南京航空航天大学结构力学课后习题答案第1章

第一章 弹性力学基础

（习题解答）

1-1 上端悬挂、下端自由的等厚度薄板，其厚度为1，容重为ρ。试求在自重作用下的位移分量表达式。

解：如图1-1建立坐标系.

利用x沿y方向均匀分布及x方向的力平衡条件x0可得，

u1(xuy)(lx) xEE又因为 积分得

又由对称性 vy00f2(x)0 由 xy综上所述有

（方法二：只分析出x，再求应力函数，然后求其他。）

1-2 写出图1-2所示平面问题的应力边界条件。

lx 解：上表面为力边界，X0，Y＝q，l＝0，m＝1。代入

l中得到上表面的边界条件为 下表面为自由边，边界条件为 侧面为位移边界。

A1-3 矩形板厚为1。试用应力函数xy2求解。（并画出面力分布图）

2A解：应力函数xy2满足应力函数表示的变形协调方程，可以作为解。在无体力

2的情况下，矩形板的应力为

uv10f1(y)uy2 yx2E根据应力边界条件公式

各边的应力边界为

AXAyh2 a d边： l0,m1 Y0AXAyh2 c b边： l0,m1 Y01word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

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a b边： l1,m0 X0YAy

XAxAlc d边： l1,m0 

YAy根据以上各边的应力边界条件，可画出矩形板的面力分布图如图1-3a。

1-4 如图1-4设三角形悬臂梁只受重力作用，梁容重为。试用完全三次多项式的应力函数求解其应力分量。

解：设完全三次多项式应力函数为

Ax3Bx2yCxy2Dy3 显然应力函数满足变形协调方程 则应力分量：

2xy2Xx2Cx6Dy 2yx2Yy6Ax2Byy 2xyxy2Bx2Cy 利用边界条件来确定应力函数中的系数

根据上表面的边界条件，当y0时 代入（3）、（4）得

A0； B0

根据斜边的边界条件，当yxtan时，面力XY0，即

lxmxyX0Y0 lxymy其中：

代入（5）得

sin(2Cx6Dxtan)cos(2Cxtan)0 cos(xtan)sin(2Cxtan)0 联立（6）、（7）得到

将各系数代入应力分量表达式中，得到应力各分量为

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1）

2）

3）

4）

5）

6）

7）

（ （ （ （ （ （ （文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

1-5 对图1-5所示简支梁，试验证应力函数 成立，并求解各系数和应力分量。

解：由Ax3y3Bxy5Cx3yDxy3Ex3Fxy

可知：

应力分量：

利用边界条件来确定待定系数 上表面

y下表面

h： 2hy：

2弯矩：

联立（1）～（6）可解得 代入（*）式可得各应力分量

1-6图1-6所示悬臂梁受自重作用,试用应力函数Ax2yBx2y3Cy3Dy5求解。并将所得应力分量与材料力学的结果进行比较。

解：应力函数必须满足变形协调条件，满足 即

将应力函数代入上式，得

B5D0 （1）

应力分量

利用边界条件确定待定系数

h当y时，

2得到

3 2ABh20 （2）

21 ABh2 （3）

42联立方程（1）、（2）、（3）可解得

在待定系数中，C还没有求出。现根据x0截面上的条件来求C值；因为(x)x00，应用圣维南原理得

因为被积函数是y的奇次函数，积分必恒等于零，此积分等式一定成立。

此外，尚需满足

即 得到

将各个系数代入应力分量表达式，得

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材料力学的解答：

设载荷qh，故在某一截面上的弯矩为 剪力为 由此得

y0（假设纤维间不存在挤压）1h2hxy224QS34y2xyx12 3hJb2h12现将弹性力学的解答化为下列形式以便于材料力学解答进行比较：

M320y2（与材料力学解不同） xyy12J53h4y2y12（与材料力学解不同）

2hyxyQS（与材料力学解一致） Jb1-7 用图1-7所示45应变花测得x500106，y800106，

45300106试求：

（1）xy； （2）

1和

2，及主方向。

解：（1）根据材料力学公式

将45，x，y，45的值带入上式。可得 （2）主应变的计算公式 可得

11030106，2270106

利用公式 则 得到

156.6，233.4

1-8 如图1-8，已知平面圆环的应力为r0,0,r应力存在的可能性。并阐明其边界条件。（体力不计）

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A1试检查这组 2r2文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

解：方法（一） 因为r0,0,r设f1()rf2()

f1()f1''()f2''()1120 由rrrr22rrr22A1，由20积分得： 2r2r由r11A1 ()2f2'()rr2r2rAc 2于是可得f1()(asinbcos)；f2()即(asinbcos)rAc ；(a,b,c为任意常数) 2将代入变形协调方程检验可知满足变形协调条件。

A1可以存在。 2r2A1边界条件为：ra时，r0,0,r 22a1-8 题方法（二）

A1将r0,0,r代入平衡方程

2r2中检验 成立；

由物理方程可得，将 代入变形协调方程

因此为r0,0,r中检验,显然成立，因此这组应力可以存在。

A1边界条件为：ra时，r0,0,r 22a1-9 试证明在极坐标中变形协调方程为

证明：因为ruru1u1uruu；r＋；r rrrrrr1-10 内半径为a、外半径为b的厚壁圆筒。受压力Pa作用。试求内半 径和外半径的尺寸变化以及筒壁厚度尺寸变化。

解：参照课本35页“承受均布压力的厚壁圆筒”的求解

则可得

1-11 试确定压配合两圆环内的应力。a10cm,b15cm,c20cm，在配合前内圆环外半径与外圆环内半径相差0.127mm。

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解：内圆环仅受外压力，设外压力为q，根据公式内圆环的应力及位移为

b2qa2b2qa2r2212,2212,r0 （1）

barbarb2q2222ur[(ra)(ar)],u0 （2） 22Er(ba)外圆环仅受内压力，根据公式外圆环的应力及位移为

b2qc2b2qc2r2212,2212,r0 （3）

cbrcbrb2qur[(r2c2)(c2r2)],u0 （4） 22Er(cb)接触压力使内圆环半径减少了1，而使外圆环半径增大了2，根据位移协调条件有

12 （5）

将rb分别代入（2）、（4）得到1,2 将1,2代入（5）得到 取E2.1106kg/cm2，得

因此内圆环内表面的切向正应力为 外圆环外表面的切向正应力为

1-12 如图1-12，矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，在板中心处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力的值和位置。

解：在纯剪切的矩形板中，与边界成45方向的切面矩形板的边界上受有集度为q的拉力或压力，如图1-12a所示。

以X1为起始轴取新的坐标如图1-12b所示。设小圆孔的半径为a，并以半径b(b>>a)作一个同心圆，在圆周上任一点处，其应力状态与板内无孔时相同：

按照应力从直角坐标到极坐标的坐标转换式，可得到孔边的应力边界条件

(r)rbqcos2,(r)rbqsin2 （1）

(r)ra0,(r)ra0 （2）

由（1）、（2）式可知，是r的函数再乘以cos2(sin2)，可设应函数为

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f(r)cos2 （3）

将（3）式代入变形协调方程 可确定f(r)，进而可求出应力表达式

(Ar4Br2CD)cos2 （4） r24C6D(2B4)cos2r2rr6D2(12Ar2B)cos2 （5） 4r2C6D2(6Ar2B4)sin22rrr利用边界条件（1）式、（2）式，并且令a/b0，得到

qqa42A0,B,Cqa,D （6）

22将（6）式代入（5）式，得到应力分量

a2a2rq(1r2)(13r2)cos2a4 （7） q(134)cos2ra2a2rq(12)(132)sin2rr将坐标系逆时针转动45，以(/4)代替（7）式中的，即得到开孔矩形薄板四边受均匀剪力q作用时的应力分量 孔边的环向应力()ra4qsin2

当54,43当,时，()min4q。

44时，()max4q；

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