⊥BG，又PO1⊥AC，PO1∩BG＝O4，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC， ∵E，F分别是PA，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，得PB⊥平面PAC， ∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为D＝＝半径为
，则球O的体积为
＝
＝
． ．
故选：D．
10．（5分）已知数列{an}：，
，
，…（其中第一项是
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，接下来的22﹣1项是
第7页（共12页）
，再接下来的
23﹣1项是判断： ①
，，，，，，
，依此类推．）的前n项和为Sn，下列
是{an}的第2036项；
②存在常数M，使得Sn＜M恒成立； ③S2036＝1018；
④满足不等式Sn＞1019的正整数n的最小值是2100． 其中正确的序号是（ ） A．①②③ 【解答】解：①10＝2036；
②由题意可得：分母为2k时，
＝
＝
（k∈N*），可得：
B．①②④
C．①③④
D．②③④
﹣
是{an}的第k项，则k＝21﹣2+22﹣5+……+210﹣1＝
Sn单调递增，且n→+∞时，Sn→+∞，因此不存在常数Mn＜M恒成立，因此不正确； ③由②可得：S2036＝+＝1018．
④S2036＝1018，设S2036+
＝1018+
，则k（k+6）＞212，解得k＞64．
+……+
＝
+
＝
∴满足不等式Sn＞1019的正整数n的最小值＝2036+64＝2100，因此正确． 其中正确的序号是①③④． 故选：C．
二、填空题（每题5分，共15分） 11．（5分）已知、为平面向量，若
．
【解答】解：如图所示，
与的夹角为
，
与
，则
＝
第8页（共12页）
设则∴
， ， ，
在△OAC 中，由正弦定理得，
∴．
故答案为：．
的离心率为e，其渐近线与圆M：（x﹣2）2+y2＝e2相
12．（5分）设双曲线切，则m＝ ﹣2 ．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为x±．
∵双曲线C的渐近线与圆M：（x﹣2）5+y2＝e2相切， ∴
＝e＝
，
∴m＝﹣2． 故选：A．
13．（5分）在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则
，
推广到立体几何中，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则
＝
．
【解答】解：正方体中，内切球半径与外接球半径比为
第9页（共12页）
，
故其对应球体积之比为故答案为：
．
，
三、解答题（第14题10分，第15题12分，第16题13分，总计35分）
14．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，曲线C1方
程为ρ＝2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到曲线C2距离的取值范围． 【解答】（本小题满分10分）
解：（I）曲线C1方程为ρ＝2sinθ，可得ρ3＝2ρsinθ，可得x2+y8＝2y， ∴C1的直角坐标方程：x3+（y﹣1）2＝6，
C2的参数方程为，消去参数t可得：
C2的普通方程：．…（4分）
（II）由（I）知，C7为以（0，1）为圆心，C6的圆心（0，1）到C8的距离为
，则C5与C2相交，P到曲线C2距离最小值为4，最大值为
，
则点P到曲线C2距离的取值范围为15．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若m＞0，0＜x＜，求【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝当且仅当
且
时取等号，
+
的最小值．
，
．…（10分） 的最大值为4．
此时f（x）取最大值|m|＝2，即m＝±4； （Ⅱ）由（Ⅰ）及m＞0可知m＝5，∴0＜x＜2．
第10页（共12页）
则＝
．
当且仅当2﹣x＝x，即x＝8时取等号． ∴
的最小值为4．
16．（13分）已知椭圆（1）求椭圆的方程；
的离心率为，点在椭圆上．
（2）过椭圆的右焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交椭圆于P，Q两点，直线l2交直线x＝4于M点，求证：直线OM平分线段PQ． 【解答】解：（1）由
得a＝4c2＝3c8，
由点在椭圆上得，，
所求椭圆方程为．
证明：（2）当直线l1的斜率不存在时，直线OM平分线段PQ成立， 当直线l5的斜率存在时，设直线l1方程为y＝k（x﹣1），
联立方程得
，消去y得（4k2+3）x7﹣8k2x+8k2﹣12＝0，
因为l6过焦点，所以△＞0恒成立1，y4），Q（x2，y2）， 则
，
，
则，
所以PQ的中点坐标为，
直线l5方程为所以直线OM方程为
，M（3，yM），可得，
，
第11页（共12页）
则满足直线OM方程，
综上所述，直线OM平分线段PQ．
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